Esercizio energia potenziale
Un punto materiale di massa m si muove lungo una ascissa curvilinea s sotto
l’effetto del potenziale rappresentato in figura. I punti A, B, C, D ed E sono
equispaziati ad una distanza d. L’andamento del potenziale in un intorno della
posizione C può essere rappresentato dalla funzione:
$$V(s) = as^2 + bs + c $$
1. Si determini la coordinata se del punto C, che rappresenta la posizione di
equilibrio stabile per il punto materiale.
2. Qual è la massima velocità vM che può avere il punto materiale nella posizione
C perché la sua legge oraria rappresenti un moto oscillatorio intorno a C?
3. Se nell’istante t = 0 il punto passa nella posizione C con una velocità v0 tale
da rimanere nell’intorno di C nel quale il potenziale è espresso dalla funzione
V (s) definita sopra, si determini la legge oraria e si determini il massimo
valore della forza a cui è soggetto il punto materiale durante il moto.
Se si assume ora che oltre al potenziale rappresentato in figura sia presente una
forza di attrito dinamico, approssimabile con una forza resistente costante pari a
fa, e che il punto passi per la posizione A con una velocità positiva vA,
4. si determinino le possibili posizioni raggiunte dal punto materiale per $t\rightarrow\infty$
al variare di vA.
Mi sono trovato abbastanza in difficoltà con questo esercizio, però ho provato cosi:
1)$frac{dV(s)}{ds} = 2as + b$
Da cui si ricava che $s_c = -frac{b}{2a}$, che deve essere per forza un minimo per la parabola
2) Non so, mi viene in mente che
$frac{1}{2}mv^2 + V(s_c) = E_m$
Ma non avendo $E_m$ non so come andare avanti
3)Ogni forza conservative può essere considerata come una forza elastica in condizioni di equilibrio
Per cui, per il secondo principio della dinamica:
$-k(s-s_c) = m\ddot{s}$
da cui:
$s(t) =s_c + Acos(\omega t + \phi)$
e imponendo le condizioni iniziali:
$s(t=0) = s_c$
$\dot{s}(t=0) = v_0$
si ricava:
$s(t) = s_c + frac{v_0}{\omega}sin(\omegat)$, dove $\omega = \sqrt{frac{2a}{m}}$
Poi $f_{max} = m\ddot{s}_{max} = |-m\omegav_0|$
4) Boh
Qualcuno può aiutarmi a completarlo?
l’effetto del potenziale rappresentato in figura. I punti A, B, C, D ed E sono
equispaziati ad una distanza d. L’andamento del potenziale in un intorno della
posizione C può essere rappresentato dalla funzione:
$$V(s) = as^2 + bs + c $$
1. Si determini la coordinata se del punto C, che rappresenta la posizione di
equilibrio stabile per il punto materiale.
2. Qual è la massima velocità vM che può avere il punto materiale nella posizione
C perché la sua legge oraria rappresenti un moto oscillatorio intorno a C?
3. Se nell’istante t = 0 il punto passa nella posizione C con una velocità v0 tale
da rimanere nell’intorno di C nel quale il potenziale è espresso dalla funzione
V (s) definita sopra, si determini la legge oraria e si determini il massimo
valore della forza a cui è soggetto il punto materiale durante il moto.
Se si assume ora che oltre al potenziale rappresentato in figura sia presente una
forza di attrito dinamico, approssimabile con una forza resistente costante pari a
fa, e che il punto passi per la posizione A con una velocità positiva vA,
4. si determinino le possibili posizioni raggiunte dal punto materiale per $t\rightarrow\infty$
al variare di vA.
Mi sono trovato abbastanza in difficoltà con questo esercizio, però ho provato cosi:
1)$frac{dV(s)}{ds} = 2as + b$
Da cui si ricava che $s_c = -frac{b}{2a}$, che deve essere per forza un minimo per la parabola
2) Non so, mi viene in mente che
$frac{1}{2}mv^2 + V(s_c) = E_m$
Ma non avendo $E_m$ non so come andare avanti
3)Ogni forza conservative può essere considerata come una forza elastica in condizioni di equilibrio
Per cui, per il secondo principio della dinamica:
$-k(s-s_c) = m\ddot{s}$
da cui:
$s(t) =s_c + Acos(\omega t + \phi)$
e imponendo le condizioni iniziali:
$s(t=0) = s_c$
$\dot{s}(t=0) = v_0$
si ricava:
$s(t) = s_c + frac{v_0}{\omega}sin(\omegat)$, dove $\omega = \sqrt{frac{2a}{m}}$
Poi $f_{max} = m\ddot{s}_{max} = |-m\omegav_0|$
4) Boh
Qualcuno può aiutarmi a completarlo?
