Esercizio fisica di corpi sovrapposti con attrito
Salve a tutti,
avrei da risolvere questo esercizio di due corpi sovrapposti. Quello in alto ha massa m1=10kg e quello in basso m2=50kg. Tra i due corpi c'è un attrito (assumiamo coefficiente di attrito pari a 0.3). La massa in basso può invece scorrere orizzontalmente su una superficie priva di attrito. Sul corpo in alto agisce una forza F1=10N mentre sul corpo in basso una forza F2=30N (forze che agiscono entrambe con lo stesso verso).
Il corpo in basso è sufficientemente largo da non far cadere quello in alto dopo gli scorrimenti.
Mi aiutereste ad impostare l'esercizio?
Se scompongo gli effetti è come se l'attrito si annulli: l'accelerazione del corpo in alto è ridotta dalla forza di attrito a causa dello scorrimento di tale corpo su quello sottostante ma, contemporaneamente, è incrementata dalla forza di attrito che è causata dal moto del corpo in basso.
Grazie
avrei da risolvere questo esercizio di due corpi sovrapposti. Quello in alto ha massa m1=10kg e quello in basso m2=50kg. Tra i due corpi c'è un attrito (assumiamo coefficiente di attrito pari a 0.3). La massa in basso può invece scorrere orizzontalmente su una superficie priva di attrito. Sul corpo in alto agisce una forza F1=10N mentre sul corpo in basso una forza F2=30N (forze che agiscono entrambe con lo stesso verso).
Il corpo in basso è sufficientemente largo da non far cadere quello in alto dopo gli scorrimenti.
Mi aiutereste ad impostare l'esercizio?
Se scompongo gli effetti è come se l'attrito si annulli: l'accelerazione del corpo in alto è ridotta dalla forza di attrito a causa dello scorrimento di tale corpo su quello sottostante ma, contemporaneamente, è incrementata dalla forza di attrito che è causata dal moto del corpo in basso.
Grazie
Risposte
Sei sicuro dei valori numerici?
Si, i valori sono esatti. Comunque a prescindere della soluzione numerica, mi interessava capire l'effetto del mutuo scambio delle forze di attrito
Ciao mikymike89, benvenuto/a nel Forum
Se i valori sono effettivamente quelli riportati e supponendo che le forze in questione siano dirette orizzontalmente, considera i seguenti punti:
1) La forza di attrito in condizioni dinamiche vale in modulo $mu*m_1*g$ e la sua direzione è da selezionare in base al movimento relativo dei corpi. Nota tuttavia che se l'attrito è tale da impedire il movimento relativo allora il valore in modulo della forza di attrito potrebbe essere un numero inferiore al valore sopra (quello che serve per tenere solidali i due corpi).
2) Ovviamente l'attrito è una forza interna e quindi per l'intero sistema dovrà annullarsi in quanto per il principio di azione e reazione, se è diretta in un senso per una massa agirà giustamente in senso opposto per l'altra. In ogni caso tenderà a evitare un movimento relativo tra i corpi.
In base a quanto sopra la prima verifica da fare è: è possibile il movimento relativo e quindi lo scorrimento tra i due corpi?
Se i valori sono effettivamente quelli riportati e supponendo che le forze in questione siano dirette orizzontalmente, considera i seguenti punti:
1) La forza di attrito in condizioni dinamiche vale in modulo $mu*m_1*g$ e la sua direzione è da selezionare in base al movimento relativo dei corpi. Nota tuttavia che se l'attrito è tale da impedire il movimento relativo allora il valore in modulo della forza di attrito potrebbe essere un numero inferiore al valore sopra (quello che serve per tenere solidali i due corpi).
2) Ovviamente l'attrito è una forza interna e quindi per l'intero sistema dovrà annullarsi in quanto per il principio di azione e reazione, se è diretta in un senso per una massa agirà giustamente in senso opposto per l'altra. In ogni caso tenderà a evitare un movimento relativo tra i corpi.
In base a quanto sopra la prima verifica da fare è: è possibile il movimento relativo e quindi lo scorrimento tra i due corpi?
I valori delle forze sono in kN. Quindi c'è scorrimento tra i due corpi.
Immaginando di applicare la sovrapposizione degli effetti e focalizzandoci sul corpo in alto, applicando F1 tale corpo è rallentato dalla forza di attrito. Tuttavia, dato che c'è anche F2 sul corpo in basso, la forza di attrito che nasce accelera il corpo in alto. La risultante è che l'effetto dell attrito si annulla, giusto?
Immaginando di applicare la sovrapposizione degli effetti e focalizzandoci sul corpo in alto, applicando F1 tale corpo è rallentato dalla forza di attrito. Tuttavia, dato che c'è anche F2 sul corpo in basso, la forza di attrito che nasce accelera il corpo in alto. La risultante è che l'effetto dell attrito si annulla, giusto?
