Esercizio Fisica II - Differenza di potenziale.
Siconsiderino 3 lastre conduttrici di uguale area 1 metro quadrato, parallelamente affacciate l'una all'altra, numerate da 1 a 3 (con la lastra 2 intermedia) e di distanza rispettiva l'una dall'altra di $ r =5.45 cm $.
Si trascuri lo spessore delle piastre e si considerino come parti di piano. Inizialmente la lastra uno possiede una carica $Q_1=Q_0$ e la lastra 3 una carica $ Q_3 = 5Q_0 $, la lastra centrale è scarica.
Si collegano con un filo metallico la lastra 2 e 3 e si aspetta l'equilibrio. Dopodichè si toglie il collegamento e si collegano le lastre 1 e 3, fino all'equilibrio.
All'ultimo equilibrio, quanto vale la differenza di potenziale in Volt tra la lastra intermedia e le lastre esterne 1 e 3?
Allora, io credo di averlo risolto bene ma non torna il risultato. Ho fatto così: dopo il primo collegamento, essendo le lastre 2 e 3 un unico conduttore, la differenza di potenziale fra le superfici che lo "delimitano", in questo caso le due lastre, deve essere 0. E quindi $ V_2 - V_3 =int_(0)^(r) vec E * vec dl = E*r = 0 $
da cui segue che $ E = 0 $
Per cui, dato che il campo è proporzionale alla densità di carica (non si tiene conto della breve distanza delle lamine$ vec E = sigma / (2epsilon_o) $ ) e parliamo di lamine uguali fra loro, per eliminare il campo elettrico fra la 2 e la 3, delle $5Q_0$ presenti sulla prima lastra, 2 si saranno spostate su quella centrale, e 3 saranno rimaste sulla 3.
Poi per simmetria, quando si collegano fra loro le lastre esterne, le cariche si divideranno equamente. Per cui, alla fine dei collegamenti dovremmo avere $ 2Q_0 $ su ogni lamina.
Ora il campo elettrico fra la lamina centrale e una delle esterne è semplicemente $vec E = Q_0/(epsilon_0 *A) $ dove A è l'area della lamina (poichè il campo generato da due delle 3 lamine si elide e rimane solo quello generato da una delle 3, che possiede una densità di carica pari a $ sigma =2*Q_o/A $ da cui si trova il campo, $ vec E = sigma/(2*epsilon_0) = Q_o/(epsilon_0 * A) $ )
Ora la differenza di potenziale è dunque $E*r = Q_o*r/(epsilon_0 * A) $
Il risultato giusto è invece esattamente il doppio. Dove sbaglio?
Grazie a chi risponderà
Si trascuri lo spessore delle piastre e si considerino come parti di piano. Inizialmente la lastra uno possiede una carica $Q_1=Q_0$ e la lastra 3 una carica $ Q_3 = 5Q_0 $, la lastra centrale è scarica.
Si collegano con un filo metallico la lastra 2 e 3 e si aspetta l'equilibrio. Dopodichè si toglie il collegamento e si collegano le lastre 1 e 3, fino all'equilibrio.
All'ultimo equilibrio, quanto vale la differenza di potenziale in Volt tra la lastra intermedia e le lastre esterne 1 e 3?
Allora, io credo di averlo risolto bene ma non torna il risultato. Ho fatto così: dopo il primo collegamento, essendo le lastre 2 e 3 un unico conduttore, la differenza di potenziale fra le superfici che lo "delimitano", in questo caso le due lastre, deve essere 0. E quindi $ V_2 - V_3 =int_(0)^(r) vec E * vec dl = E*r = 0 $
da cui segue che $ E = 0 $
Per cui, dato che il campo è proporzionale alla densità di carica (non si tiene conto della breve distanza delle lamine$ vec E = sigma / (2epsilon_o) $ ) e parliamo di lamine uguali fra loro, per eliminare il campo elettrico fra la 2 e la 3, delle $5Q_0$ presenti sulla prima lastra, 2 si saranno spostate su quella centrale, e 3 saranno rimaste sulla 3.
Poi per simmetria, quando si collegano fra loro le lastre esterne, le cariche si divideranno equamente. Per cui, alla fine dei collegamenti dovremmo avere $ 2Q_0 $ su ogni lamina.