Risposte
Per il punto 2 direi che bisogna fare affidamento sulla figura, da cui si evince che la differenza di potenziale fra C e i bordi della buca è 0.8. Quindi l'oggetto resta confinato se la sua velocità in C non gli permette di superare il bordo.
Per il punto 4 mi pare che ci sono tre casi: se $V_A$ è abbastanza bassa, l'oggetto rimbalza sulla prima barriera, quindi alla fine se ne andrà a sinistra (sempre che la velocità non sia così bassa da fermarsi prima del rimbalzo)
Per $V_A$ più alta entra nella buca ma non può uscirne, per cui si fermerà da qualche parte intorno a C
Per $V_A$ superiore supera la buca e si ferma a destra.
Dei risultati quantitativi mi sembra difficile ottenerli con i dati a disposizione.
Per il punto 4 mi pare che ci sono tre casi: se $V_A$ è abbastanza bassa, l'oggetto rimbalza sulla prima barriera, quindi alla fine se ne andrà a sinistra (sempre che la velocità non sia così bassa da fermarsi prima del rimbalzo)
Per $V_A$ più alta entra nella buca ma non può uscirne, per cui si fermerà da qualche parte intorno a C
Per $V_A$ superiore supera la buca e si ferma a destra.
Dei risultati quantitativi mi sembra difficile ottenerli con i dati a disposizione.
Gli altri punti sono svolti bene?
2)
$frac{1}{2}mv_{max}^2 = \DeltaV$
$v_{max} = \sqrt{frac{1.6}{m}}$
O sbaglio?
Per il 4, ci devo pensare su ancora un pò...
2)
$frac{1}{2}mv_{max}^2 = \DeltaV$
$v_{max} = \sqrt{frac{1.6}{m}}$
O sbaglio?
Per il 4, ci devo pensare su ancora un pò...
"Nexus99":
Gli altri punti sono svolti bene?
Mi pare di sì
Ok allora per il 4 si può dire:
Dato che $V(s) = 0$ nel punto A, l'energia meccanica viene fissata come: $E_m = frac{1}{2}mv_A^2$, che però non si conserva.
A questo punto:
Se $frac{1}{2}mv_A^2 ≤ 0.4+L_{Fa}$ ovvero $v_A ≤ \sqrt{frac{0.8+2L_{Fa}}{m}}$ la massa non supera neanche la prima barriera di potenziale
Se $0.4 + L_{Fa} < frac{1}{2}mv_A^2 ≤ 0.8 + L_{Fa}$ ovvero $\sqrt{frac{0.8+2L_{Fa}}{m}} < v_A ≤ \sqrt{frac{1.6+2L_{Fa}}{m}}$ la massa supera il primo potenziale ma rimane nel "buco"
Se $frac{1}{2}mv_A^2 > 0.8+L_{Fa}$ ovvero $v_A > \sqrt{frac{1.6+L_{Fa}}{m}}$ la massa supera tutte le barriere di potenziale
Dato che $V(s) = 0$ nel punto A, l'energia meccanica viene fissata come: $E_m = frac{1}{2}mv_A^2$, che però non si conserva.
A questo punto:
Se $frac{1}{2}mv_A^2 ≤ 0.4+L_{Fa}$ ovvero $v_A ≤ \sqrt{frac{0.8+2L_{Fa}}{m}}$ la massa non supera neanche la prima barriera di potenziale
Se $0.4 + L_{Fa} < frac{1}{2}mv_A^2 ≤ 0.8 + L_{Fa}$ ovvero $\sqrt{frac{0.8+2L_{Fa}}{m}} < v_A ≤ \sqrt{frac{1.6+2L_{Fa}}{m}}$ la massa supera il primo potenziale ma rimane nel "buco"
Se $frac{1}{2}mv_A^2 > 0.8+L_{Fa}$ ovvero $v_A > \sqrt{frac{1.6+L_{Fa}}{m}}$ la massa supera tutte le barriere di potenziale
Beh, dovresti trovare la posizione finale... se si suppone che il potenziale non sia dovuto alla gravità, ma a qualcos'altro, e invece immaginiamo che il corpo si muova sempre in orizzontale - allora ti viene facile trovare il lavoro della forza d'attrito, come $mu_d * mg * s$
Ma dell'ascissa curvilinea non abbiamo una vera e propria espressione o sbaglio?