Non proprio. Ad ogni modo, a rigore bisognerebbe distinguere 2 casi:
Vero è che, dando un'occhiata ai valori numerici, basta il secondo.
Caso 1
$a_1 lt a_2$
Corpo 1
$m_1a_1=|F_1|+\mu_dm_1g$
Corpo 2
$m_2a_2=|F_2|-\mu_dm_1g$
Caso 2
$a_1 gt a_2$
Corpo 1
$m_1a_1=|F_1|-\mu_dm_1g$
Corpo 2
$m_2a_2=|F_2|+\mu_dm_1g$
Vero è che, dando un'occhiata ai valori numerici, basta il secondo.
@Noodles ti ha fatto in modo eccellente tutta la trattazione dove si vede l'effetto dell'attrito interno per ciascuna massa.
Aggiungo solo un commento per quanto riguarda il fatto che invece per l'intero sistema delle due masse l'attrito interno non conta. Se sommi le due equazioni del moto (con verso delle accelerazioni preso concorde con il verso delle forze) otterrai l'equazione (valida sia nel caso 1 che nel caso 2):
$F_1+F_2 = m_1*a_1 + m_2*a_2$
che, ricordando la definizione di Centro di Massa del sistema $x_(CM)=(m_1*x_1+m_2*x_2)/(m_1+m_2)$, si potrà scrivere
$F_1+F_2 = (m_1+ m_2)*a_(CM)$
Quindi l'attrito interno, come tutte le altre forze interne, si elide e non ha effetto sul moto del centro di massa, ma ha effetto sul moto delle singole componenti del sistema.
Aggiungo solo un commento per quanto riguarda il fatto che invece per l'intero sistema delle due masse l'attrito interno non conta. Se sommi le due equazioni del moto (con verso delle accelerazioni preso concorde con il verso delle forze) otterrai l'equazione (valida sia nel caso 1 che nel caso 2):
$F_1+F_2 = m_1*a_1 + m_2*a_2$
che, ricordando la definizione di Centro di Massa del sistema $x_(CM)=(m_1*x_1+m_2*x_2)/(m_1+m_2)$, si potrà scrivere
$F_1+F_2 = (m_1+ m_2)*a_(CM)$
Quindi l'attrito interno, come tutte le altre forze interne, si elide e non ha effetto sul moto del centro di massa, ma ha effetto sul moto delle singole componenti del sistema.
mi spieghereste perchè
se avessi solo $F_1$ sul corpo 1 allora:
per il corpo 1: $m_1 a_1$=$F_1-\mu_d m_1 g$ e, contemporaneamente, per il corpo 2: $m_2 a_2=\mu_d m_1 g$
se invece avessi solo $F_2$ sul corpo 2 allora:
per il corpo 1: $m_1 a_1=\mu_d m_1 g$ e, contemporaneamente, per il corpo 2: $m_2 a_2=F_2-\mu_d m_1 g$
per sovrapposizione degli effetti, dalle equazioni di prima ricaverei le seguenti accelerazioni:
per il corpo 1: $a_1=(F1-\mu_d m_1 g) /m_1 +(\mu_d m_1 g)/m_1 =F_1/m_1$
per il corpo 2: $a_2=(\mu_d m_1 g) /m_2 +(F2-\mu_d m_1 g)/m_2 =F_2/m_2$
se avessi solo $F_1$ sul corpo 1 allora:
per il corpo 1: $m_1 a_1$=$F_1-\mu_d m_1 g$ e, contemporaneamente, per il corpo 2: $m_2 a_2=\mu_d m_1 g$
se invece avessi solo $F_2$ sul corpo 2 allora:
per il corpo 1: $m_1 a_1=\mu_d m_1 g$ e, contemporaneamente, per il corpo 2: $m_2 a_2=F_2-\mu_d m_1 g$
per sovrapposizione degli effetti, dalle equazioni di prima ricaverei le seguenti accelerazioni:
per il corpo 1: $a_1=(F1-\mu_d m_1 g) /m_1 +(\mu_d m_1 g)/m_1 =F_1/m_1$
per il corpo 2: $a_2=(\mu_d m_1 g) /m_2 +(F2-\mu_d m_1 g)/m_2 =F_2/m_2$
Scusa ma, basta considerare una massa puntiforme in quiete, su un piano orizzontale scabro, soggetto a due forze orizzontali aventi lo stesso verso, per comprendere che il principio di sovrapposizione degli effetti non è assolutamente applicabile:
Ad ogni modo, visto che il principio di cui sopra è tipicamente introdotto nell'ambito dei circuiti elettrici, vale la pena ricordare che, in presenza di un diodo (elemento non lineare), è necessario prestare la dovuta attenzione. Allo stesso modo, per quanto riguarda la forza di attrito:
$[F_1 lt \mu_smg] rarr [a=0]$
$[F_2 lt \mu_smg] rarr [a=0]$
$[F_1+F_2 gt \mu_smg] rarr [a=(F_1+F_2-\mu_dmg)/m] rarr [a ne 0]$
Ad ogni modo, visto che il principio di cui sopra è tipicamente introdotto nell'ambito dei circuiti elettrici, vale la pena ricordare che, in presenza di un diodo (elemento non lineare), è necessario prestare la dovuta attenzione. Allo stesso modo, per quanto riguarda la forza di attrito:
@Noodles ha già chiarito che la SE non è applicabile, facendo anche un esempio.