Ora il campo elettrico fra la lamina centrale e una delle esterne è semplicemente $vec E = Q_0/(epsilon_0 *A) $ dove A è l'area della lamina (poichè il campo generato da due delle 3 lamine si elide e rimane solo quello generato da una delle 3, che possiede una densità di carica pari a $ sigma =2*Q_o/A $ da cui si trova il campo, $ vec E = sigma/(2*epsilon_0) = Q_o/(epsilon_0 * A) $ )
Ora la differenza di potenziale è dunque $E*r = Q_o*r/(epsilon_0 * A) $
Il risultato giusto è invece esattamente il doppio. Dove sbaglio?
Grazie a chi risponderà
Risposte
Hai le 3 lamine con carica
A) Q
B) 0
C) 5Q
Colleghi B e C, e hai
A) Q
B) 2,5Q
C) 2,5Q
Scolleghi B e C e colleghi A e B, ottieni:
A) 1,25 Q
B) 2,5 Q
C) 1,25Q
A) Q
B) 0
C) 5Q
Colleghi B e C, e hai
A) Q
B) 2,5Q
C) 2,5Q
Scolleghi B e C e colleghi A e B, ottieni:
A) 1,25 Q
B) 2,5 Q
C) 1,25Q
"Quinzio":
Hai le 3 lamine con carica
A) Q
B) 0
C) 5Q
Colleghi A e C, e hai
A) 3Q
B) 0
C) 3Q
Scolleghi A e C e colleghi A e B, ottieni:
A) 1,5 Q
B) 1,5 Q
C) 3Q
No, prima si collega B e C, e infine A e C.
Cmq anche nel caso da te descritto non mi torna la divisione delle cariche. Perchè nel secondo collegamento le cariche si dividono equamente fra B ed A? C'è un campo elettrico proveniente da C che modifica la disposizione.
Le cariche non dovrebbero posizionarsi in modo da elimianare il campo elettrico fra le lastre B e A? In modo che la differenza di potenziale sia zero, essendo A e B un unico conduttore?
"Quinzio":
Hai le 3 lamine con carica
A) Q
B) 0
C) 5Q
Colleghi B e C, e hai
A) Q
B) 2,5Q
C) 2,5Q
Scolleghi B e C e colleghi A e B, ottieni:
A) 1,25 Q
B) 2,5 Q
C) 1,25Q
Hai ragione, ho modificato.
In un conduttore (anche due lastre collegate) non ci può essere una ddp, altrimenti scorre subito una corrente che ristabilisce l'equilibrio.
Ho preferito procedere distinguendo le due facce di ogni lastra. Nella situazione iniziale:
Carica lastra 1: $[sigma_(1S)+sigma_(1D)=Q_0/A]$
Carica lastra 2: $[sigma_(2S)+sigma_(2D)=0]$
Carica lastra 3: $[sigma_(3S)+sigma_(3D)=(5Q_0)/A]$
Teorema di Gauss: $[sigma_(1D)+sigma_(2S)=0]$
Teorema di Gauss: $[sigma_(2D)+sigma_(3S)=0]$
Simmetria: $[sigma_(1S)-sigma_(3D)=0]$
$\{(sigma_(1S)+sigma_(1D)=Q_0/A),(sigma_(2S)+sigma_(2D)=0),(sigma_(3S)+sigma_(3D)=(5Q_0)/A),(sigma_(1D)+sigma_(2S)=0),(sigma_(2D)+sigma_(3S)=0),(sigma_(1S)-sigma_(3D)=0):} rarr \{(sigma_(1S)=(3Q_0)/A),(sigma_(1D)=-(2Q_0)/A),(sigma_(2S)=(2Q_0)/A),(sigma_(2D)=-(2Q_0)/A),(sigma_(3S)=(2Q_0)/A),(sigma_(3D)=(3Q_0)/A):} rarr \{(sigma_1=sigma_(1S)+sigma_(1D)=Q_0/A),(sigma_2=sigma_(2S)+sigma_(2D)=0),(sigma_3=sigma_(3S)+sigma_(3D)=(5Q_0)/A):}$
Nella situazione intermedia:
Carica lastra 1: $[sigma_(1S)+sigma_(1D)=Q_0/A]$
Conservazione della carica: $[sigma_(2S)+sigma_(2D)+sigma_(3S)+sigma_(3D)=(5Q_0)/A]$
Condizione al contorno: $[sigma_(2D)=0]$
Condizione al contorno: $[sigma_(3S)=0]$
Teorema di Gauss: $[sigma_(1D)+sigma_(2S)=0]$
Simmetria: $[sigma_(1S)-sigma_(3D)=0]$
$\{(sigma_(1S)+sigma_(1D)=Q_0/A),(sigma_(2S)+sigma_(2D)+sigma_(3S)+sigma_(3D)=(5Q_0)/A),(sigma_(2D)=0),(sigma_(3S)=0),(sigma_(1D)+sigma_(2S)=0),(sigma_(1S)-sigma_(3D)=0):} rarr \{(sigma_(1S)=(3Q_0)/A),(sigma_(1D)=-(2Q_0)/A),(sigma_(2S)=(2Q_0)/A),(sigma_(2D)=0),(sigma_(3S)=0),(sigma_(3D)=(3Q_0)/A):} rarr \{(sigma_1=sigma_(1S)+sigma_(1D)=Q_0/A),(sigma_2=sigma_(2S)+sigma_(2D)=(2Q_0)/A),(sigma_3=sigma_(3S)+sigma_(3D)=(3Q_0)/A):}$
Nella situazione finale:
Conservazione della carica: $[sigma_(1S)+sigma_(1D)+sigma_(3S)+sigma_(3D)=(4Q_0)/A]$
Carica lastra 2: $[sigma_(2S)+sigma_(2D)=(2Q_0)/A]$
Condizione al contorno: $[sigma_(1D)-sigma_(3S)=0]$
Teorema di Gauss: $[sigma_(1D)+sigma_(2S)=0]$
Teorema di Gauss: $[sigma_(2D)+sigma_(3S)=0]$
Simmetria: $[sigma_(1S)-sigma_(3D)=0]$
$\{(sigma_(1S)+sigma_(1D)+sigma_(3S)+sigma_(3D)=(4Q_0)/A),(sigma_(2S)+sigma_(2D)=(2Q_0)/A),(sigma_(1D)-sigma_(3S)=0),(sigma_(1D)+sigma_(2S)=0),(sigma_(2D)+sigma_(3S)=0),(sigma_(1S)-sigma_(3D)=0):} rarr \{(sigma_(1S)=(3Q_0)/A),(sigma_(1D)=-Q_0/A),(sigma_(2S)=Q_0/A),(sigma_(2D)=Q_0/A),(sigma_(3S)=-Q_0/A),(sigma_(3D)=(3Q_0)/A):}rarr \{(sigma_1=sigma_(1S)+sigma_(1D)=(2Q_0)/A),(sigma_2=sigma_(2S)+sigma_(2D)=(2Q_0)/A),(sigma_3=sigma_(3S)+sigma_(3D)=(2Q_0)/A):}$
Carica lastra 1: $[sigma_(1S)+sigma_(1D)=Q_0/A]$
Carica lastra 2: $[sigma_(2S)+sigma_(2D)=0]$
Carica lastra 3: $[sigma_(3S)+sigma_(3D)=(5Q_0)/A]$
Teorema di Gauss: $[sigma_(1D)+sigma_(2S)=0]$
Teorema di Gauss: $[sigma_(2D)+sigma_(3S)=0]$
Simmetria: $[sigma_(1S)-sigma_(3D)=0]$
$\{(sigma_(1S)+sigma_(1D)=Q_0/A),(sigma_(2S)+sigma_(2D)=0),(sigma_(3S)+sigma_(3D)=(5Q_0)/A),(sigma_(1D)+sigma_(2S)=0),(sigma_(2D)+sigma_(3S)=0),(sigma_(1S)-sigma_(3D)=0):} rarr \{(sigma_(1S)=(3Q_0)/A),(sigma_(1D)=-(2Q_0)/A),(sigma_(2S)=(2Q_0)/A),(sigma_(2D)=-(2Q_0)/A),(sigma_(3S)=(2Q_0)/A),(sigma_(3D)=(3Q_0)/A):} rarr \{(sigma_1=sigma_(1S)+sigma_(1D)=Q_0/A),(sigma_2=sigma_(2S)+sigma_(2D)=0),(sigma_3=sigma_(3S)+sigma_(3D)=(5Q_0)/A):}$
Nella situazione intermedia:
Carica lastra 1: $[sigma_(1S)+sigma_(1D)=Q_0/A]$
Conservazione della carica: $[sigma_(2S)+sigma_(2D)+sigma_(3S)+sigma_(3D)=(5Q_0)/A]$
Condizione al contorno: $[sigma_(2D)=0]$
Condizione al contorno: $[sigma_(3S)=0]$
Teorema di Gauss: $[sigma_(1D)+sigma_(2S)=0]$
