Esercizio fisica 1
due dischi uniformi uguali di raggio $R=50cm$ e massa $M=1kg$ sono collegati tramite una fune inestensibile che rimane sempre tesa. Il disco superiore è appeso ed è libero di ruotare senza attrito intorno al suo centro. Si calcolino:
A)Le accelerazioni angolari dei due dischi e l'accelerazione del centro di massa del disco inefriore
B)la tensione della fune

vorrei sapere alcune cose:
scrivo le equazioni dei 2 dischi:
1)
$ a_1=0 $ centro di massa del primo disco non si muove
$ Idot(omega_1)=RT$
2)
$ma_2= -mg+T$
$Idot(omega_2)=RT$
ottengo che $dot(omega_1)=dot(omega_2)=dot(omega)$
nella soluzione c'è questo passaggio $a_2=dot(omega_1)R+dot(omega_2)R= 2dot(omega)R$
non capisco perchè: cioè la cosa che ho pensato io è come se il secondo disco rotolasse attorno al punto $c$
(il punto che congiunge il secondo disco cn il filo... e dunque $a_2=dot(omega_2)R$ sbaglio? e vorrei capire come in generale dire che rotola quanto non è espresso dall'esercizio?
A)Le accelerazioni angolari dei due dischi e l'accelerazione del centro di massa del disco inefriore
B)la tensione della fune

vorrei sapere alcune cose:
scrivo le equazioni dei 2 dischi:
1)
$ a_1=0 $ centro di massa del primo disco non si muove
$ Idot(omega_1)=RT$
2)
$ma_2= -mg+T$
$Idot(omega_2)=RT$
ottengo che $dot(omega_1)=dot(omega_2)=dot(omega)$
nella soluzione c'è questo passaggio $a_2=dot(omega_1)R+dot(omega_2)R= 2dot(omega)R$
non capisco perchè: cioè la cosa che ho pensato io è come se il secondo disco rotolasse attorno al punto $c$
(il punto che congiunge il secondo disco cn il filo... e dunque $a_2=dot(omega_2)R$ sbaglio? e vorrei capire come in generale dire che rotola quanto non è espresso dall'esercizio?
Risposte
Il centro del disco 2 accelera verso il basso per due motivi : il primo motivo è che il il filo "cala" perché si svolge dal disco 1 che ruota, e questa prima parte è espressa da $dot\omega_1R$ ; il secondo motivo è che, supposto "fisso" il filo, il disco 2 stesso ruota con velocità angolare $\omega_2$ , e quindi la seconda parte della accelerazione del centro disco 2 è espressa da : $dot\omega_2R$ .
Piuttosto, controlla bene le equazioni che hai scritto per il disco 2 : ci manca una massa, e mi pare che con i segni ci sia qualcosa che non va. Pure la velocità angolare devi correggere.
Piuttosto, controlla bene le equazioni che hai scritto per il disco 2 : ci manca una massa, e mi pare che con i segni ci sia qualcosa che non va. Pure la velocità angolare devi correggere.
Velocità angolare? Massa del disco due? A cosa ti stai riferendo non capisco.... Sono tutte accelerazioni quelle che ho scritto....
"sdrabb":
Velocità angolare? Massa del disco due? A cosa ti stai riferendo non capisco.... Sono tutte accelerazioni quelle che ho scritto....
Io invece non capisco come fai a non capire. Per avere una accelerazione angolare , non devi forse avere una "velocità angolare" che varia nel tempo ? Quando metti il punto su $\omega_2$ per indicare l'accelerazione angolare, non stai forse derivando rispetto al tempo la velocità angolare?
"sdrabb":
……..
2)
$a_2= -mg+T$
$Idot(omega_1)=RT$
Ti sembrano corrette le equazioni di cui sopra? Prendi la prima : al primo membro hai scritto una accelerazione $a_2$ , al secondo membro ci sono due forze. È corretto ? E i segni, ti sembrano corretti?
Nella seconda equazione, non ci va l'accelerazione angolare $dot\omega_2$ ?
si abbi pazienza non c'ho fatto caso:
misi era addormentato il cervello.... scusami tanto
la riscrivo
$ ma_2=-mg+T$
$Idot(omega_2)=-RT$ (io avrei scritto così sulla correzione però dava il segno positivo...)
ora sono corrette?
i segni della seconda sono sbagliati?
misi era addormentato il cervello.... scusami tanto
la riscrivo
$ ma_2=-mg+T$
$Idot(omega_2)=-RT$ (io avrei scritto così sulla correzione però dava il segno positivo...)
ora sono corrette?
i segni della seconda sono sbagliati?
stavo cercando di dimostrare che $a_2=2dot(omega)R$ utilizzando questa formula:

prendo $p=$centro del secondo disco e $o=$ al pt di contatto tra filo e secondo disco:
svolgendo i miei calcoli ed utilizzando la formula del doppio prodotto vettoriale ottengo
$a_p=dot(omega_1)R-Romega_2^2+dot(omega_2)R$
per tornare dovrebbe scomparire questo termine $R(omega_2)^2$
cosa sbaglio?