Infatti, in generale, oltre che essere lineari le equazioni del moto dovrebbero essere lineari anche le equazioni costitutive delle forze (es. in elettrotecnica il caso del diodo citato da Noodles è un ottimo esempio)
Voglio sottolineare, per maggiore chiarezza, che la forza di attrito, oltre a dipendere non linearmente dalla reazione normale (vedi diagramma di Noodles), anche nel caso che si sia in condizioni dinamiche non è una semplice costante. L'effettiva equazione costitutiva (supponendo $R_v=mg$ per semplicità) è:
$vec F_a = - mu_d*m*g *vec v/v$
che non è assolutamente lineare. Infatti se $v_1$ e $v_2$ sono le soluzioni di due problemi separati si ha
$vec F_(v1) + vec F_(v2) = - mu_d*m*g *vec v_1/v_1 - mu_d*m*g *vec v_2/v_2 ne - mu_d*m*g*(vec v_1+vec v_2)/abs(vec v_1 + vec v_2)=vec F_(v_1+v_2)$
Infatti, in generale, oltre che essere lineari le equazioni del moto dovrebbero essere lineari anche le equazioni costitutive delle forze (es. in elettrotecnica il caso del diodo citato da Noodles è un ottimo esempio)
Voglio sottolineare, per maggiore chiarezza, che la forza di attrito, oltre a dipendere non linearmente dalla reazione normale (vedi diagramma di Noodles), anche nel caso che si sia in condizioni dinamiche non è una semplice costante. L'effettiva equazione costitutiva (supponendo $R_v=mg$ per semplicità) è:
$vec F_a = - mu_d*m*g *vec v/v$
che non è assolutamente lineare. Infatti se $v_1$ e $v_2$ sono le soluzioni di due problemi separati si ha
$vec F_(v1) + vec F_(v2) = - mu_d*m*g *vec v_1/v_1 - mu_d*m*g *vec v_2/v_2 ne - mu_d*m*g*(vec v_1+vec v_2)/abs(vec v_1 + vec v_2)=vec F_(v_1+v_2)$
@ ingres
Ottima integrazione. Non mi era mai capitato, in questo ambito, qualcuno che tentasse di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Insomma, manco a dirlo, l'esperienza non è mai abbastanza. Tra l'altro, è stato un interessante spunto di riflessione.
Ottima integrazione. Non mi era mai capitato, in questo ambito, qualcuno che tentasse di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Insomma, manco a dirlo, l'esperienza non è mai abbastanza. Tra l'altro, è stato un interessante spunto di riflessione.
@Noodles
Concordo pienamente
.
Concordo pienamente
.
grazie mille ad entrambi.
Qualora le forze agiscano non contemporaneamente ma in separate fasi, ad esempio prima solo $F_2$ sul corpo 2 e, successivamente, $F1$ sul corpo 1, non avrei:
prima fase:
seconda fase:
Qualora le forze agiscano non contemporaneamente ma in separate fasi, ad esempio prima solo $F_2$ sul corpo 2 e, successivamente, $F1$ sul corpo 1, non avrei:
prima fase:
$ m_1a_1=\mu_dm_1g $
$ m_2a_2=|F_2|-\mu_dm_1g $
seconda fase:
$ m_1a_1=\mu_dm_1g + |F_1|-\mu_dm_1g $
$ m_2a_2=|F_2|-\mu_dm_1g +\mu_dm_1g $
No, che la sovrapposizione sia istantanea oppure sfasata non cambia il concetto. Il sistema non è lineare per cui l'applicazione successiva di $F_1$ non ha solo un effetto proprio, ma anche quello di modificare il risultato precedente dovuto a $F_2$.
Inoltre nelle equazioni di Fase 2 che hai riportato si annulla ancora una volta l'effetto dell'attrito e questo non è fisicamente possibile. Tutte le volte che i due corpi slittano tra si loro (oppure tentano di slittare tra di loro) l'attrito si oppone con una forza resistente al movimento relativo. E siccome lo slittamento relativo è ben determinato, esiste solo una forza di attrito e non due che si annullano a vicenda.
Inoltre nelle equazioni di Fase 2 che hai riportato si annulla ancora una volta l'effetto dell'attrito e questo non è fisicamente possibile. Tutte le volte che i due corpi slittano tra si loro (oppure tentano di slittare tra di loro) l'attrito si oppone con una forza resistente al movimento relativo. E siccome lo slittamento relativo è ben determinato, esiste solo una forza di attrito e non due che si annullano a vicenda.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo