Esercizio Fisica II su Potenziale Elettrico

[Tregon]

Buonasera a tutti,

Come da titolo, sono alle prese con un particolare esercizio del libro "Gettys Fisica 2", riguardante il potenziale elettrico.

Il testo è il seguente:

Un sottile involucro sferico conduttore di raggio esterno $r_{be}$ e raggio interno $r_{bi}$ è concentrico con un conduttore sferico pieno di raggio $r_a$ come mostrato in figura (v. sotto). La sfera b ha una carica totale $Q_b$, la sfera $a$ ha una carica totale $Q_a$ ed entrambe le cariche sono dello stesso segno.
a) Qual è il potenziale della sfera $b$?
b) Qual è la differenza di potenziale tra la sfera $b$ e la sfera $a$?
c) Qual è il potenziale della sfera $b$?

Ho fatto una prima considerazione iniziale:
1) Nello spazio 'vuoto' tra le due sfere, l'unico campo elettrico presente è quello di $a$ ossia $E_a$, in quanto l'involucro esterno non genera un campo elettrico al suo interno (conduttore cavo).

A questo punto ho calcolato subito il punto b) che richiede la differenza di potenziale tra le due sfere utilizzando come specificato in 1) solo il campo elettrico di $a$:

$V_b - V_a = -\int_{r_a}^{r_{bi}}E_a\cdot dr = -\int_{r_a}^{r_{bi}} \frac{Q_a}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\cdot dr$

Che risulta essere

$\frac{Q_a}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_{bi}})$

(e coincide con il risultato del libro, v. sotto).

Ciò su cui non ho la minima idea sono ovviamente gli altri due punti. Applicando infatti la formula seguente:

$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{dq}{r}$

Vengono risultati completamente diversi da quelli del libro:



Ringrazio in anticipo chiunque spenderà anche solo qualche secondo per me nel darmi una piccola mano.
Auguro a tutti una buona giornata!

[Cmax1]

Per assicurare le condizioni di continuità del potenziale alle superfici, consiglierei di iniziare dalla regione esterna alle due sfere, dove la carica rilevata (cioè, quella che dovremmo considerare in un'eventuale applicazione del teorema di Gauss) è $Q_a + Q_b$, e quindi il potenziale ha la forma $(Q_a+Q_b) / r$ (a meno dei $4 \pi \varepsilon_0$), visto che ci aspettiamo che si annulli all'infinito. Quindi la sfera esterna è al potenziale $(Q_a + Q_b) / r_{be}$. Nello spazio vuoto tra le due sfere assume invece la forma $Q_a/r + V_1$, dove la costante $V_1$ viene scelta in modo che $V(r)$ sia continuo in $r_{bi}$, quindi $V_1=(Q_a + Q_b)/r_{be} - Q_a/r_{bi}$, e puoi determinare $V(r_a)$. La ddp ne segue direttamente, comunque l'avevi già calcolata correttamente, in quanto il termine costante non ha influenza su questa grandezza, dipendente, come hai fatto notare, dalla sola carica $Q_a$. Puoi ovviamente procedere per integrazione, assicurandoti della continuità alle interfacce, e poi scegliendo la costante in modo da ottenere le condizioni all'infinito, ma mi sembra più oneroso.

[Tregon]

Ti ringrazio tantissimo, hai chiarito perfettamente i miei dubbi