prendo $p=$centro del secondo disco e $o=$ al pt di contatto tra filo e secondo disco:
svolgendo i miei calcoli ed utilizzando la formula del doppio prodotto vettoriale ottengo
$a_p=dot(omega_1)R-Romega_2^2+dot(omega_2)R$
per tornare dovrebbe scomparire questo termine $R(omega_2)^2$
cosa sbaglio?
Tieni presente che hai a che fare sempre con quantità vettoriali, sia forze che accelerazioni.
Quindi, per cominciare, assumi un asse $z$ di versore $veck$ diretto verso il basso , e un verso di rotazione come positivo. Di solito, si assume come positivo il verso di rotazione antiorario, ma non è obbligatorio. Per completare la terna destrorsa, l'asse $x$ di versore $veci$ può essere diretto dal foglio verso di te, quindi l'asse $y$ di versore $vecj$ è diretto verso sinistra.
Scrivi le due equazioni cardinali della Dinamica per entrambi i dischi, in forma vettoriale. Poi proietta le equazioni scritte sugli assi.
Per il disco 1 : la prima eq. cardinale dice che il CM non trasla , perché sul disco agiscono la forza $vecT$ e la reazione $vecR$ del sostegno, che evidentemente costituiscono un sistema a risultante nullo. Ma il momento risultante rispetto al centro del disco non è nullo, per cui :
$vecRxxvecT = (dvecL)/dt = (d(Ivec\omega_1))/(dt)$
Tieni presente che il vettore momento della forza esterna è diretto nel verso negativo di $x$ , e nello stesso verso è diretto $vecL$ nonché la sua variazione $dvecL$, per cui in definitiva è corretta la prima relazione che hai scritto :
$Idot\omega_1 = RT $
Per il disco 2 devi scrivere la prima equazione :
$ mveca_2 = mvec"g" + vecT$
la quale proiettata sull'asse diventa : $ma_2 = mg - T $
per la seconda equazione, il vettore momento di $vecT$ rispetto al centro è diretto nel verso positivo di $x$, e anche il vettore momento angolare $vecL$ e la sua variazione sono diretti nel verso positivo. Per cui è ancora corretto scrivere :
$I\dot\omega_2 = RT $ .
Quindi, per cominciare, assumi un asse $z$ di versore $veck$ diretto verso il basso , e un verso di rotazione come positivo. Di solito, si assume come positivo il verso di rotazione antiorario, ma non è obbligatorio. Per completare la terna destrorsa, l'asse $x$ di versore $veci$ può essere diretto dal foglio verso di te, quindi l'asse $y$ di versore $vecj$ è diretto verso sinistra.
Scrivi le due equazioni cardinali della Dinamica per entrambi i dischi, in forma vettoriale. Poi proietta le equazioni scritte sugli assi.
Per il disco 1 : la prima eq. cardinale dice che il CM non trasla , perché sul disco agiscono la forza $vecT$ e la reazione $vecR$ del sostegno, che evidentemente costituiscono un sistema a risultante nullo. Ma il momento risultante rispetto al centro del disco non è nullo, per cui :
$vecRxxvecT = (dvecL)/dt = (d(Ivec\omega_1))/(dt)$
Tieni presente che il vettore momento della forza esterna è diretto nel verso negativo di $x$ , e nello stesso verso è diretto $vecL$ nonché la sua variazione $dvecL$, per cui in definitiva è corretta la prima relazione che hai scritto :
$Idot\omega_1 = RT $
Per il disco 2 devi scrivere la prima equazione :
$ mveca_2 = mvec"g" + vecT$
la quale proiettata sull'asse diventa : $ma_2 = mg - T $
per la seconda equazione, il vettore momento di $vecT$ rispetto al centro è diretto nel verso positivo di $x$, e anche il vettore momento angolare $vecL$ e la sua variazione sono diretti nel verso positivo. Per cui è ancora corretto scrivere :
$I\dot\omega_2 = RT $ .
ti ringrazio tantissimo
vorrei adesso capire una cosa sono nuovo in materia scusami se ti ho fatto ammattire...
ho dei problemi con i segni vorrei che tu mi spiegassi come procedere....
quando mi pongo davanti ad un esercizio del genere la prima cosa fisso un sistema di riferimento qualsiasi...
la mia domanda è: fissare la direzione antioraria positiva è equivalente a dire che prendo l'asse x positivo quando è uscente dallo schermo o mi sbaglio?
e inoltre in generale per capire il verso dei momenti basta confrontare i momenti delle singole forze con la direzione del momento angolare se hanno lo stesso verso sono concordi altrimenti discordi giusto?