Simmetria: $[sigma_(1S)-sigma_(3D)=0]$
$\{(sigma_(1S)+sigma_(1D)=Q_0/A),(sigma_(2S)+sigma_(2D)+sigma_(3S)+sigma_(3D)=(5Q_0)/A),(sigma_(2D)=0),(sigma_(3S)=0),(sigma_(1D)+sigma_(2S)=0),(sigma_(1S)-sigma_(3D)=0):} rarr \{(sigma_(1S)=(3Q_0)/A),(sigma_(1D)=-(2Q_0)/A),(sigma_(2S)=(2Q_0)/A),(sigma_(2D)=0),(sigma_(3S)=0),(sigma_(3D)=(3Q_0)/A):} rarr \{(sigma_1=sigma_(1S)+sigma_(1D)=Q_0/A),(sigma_2=sigma_(2S)+sigma_(2D)=(2Q_0)/A),(sigma_3=sigma_(3S)+sigma_(3D)=(3Q_0)/A):}$
Nella situazione finale:
Conservazione della carica: $[sigma_(1S)+sigma_(1D)+sigma_(3S)+sigma_(3D)=(4Q_0)/A]$
Carica lastra 2: $[sigma_(2S)+sigma_(2D)=(2Q_0)/A]$
Condizione al contorno: $[sigma_(1D)-sigma_(3S)=0]$
Teorema di Gauss: $[sigma_(1D)+sigma_(2S)=0]$
Teorema di Gauss: $[sigma_(2D)+sigma_(3S)=0]$
Simmetria: $[sigma_(1S)-sigma_(3D)=0]$
$\{(sigma_(1S)+sigma_(1D)+sigma_(3S)+sigma_(3D)=(4Q_0)/A),(sigma_(2S)+sigma_(2D)=(2Q_0)/A),(sigma_(1D)-sigma_(3S)=0),(sigma_(1D)+sigma_(2S)=0),(sigma_(2D)+sigma_(3S)=0),(sigma_(1S)-sigma_(3D)=0):} rarr \{(sigma_(1S)=(3Q_0)/A),(sigma_(1D)=-Q_0/A),(sigma_(2S)=Q_0/A),(sigma_(2D)=Q_0/A),(sigma_(3S)=-Q_0/A),(sigma_(3D)=(3Q_0)/A):}rarr \{(sigma_1=sigma_(1S)+sigma_(1D)=(2Q_0)/A),(sigma_2=sigma_(2S)+sigma_(2D)=(2Q_0)/A),(sigma_3=sigma_(3S)+sigma_(3D)=(2Q_0)/A):}$
"Quinzio":
[quote="Quinzio"]Hai le 3 lamine con carica
A) Q
B) 0
C) 5Q
Colleghi B e C, e hai
A) Q
B) 2,5Q
C) 2,5Q
Scolleghi B e C e colleghi A e B, ottieni:
A) 1,25 Q
B) 2,5 Q
C) 1,25Q
Hai ragione, ho modificato.
In un conduttore (anche due lastre collegate) non ci può essere una ddp, altrimenti scorre subito una corrente che ristabilisce l'equilibrio.[/quote]
Si ma è sbagliato di nuovo. Collegando B e C la carica non si può distribuire equamente, perchè c'è il campo generato da A che deve annullarsi fra le due lastre. Quindi 2 dovranno andare su B, e 3 rimanere su C.
Si speculor esatto. E' quello che ho fatto anche io svolgendo il calcolo, ma qui ho risparmiato tutti i conti.
Ma a questo punto il risultato non torna. Sbaglio a calcolare il campo o la ddp?
Alla fine, il campo tra le lastre vale $[|E|=Q_0/(epsilon_0A)]$, diretto verso sinistra tra la prima e la seconda lastra, diretto verso destra tra la seconda e la terza. Quindi, $[DeltaV_(12)=DeltaV_(13)=(Q_0r)/(epsilon_0A)]$.
Allora è giusto così. Dev'esserci un errore numerico nelle soluzioni.
Direi proprio di sì. Del resto, ho preferito procedere in modo così dettagliato proprio per evitare eventuali sviste. Inoltre, non mi sembra ci siano deduzioni non giustificate a dovere.
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