Esercizio fisica moto parabolico
Buonasera a tutti.
Eccomi nuovamente a rivolgermi a voi per venire a capo di un problema che non riesco a risolvere (o, meglio, non riesco a risolvere utilizzando i metodi "disponibili"). L'esercizio, tratto dal Walker, corso di fisica, per il biennio dei licei scientifici recita così:
Due gatti stanno accovacciati uno accanto all'altro su una staccionata alta 2,0 m. L'improvviso e violento abbaiare di un grosso cane, uscito di corsa da una casa vicina, li fa saltare dalla staccionata. Il gatto 1 salta orizzontalmente, mentre il gatto 2 salta in una direzione a 45° sopra l'orizzontale. Se la velocità con cui i gatti saltano è la stessa e pari a 3,0 m/s, determina:
a. se, quando i gatti toccano terra, il modulo della velocità del gatto 1 è maggiore, minore o uguale a quella del gatto 2.
b. Verifica la risposta al punto a. calcolando il moduli della velocità di atterraggio dei due gatti.
Ora, chiaramente la risposta alla domanda a) è immediata ed affermativa utilizzando la conservazione dell'energia. L'ho, inoltre, anche dimostrato utilizzando il seguente metodo matematico che mi permette, infine, di calcolare la velocità rispondendo, dunque, alla domanda b):
Per il gatto 1:
$v_(1x)=v_(01)$
$v_(1y)^2=v_(01y)^2-2gDeltay$
da cui, $v_1=sqrt(v_(1x)^2+v_(1y)^2)->v_1=sqrt(v_(01)^2-2gDeltay)$
e, per il gatto 2:
$v_(2x)=v_(02)*cos(alpha)$
$v_(2y)^2=v_(02y)^2-2gDeltay$
da cui, $v_2=sqrt(v_(2x)^2+v_(2y)^2)->v_2=sqrt(v_(02)^2*cos^2(alpha)+v_(02)^2*sin^2(alpha)-2gDeltay)=sqrt(v_(02)^2(cos^2(alpha)+sin^2(alpha))-2gDeltay)=sqrt(v_(02)^2-2gDeltay)$
da cui, essendo $v_(01)=v_(02)$ deriva l'uguaglianza $v_1=v_2$
Il problema, come dicevo all'inizio, è che non posso utilizzare né la conservazione dell'energia, né, tantomeno, la dimostrazione matematica di cui sopra, essendo argomenti successivi (per la dimostrazione matematica, infatti, ho usato la prima relazione fondamentale della goniometria che è, certamente, successiva al biennio e, per la dimostrazione fisica, la conservazione dell'energia che è argomento successivo alla cinematica, anche se di poco). Non riesco a trovare un terzo metodo che coinvolga unicamente gli argomenti precedenti. Ho provato a riflettere sul fatto che, nel moto parabolico, a stessa quota corrisponde stesso modulo della velocità sia in fase ascendente che discendente, etc..., ma proprio non sono riuscito a venirne a capo. Ringrazio, sin da ora, quanti sapranno e vorranno aiutarmi.
E, come sempre,
saluti
Eccomi nuovamente a rivolgermi a voi per venire a capo di un problema che non riesco a risolvere (o, meglio, non riesco a risolvere utilizzando i metodi "disponibili"). L'esercizio, tratto dal Walker, corso di fisica, per il biennio dei licei scientifici recita così:
Due gatti stanno accovacciati uno accanto all'altro su una staccionata alta 2,0 m. L'improvviso e violento abbaiare di un grosso cane, uscito di corsa da una casa vicina, li fa saltare dalla staccionata. Il gatto 1 salta orizzontalmente, mentre il gatto 2 salta in una direzione a 45° sopra l'orizzontale. Se la velocità con cui i gatti saltano è la stessa e pari a 3,0 m/s, determina:
a. se, quando i gatti toccano terra, il modulo della velocità del gatto 1 è maggiore, minore o uguale a quella del gatto 2.
b. Verifica la risposta al punto a. calcolando il moduli della velocità di atterraggio dei due gatti.
Ora, chiaramente la risposta alla domanda a) è immediata ed affermativa utilizzando la conservazione dell'energia. L'ho, inoltre, anche dimostrato utilizzando il seguente metodo matematico che mi permette, infine, di calcolare la velocità rispondendo, dunque, alla domanda b):
Per il gatto 1:
$v_(1x)=v_(01)$
$v_(1y)^2=v_(01y)^2-2gDeltay$
da cui, $v_1=sqrt(v_(1x)^2+v_(1y)^2)->v_1=sqrt(v_(01)^2-2gDeltay)$
e, per il gatto 2:
$v_(2x)=v_(02)*cos(alpha)$
$v_(2y)^2=v_(02y)^2-2gDeltay$
da cui, $v_2=sqrt(v_(2x)^2+v_(2y)^2)->v_2=sqrt(v_(02)^2*cos^2(alpha)+v_(02)^2*sin^2(alpha)-2gDeltay)=sqrt(v_(02)^2(cos^2(alpha)+sin^2(alpha))-2gDeltay)=sqrt(v_(02)^2-2gDeltay)$
da cui, essendo $v_(01)=v_(02)$ deriva l'uguaglianza $v_1=v_2$
Il problema, come dicevo all'inizio, è che non posso utilizzare né la conservazione dell'energia, né, tantomeno, la dimostrazione matematica di cui sopra, essendo argomenti successivi (per la dimostrazione matematica, infatti, ho usato la prima relazione fondamentale della goniometria che è, certamente, successiva al biennio e, per la dimostrazione fisica, la conservazione dell'energia che è argomento successivo alla cinematica, anche se di poco). Non riesco a trovare un terzo metodo che coinvolga unicamente gli argomenti precedenti. Ho provato a riflettere sul fatto che, nel moto parabolico, a stessa quota corrisponde stesso modulo della velocità sia in fase ascendente che discendente, etc..., ma proprio non sono riuscito a venirne a capo. Ringrazio, sin da ora, quanti sapranno e vorranno aiutarmi.
E, come sempre,
saluti
Risposte
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Sappiamo che la componente orizzontale della velocità di entrambi i gatti rimane costante, per cui consideriamo per ora solo quella verticale.
Per il primo gatto abbiamo \(v_{ay} = -gt\) e \(y_a = 2 - gt^2/2.\) Sostituendo il quadrato della prima equazione nella seconda otteniamo
\[ y_a = 2 - \frac{v_{ay}^2}{2g} \]
e quindi risolvendo per \(y_a = 0\) troviamo che
\[ v_{ayf}^2 = 4g. \]
Il modulo al quadrato della velocità finale del primo gatto è quindi \(9 + 4g\).
Per il secondo gatto abbiamo \(v_{by0}^2 = 9/2\) (per il teorema di Pitagora), \(v_{by} = v_{by0} - gt\) e \(y_b = 2 + v_{by0}t - gt^2/2\). Il calcolo verrebbe un po' più complicato in questo caso per cui mi porto alla situazione intermedia in cui il gatto ha raggiunto la massima altezza. Il massimo si avrà quando la velocità si è azzerata, cioè
\[ t_M = \frac{v_{by0}}{g} \implies y_{bM} = 2 + \frac{v^2_{by0}}{g} - \frac{v_{by0}^2}{2g} = 2 + \frac{9}{4g} \]
A questo punto siamo nella situazione del primo gatto in cui la velocità è solo orizzontale per cui sostituendo \(v_{by}^2 = g^2(t - t_M)^2\) in \(y_b = y_{bM} - g(t - t_M)^2/2\) si ottiene
\[ y_b = y_{bM} - \frac{v_{by}^2}{2g} \]
da cui
\[ v_{byf}^2 = 2 g y_{bM} = 4g + \frac{9}{2}. \]
Il modulo al quadrato della velocità finale del secondo gatto è quindi \(9/2 + 4g + 9/2 = 9 + 4g.\) I moduli delle due velocità sono quindi uguali.
Per il primo gatto abbiamo \(v_{ay} = -gt\) e \(y_a = 2 - gt^2/2.\) Sostituendo il quadrato della prima equazione nella seconda otteniamo
\[ y_a = 2 - \frac{v_{ay}^2}{2g} \]
e quindi risolvendo per \(y_a = 0\) troviamo che
\[ v_{ayf}^2 = 4g. \]
Il modulo al quadrato della velocità finale del primo gatto è quindi \(9 + 4g\).
Per il secondo gatto abbiamo \(v_{by0}^2 = 9/2\) (per il teorema di Pitagora), \(v_{by} = v_{by0} - gt\) e \(y_b = 2 + v_{by0}t - gt^2/2\). Il calcolo verrebbe un po' più complicato in questo caso per cui mi porto alla situazione intermedia in cui il gatto ha raggiunto la massima altezza. Il massimo si avrà quando la velocità si è azzerata, cioè
\[ t_M = \frac{v_{by0}}{g} \implies y_{bM} = 2 + \frac{v^2_{by0}}{g} - \frac{v_{by0}^2}{2g} = 2 + \frac{9}{4g} \]
A questo punto siamo nella situazione del primo gatto in cui la velocità è solo orizzontale per cui sostituendo \(v_{by}^2 = g^2(t - t_M)^2\) in \(y_b = y_{bM} - g(t - t_M)^2/2\) si ottiene
\[ y_b = y_{bM} - \frac{v_{by}^2}{2g} \]
da cui
\[ v_{byf}^2 = 2 g y_{bM} = 4g + \frac{9}{2}. \]
Il modulo al quadrato della velocità finale del secondo gatto è quindi \(9/2 + 4g + 9/2 = 9 + 4g.\) I moduli delle due velocità sono quindi uguali.
Per quanto abbia mostrato che era possibile arrivare al risultato facendo solo uso delle equazioni della cinetica, ho l'impressione che il problema richiedesse una dimestichezza con le equazioni probabilmente fuori dalla portata di molti studenti del primo biennio (per quanto sia fuori dalla scuola da un sacco di tempo per cui forse mi sbaglio).
.
Ciao @sellacollesella e @apatriarca
Grazie ad entrambi per le risposte! Tutto molto sensato, tuttavia speravo di dimostrare la validità dell'osservazione senza ricorrere a calcoli numerici, ma, a quanto pare, sembra impossibile. Questo mi pare anche confermato dalla "versione" inglese originale del testo (come mi ha fatto pensare sellacollesella con la sua osservazione), che riporta il seguente problema:
nel quale è possibile, per via dell'eccezionalità della situazione, anche ragionare solo con la cinematica, senza nessun calcolo, sfruttando gli angoli e la traiettoria parabolica (come speravo, invano, di riuscire a fare anch'io nel caso del problema in questione). Inoltre proprio il testo alla fine fa riferimento alla conservazione dell'energia che tratterà in seguito. A questo punto immagino che la traduzione italiana (nella quale buona parte della teoria è conservata, ma molti esercizi vengono inseriti ex-novo), preveda la risoluzione o come avete proposto voi, cioè tirando in ballo anche la parte numerica dell'esercizio, oppure "dimentichi" che ancora non ha trattato la conservazione dell'energia. Ancora grazie mille ad entrambi!
saluti
Grazie ad entrambi per le risposte! Tutto molto sensato, tuttavia speravo di dimostrare la validità dell'osservazione senza ricorrere a calcoli numerici, ma, a quanto pare, sembra impossibile. Questo mi pare anche confermato dalla "versione" inglese originale del testo (come mi ha fatto pensare sellacollesella con la sua osservazione), che riporta il seguente problema:
nel quale è possibile, per via dell'eccezionalità della situazione, anche ragionare solo con la cinematica, senza nessun calcolo, sfruttando gli angoli e la traiettoria parabolica (come speravo, invano, di riuscire a fare anch'io nel caso del problema in questione). Inoltre proprio il testo alla fine fa riferimento alla conservazione dell'energia che tratterà in seguito. A questo punto immagino che la traduzione italiana (nella quale buona parte della teoria è conservata, ma molti esercizi vengono inseriti ex-novo), preveda la risoluzione o come avete proposto voi, cioè tirando in ballo anche la parte numerica dell'esercizio, oppure "dimentichi" che ancora non ha trattato la conservazione dell'energia. Ancora grazie mille ad entrambi!
saluti
Di fatto sta usando implicitamente la formula di @sellacollesella per cui la differenza del quadrato del modulo è proporzionale alla differenza nella coordinata (formula che non ricordo essermi stata mostrata, ma è passato molto tempo). La necessità di fare o meno uso di calcoli dipende dalla familiarità che una determinata persona ha con i concetti.
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