vorrei adesso capire una cosa sono nuovo in materia scusami se ti ho fatto ammattire...
ho dei problemi con i segni vorrei che tu mi spiegassi come procedere....
quando mi pongo davanti ad un esercizio del genere la prima cosa fisso un sistema di riferimento qualsiasi...
la mia domanda è: fissare la direzione antioraria positiva è equivalente a dire che prendo l'asse x positivo quando è uscente dallo schermo o mi sbaglio?
e inoltre in generale per capire il verso dei momenti basta confrontare i momenti delle singole forze con la direzione del momento angolare se hanno lo stesso verso sono concordi altrimenti discordi giusto?
Non scusarti, non sono ammattito. Altre sono le cose e le persone che mi fanno ammattire, non le tue domande e i tuoi dubbi.
Il vettore momento di una forza è, per definizione, uguale al prodotto vettoriale del raggio vettore per la forza (vettore pure questo) : $ vecM = vecR xxvecF$ .
Il verso del prodotto vettoriale è convenzionale : da uno stesso punto tracci prima il primo vettore $vecR$ , poi il secondo vettore $vecF$ . Il loro prodotto vettoriale è un vettore che, tracciato a partire dallo stesso punto, obbedisce alla regola della mano destra . Se cioè apri le prime tre dita della mano destra in modo che l'indice rappresenti il primo vettore $vecR$ e il medio rappresenta il secondo vettore $vecF$ , il pollice ti indica la direzione del loro prodotto vettoriale. L'indice deve ruotare di 90° verso sinistra, cioè in senso antiorario se visto dall'alto del pollice, per sovrapporsi al medio.
SE fai caso, questo ordine si presenta normalmente anche nella terna cartesiana $O x,y,z,$ ovvero $O, veci, vecj, veck $ . Infatti il versore $veck$ , che è l'equivalente del pollice della destra, vede il versore $veci$ ruotare di 90 ° in senso antiorario per sovrapporsi al versore $vecj$ .
Ora, in un caso come il tuo , se avessi assunto una terna diversa, per esempio con l'asse $x$ rivolto non verso di te ma nel verso entrante nel foglio ( e quindi $y$ verso destra anziché sinistra, e $z$ sempre verso il basso) , il momento $vecM = vecRxxvecT$ sarebbe sempre rivolto come prima, quindi nel caso del primo disco sarebbe rivolto ora nel verso positivo dell'asse $x$, perciò la sua componente su $x$ sarebbe $M>0$ . E analogamente sarebbe positiva la componente di $vecL$ e della variazione $dvecL$ : tutto torna come prima.
È più brigoso a dirsi a parole che a farsi in pratica. Certo, ci vuole solo un po' di attenzione. Vedrai che col tempo ci prenderai la mano. Ma l'attenzione ci vuole sempre.
Il vettore momento di una forza è, per definizione, uguale al prodotto vettoriale del raggio vettore per la forza (vettore pure questo) : $ vecM = vecR xxvecF$ .
Il verso del prodotto vettoriale è convenzionale : da uno stesso punto tracci prima il primo vettore $vecR$ , poi il secondo vettore $vecF$ . Il loro prodotto vettoriale è un vettore che, tracciato a partire dallo stesso punto, obbedisce alla regola della mano destra . Se cioè apri le prime tre dita della mano destra in modo che l'indice rappresenti il primo vettore $vecR$ e il medio rappresenta il secondo vettore $vecF$ , il pollice ti indica la direzione del loro prodotto vettoriale. L'indice deve ruotare di 90° verso sinistra, cioè in senso antiorario se visto dall'alto del pollice, per sovrapporsi al medio.
SE fai caso, questo ordine si presenta normalmente anche nella terna cartesiana $O x,y,z,$ ovvero $O, veci, vecj, veck $ . Infatti il versore $veck$ , che è l'equivalente del pollice della destra, vede il versore $veci$ ruotare di 90 ° in senso antiorario per sovrapporsi al versore $vecj$ .
Ora, in un caso come il tuo , se avessi assunto una terna diversa, per esempio con l'asse $x$ rivolto non verso di te ma nel verso entrante nel foglio ( e quindi $y$ verso destra anziché sinistra, e $z$ sempre verso il basso) , il momento $vecM = vecRxxvecT$ sarebbe sempre rivolto come prima, quindi nel caso del primo disco sarebbe rivolto ora nel verso positivo dell'asse $x$, perciò la sua componente su $x$ sarebbe $M>0$ . E analogamente sarebbe positiva la componente di $vecL$ e della variazione $dvecL$ : tutto torna come prima.
