[Esercizio] Eq.del moto sbarra+molla

[BigDummy]

Ciao ragazzi, ho problemi per quanto riguarda il punto b di questo esercizio:

https://imgur.com/a/s8FrlIB

Anzitutto, il momento d'inerzia calcolato rispetto al fulcro è $I_O=(ML^2)/3+Mx^2=M(L^2/3+x^2)$


Poi ipotizzando che la molla si allunghi di una quantità $Deltay$ e chiamando $theta$ l'angolo tra sbarra e orizzontale posso scriver $Deltay=(L-x)sintheta rarr sintheta=Deltay/(L-x)$

Qui mi blocco e non so più continuare,vi lascio la soluzione:

Indicando con ∆y0+∆y l’allungamento complessivo della molla e misurando rispetto all’orizzontale l’angolo di inclinazione θ, si ha che, per piccoli spostamenti, θ≅∆y/(L−x). L’equazione del moto è $τ=Iα$ con $α=d^2θ/dt^2$ e $τ=Mgx−k(∆y+∆y0)(L−x)= −k∆y(L−x)$. Dunque,$ k∆y(L−x)^2=−I×d^2(∆y)/dt^2$, che è l’equazione di un moto armonico di pulsazione$ Ω=√{[k(L−x)^2]/[M(L2/3+x2)]}$.

Qualcuno potrebbe spiegarmi meglio come si arriva all'equazione del moto finale??
Grazie mille!

[Studente Anonimo]

Così è meglio:

[donald_zeka]

E' la seconda equazione cardinale...che c'è da capire

[BigDummy]

Per esempio, il momento dato dalla forza peso viene scritto come $Mgx$ e basta, ma non dovrebbe essere moltiplicato per il seno dell'angolo che la forza peso forma con la direzione della sbarretta?

Cioè $Mgx$ è il momento della forza peso quando la sbarra è in orizzontale, ma quando ruota di un angolo $theta$ come fa ad essere di nuovo $Mgx$??

[donald_zeka]

Perché si fa l'approssimazione per piccoli angoli, fatti uno schema e vedi

[BigDummy]

Ok,approssimando $sentheta=theta$ e $costheta=1$ mi trovo:
$Ialpha=Mgx-k(Deltay+Deltay_0)(L-x)$

io avrei scritto questa come soluzione al quesito; tuttavia il prof continua e scrive che l'equazione sopra è uguale a $−k∆y(L−x)$.

Sarà banale anche questo ma non ho capito perchè..
Poi scrive:

Dunque, $k∆y(L−x)^2=−I×d^2(∆y)/dt^2$, che è l’equazione di un moto armonico di pulsazione Ω=√{[k(L−x)2]/[M(L2/3+x2)]}.

[donald_zeka]

L'equazione non si scrive in funzione di y ma di $theta$.

Ruotando la sbarra di $theta$ rispetto all'orizzontale, la molla si allunga di $(L-x)sin theta=(L-x)theta$ e provoca un momento opposto alla rotazione, quindi $-k(L-x)^2theta$, l'equazione di moto della sbarretta è:

$Iddot theta=-k(L-x)^2theta+Mgx$

Questa e quella che ha scritto il prof sono la stessa equazione ma scritta rispetto a coordinate diverse, il prof ha scritto gli spostamenti rispetto alla posizione di equilibrio della molla, io l'ho scritto rispetto alla posizione di equilibrio della sbarra, è ovvio che la mia soluzione è migliore in quanto ci interessa il moto della sbarretta, che è un moto angolare, della y non ce ne frega nulla né tantomeno della posizione della molla.

[donald_zeka]

Arrivato al terzo anno dovresti avere un po' di familiarità con le equazioni differenziali...non si scrivono gli $a$ e $alpha$, ma le derivate temporali delle coordinate...che ingegneri siete.

[donald_zeka]

Mmh no, diciamo che in verità ha ragione il prof, l'equazione che ho scritto io in verità dovrebbe essere $Iddot theta=-k(L-x)^2theta +Mgx-F_0(L-x)$ dove $F_0$ è la forza iniziale dovuta alla molla già allungata nella posizione di equilibrio, ma nella posizione di equilibrio è $Mgx-F_0(L-x)=0$ quindi l'equazione diventa solo $Iddot theta=-k(L-x)^2theta$

[donald_zeka]

Resta il fatto che l'equazione va scritta rispetto a $theta$ perché ci interessa il moto della sbarretta, e infatti l'esercizio chiede il moto di quest'ultima di cui da la posizione angolare iniziale e la velocitò angolare iniziale.

[BigDummy]

L'equazione non si scrive in funzione di y ma di θ

Giusto
Inoltre non avevo collegato che al primo punto avevo calcolato $Mgx=kDeltay_0(L-x)$ , equazione che giustificava la semplificazione del secondo punto. Ca**ata.

Ti ringrazio,Vulpasir.