Si sa solo che i punti sono posti ad una distanza d tra loro.
Allora dovrei considerare, per esempio
$L_{Fa_{AB}} = -\mu_dmgd$ ?
Si sa solo che i punti sono posti ad una distanza d tra loro.
Allora dovrei considerare, per esempio
$L_{Fa_{AB}} = -\mu_dmgd$ ?
"Nexus99":
Allora dovrei considerare, per esempio
$L_{Fa_{AB}} = -\mu_dmgd$ ?
Potrebbe andare, solo che per poter usare semplicemente $mg$ occorre che il percorso sia orizzontale. In questo senso dicevo che il potenziale non può essere quello gravitazionale.
Cosa vuoi dire?
Che tutte le forze conservative sono elastiche?
O una forza conservativa vale un''altra?
Che tutte le forze conservative sono elastiche?
O una forza conservativa vale un''altra?
Forse mi sono espresso male:
In un intorno di una posizione di equilibrio stabile ed in assenza di attrito tutte le forze conservative assumono lo stesso comportamento delle forze elastiche.
Comunque per il punto 4 suppongo si possa considerare il modulo della forza proprio come $f_A$, altrimenti non c'è altro modo di farlo
In un intorno di una posizione di equilibrio stabile ed in assenza di attrito tutte le forze conservative assumono lo stesso comportamento delle forze elastiche.
Comunque per il punto 4 suppongo si possa considerare il modulo della forza proprio come $f_A$, altrimenti non c'è altro modo di farlo
"Nexus99":
In un intorno di una posizione di equilibrio stabile ed in assenza di attrito tutte le forze conservative assumono lo stesso comportamento delle forze elastiche.
Questo vuol dire che in uno sviluppo in serie della forza c'è sempre un termine di primo ordine, cioè con la forza proporzionale allo spostamento?
C'è un teorema che dice questo? Non potrebbe quindi iniziare con termini di ordine superiore?
La forza la ottengo sviluppando in serie di taylor nell'intorno del punto di equilibrio stabile V(s) e tenendo in considerazione che: $f_s = - frac{dV}{ds}$, dove con il pedice della s intendo la componente tangente alla traiettoria. In questo caso c'è sempre il termine di secondo ordine (che corrisponde a quello da derivare per ottenere quello di primo ordine della forza) perchè in un punto di equilibrio stabile:$ frac{d^2V}{ds^2} > 0$.
Se c'è un teorema su queste cose non lo so, io ho solo seguito gli appunti del mio professore ed il libro che non lo presentavano come teorema
Se c'è un teorema su queste cose non lo so, io ho solo seguito gli appunti del mio professore ed il libro che non lo presentavano come teorema
Però mi viene in mente che un potenziale del tipo $x^4$ ha $ frac{d^2V}{ds^2} = 0$ nell'origine, l'equilibrio in $x = 0$ è evidentemente stabile e non ci sono termini di primo ordine. Ma forse è un caso un po' anomalo...
Non so non ho trattato queste cose cosi a fondo, magari è effettivamente un caso anomalo. Forse questa cosa non è un teorema perchè ci sono diverse eccezioni...
Riporto una pagina del Focardi sull'argomento, magari può essere utile e/o interessante per qualcuno che legge
Riporto una pagina del Focardi sull'argomento, magari può essere utile e/o interessante per qualcuno che legge
Be al punto 3.) la velocità massima è quando
$ sin( ωt) =1 $, e trovi l'ampiezza, (ma va bene come lo hai fatto)
E I punti di equilibrio sono solo 3, due instabili e uno stabile e li trovi dal grafico
$ sin( ωt) =1 $, e trovi l'ampiezza, (ma va bene come lo hai fatto)
E I punti di equilibrio sono solo 3, due instabili e uno stabile e li trovi dal grafico
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