È più brigoso a dirsi a parole che a farsi in pratica. Certo, ci vuole solo un po' di attenzione. Vedrai che col tempo ci prenderai la mano. Ma l'attenzione ci vuole sempre.
Quindi se avessi piu momenti che formano il vettore momento esterno per attribuirgli il segno posso confrontare il loro verso con quello del vettore $L$ ? (Una volta fissato il sistema di riferimento ovviamente)
"sdrabb":
Quindi se avessi piu momenti che formano il vettore momento esterno per attribuirgli il segno posso confrontare il loro verso con quello del vettore $L$ ? (Una volta fissato il sistema di riferimento ovviamente)
No, non è questo il concetto. Se hai più momenti esterni al sistema, calcolati rispetto a uno stesso polo (in genere il CM o un punto fisso : se si sceglie un polo qualunque c'è un ulteriore termine che, se ricordo bene,rappresenta il momento, rispetto al polo assunto, della quantità di moto totale applicata nel CM), la cui somma vettoriale è un certo $vecM$, esso causa variazione del momento angolare del sistema rispetto allo stesso polo:
$vecM = (dvecL)/(dt)$
Ma il "segno" del momento non è legato al segno di $vecL$ , se ho capito la domanda. Il segno della componente di $vecM$ su un certo asse dipende da come è disposto il vettore rispetto all'asse.
Perfetto
E quindi nel precedente esercizio nn capisco ancora perché metto nella prima equazione dei momenti $RT$
Invece che $-RT$.... Se metto $-RT $ il risultato non cambia?
E quindi nel precedente esercizio nn capisco ancora perché metto nella prima equazione dei momenti $RT$
Invece che $-RT$.... Se metto $-RT $ il risultato non cambia?
Se vuoi mettere $-RT$ , devi mettere il segno " $-$ " anche al primo membro, e tutto torna .
Ci sono quasi... Quindi devo stare attento anche al segno del primo termine dell'equazione a seconda di come ho supposto che giri giusto?
Sissignore. Devi stare attento ai segni di entrambi i membri . Comunque guarda : un momento orario causa una accelerazione angolare oraria, un momento antiorario causa una accelerazione antioraria. Non ti puoi sbagliare su questo.
Quindi se l'asse di riferimento è concorde al vettore a primo membro deve essere concorde anche al vettore che è a secondo membro. E percio il segno delle componenti sull'asse, quando vai a proiettare, è uguale a primo e a secondo membro, chiaro?
È più la fatica a scrivere a parole che la pratica di questi concetti….
Quindi se l'asse di riferimento è concorde al vettore a primo membro deve essere concorde anche al vettore che è a secondo membro. E percio il segno delle componenti sull'asse, quando vai a proiettare, è uguale a primo e a secondo membro, chiaro?
È più la fatica a scrivere a parole che la pratica di questi concetti….
perfetto
ora un'ultima cosa in questo caso posso stabilire il segno del primo membro perchè so come ruota poichè è indicato nel disegno (o comunque c'è un unicomomento).... nel caso in cui non riesco a stabilire a priori come ruoti(perchè magari ci sono più momenti ) il disco e di consequenza il segno del primo membro, il verso in questo caso è unicamente dovuto ai segni che sono nel secondo termine dell'equazione vero?

ora un'ultima cosa in questo caso posso stabilire il segno del primo membro perchè so come ruota poichè è indicato nel disegno (o comunque c'è un unicomomento).... nel caso in cui non riesco a stabilire a priori come ruoti(perchè magari ci sono più momenti ) il disco e di consequenza il segno del primo membro, il verso in questo caso è unicamente dovuto ai segni che sono nel secondo termine dell'equazione vero?
"sdrabb":
perfetto![]()
ora un'ultima cosa in questo caso posso stabilire il segno del primo membro perchè so come ruota poichè è indicato nel disegno (o comunque c'è un unicomomento).... nel caso in cui non riesco a stabilire a priori come ruoti(perchè magari ci sono più momenti ) il disco e di consequenza il segno del primo membro, il verso in questo caso è unicamente dovuto ai segni che sono nel secondo termine dell'equazione vero?
Ma se ci sono più momenti, riferiti allo stesso polo, che in genere è il centro disco, puoi farne il risultante, no ?
E quel momento risultante determina l'accelerazione angolare del disco. Perciò ricadi in quello che ti ho detto prima.
grazie mille!