Esercizio elettroni e spin
Buonasera, ho qui un esercizio che non capisco come risolvere.
Ho un gruppo di elettroni tutti nello stesso stato di spin descritto da $|chi> =alpha( ( sqrt3 ),( -i ) )$
Mi chiede quali sono le possibili misure di $|S^2|^2, |S_z|^2$, i valori di aspettazioni, le deviazioni standard e quali siano le rispettive probabilità.
Ora... io so che le possibili misure di $S^2, S_z$, sono i loro autovalori, cioè:
$S^2=s(s+1)barh^2$
$S_z=m_sbarh$
ed elevandoli al quadrato ottengo i moduli quadri. Inoltre
$ =$
$ =$
e
$sigma_(S^2)=1/Nsqrt(sum_iS_i^2-)$
$sigma_(S_z)=1/Nsqrt(sum_iS_(z_i)-)$
Ma non sono certo di come calcolare la probabilità, né di come collegare lo spinore agli autovalori. O forse lo spinore serve solo a trovare i valori di aspettazione e la deviazione std?
Grazie
Ho un gruppo di elettroni tutti nello stesso stato di spin descritto da $|chi> =alpha( ( sqrt3 ),( -i ) )$
Mi chiede quali sono le possibili misure di $|S^2|^2, |S_z|^2$, i valori di aspettazioni, le deviazioni standard e quali siano le rispettive probabilità.
Ora... io so che le possibili misure di $S^2, S_z$, sono i loro autovalori, cioè:
$S^2=s(s+1)barh^2$
$S_z=m_sbarh$
ed elevandoli al quadrato ottengo i moduli quadri. Inoltre
$
$
e
$sigma_(S^2)=1/Nsqrt(sum_iS_i^2-
$sigma_(S_z)=1/Nsqrt(sum_iS_(z_i)-
Ma non sono certo di come calcolare la probabilità, né di come collegare lo spinore agli autovalori. O forse lo spinore serve solo a trovare i valori di aspettazione e la deviazione std?
Grazie
Risposte
Provo a risponderti poi magari qualche membro più esperto mi correggerà 
:
Lo spinore ti da informazioni sulle probabilità attraverso i suoi coefficienti, una volta che è stato normalizzato.
Io direi che se chiami $|chi_pm>$ gli autovettori tali che:
${(hat(S^2)|chi_pm> =3/4bar(h)^2 |chi_pm>),(hat(S_z)|chi_pm> = pmbar(h)/2|chi_pm>):}$
puoi scrivere un generico stato $|chi>$ come combinazione di autovettori cioè $|chi> =a |chi_(-)> + b |chi_(+)>$. Questo è equivalente a $((a),(b))$ se lavori con gli spinori, quindi le probabiltà sono $|a|^2$ e $|b|^2$ (se hai normalizzato).
Con gli spinori puoi risolvere l'intero problema, usando al posto degli operatori le matrici associate rispetto alla base che hai scelto
:Lo spinore ti da informazioni sulle probabilità attraverso i suoi coefficienti, una volta che è stato normalizzato.
Io direi che se chiami $|chi_pm>$ gli autovettori tali che:
${(hat(S^2)|chi_pm> =3/4bar(h)^2 |chi_pm>),(hat(S_z)|chi_pm> = pmbar(h)/2|chi_pm>):}$
puoi scrivere un generico stato $|chi>$ come combinazione di autovettori cioè $|chi> =a |chi_(-)> + b |chi_(+)>$. Questo è equivalente a $((a),(b))$ se lavori con gli spinori, quindi le probabiltà sono $|a|^2$ e $|b|^2$ (se hai normalizzato).
Con gli spinori puoi risolvere l'intero problema, usando al posto degli operatori le matrici associate rispetto alla base che hai scelto
Dunque, vediamo se ho capito. Cominciamo a normalizzare per trovare alfa:
$ =1 -> alpha^2 ( sqrt3 \ \ i ) ( ( sqrt3 ),( -i ) )=1 -> alpha^2(3+1)=1 -> alpha=+-1/2$
Ora, in rappresentazione matriciale avrò:
$hatS^2=3/4barh^2( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
$hatS_z=barh/2( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $
Ora posso quindi dire che dato lo spinore che ho lì, avrò che
$hatS^2: P(3/4barh^2)=|sqrt3/2|^2=0,75$, associato all'autovettore $(1 \ \ 0)^T$ e $P(3/4barh^2)=|i/2|^2=0,25$ associato all'autovettore $(0 \ \ 1)^T$ (che è il modo faticoso di ricordare che in ogni caso la misurazione di $hatS^2$ darà il suo unico autovalore possibile).
e invece
$S_z: P(barh/2)=|sqrt3/2|^2=0,75$ associato all'autovettore $(1 \ \ 0)^T$ e $P(-barh/2)=|i/2|^2=0,25$ associato all'autovettore $(0 \ \ 1)^T$
Torna o mi sono perso per strada?
$
Ora, in rappresentazione matriciale avrò:
$hatS^2=3/4barh^2( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
$hatS_z=barh/2( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $
Ora posso quindi dire che dato lo spinore che ho lì, avrò che
$hatS^2: P(3/4barh^2)=|sqrt3/2|^2=0,75$, associato all'autovettore $(1 \ \ 0)^T$ e $P(3/4barh^2)=|i/2|^2=0,25$ associato all'autovettore $(0 \ \ 1)^T$ (che è il modo faticoso di ricordare che in ogni caso la misurazione di $hatS^2$ darà il suo unico autovalore possibile).
e invece
$S_z: P(barh/2)=|sqrt3/2|^2=0,75$ associato all'autovettore $(1 \ \ 0)^T$ e $P(-barh/2)=|i/2|^2=0,25$ associato all'autovettore $(0 \ \ 1)^T$
Torna o mi sono perso per strada?
Per me ha senso, se poi un membro più esperto da l'ok sarebbe il top
Sì mi pare corretto.
Grazie mille ad entrambi! 
Scusate, riapro un momento la conversazione, perché sono incappato in un altro esercizio basato su questo stesso modello (stessi dati e tutto il resto).
Mi si chiede quali siano i risultati delle misure di $hatS_x, hatS_y$, i loro valori di aspettazione, le deviazioni standard, e si chiede inoltre di usare i risultati per ricavare il principio di indeterminazione generalizzato.
Ora, per quanto riguarda le misure (correggetemi se sbaglio per favore), esse sarebbero uguali, perché la scelta dell'asse di simmetria è arbitraria, e dunque $hatS_x, hatS_y, hatS_z$ condividono gli autovalori. Di conseguenza, anche valori di aspettazione e deviazione standard coinciderebbero.
Il problema nasce dal collegamento con l'indeterminazione generalizzata. Il mio ragionamento presuppone di dimostrare che
$sigma_xsigma_y>=1/2|<[hatS_x,hatS_y]>|$
Però siccome ogni misura di $S_x$ restituisce sempre l'autovalore $3/4barh^2$, l'incertezza sulla sua misura è nulla, cioè $sigma_x=0$.
Ma allora l'indeterminazione dovrebbe essere nulla a sua volta, e so che non è così perchè $[hatS_i,hatS_j]=epsilon_(123)ibarhhatS_z!=0$ , cioè non commutano per $i!=j$
Ho il mezzo sospetto che in qualche modo c'entrino le matrici di Pauli, ma non riesco a capire come.
Ancora grazie.
Mi si chiede quali siano i risultati delle misure di $hatS_x, hatS_y$, i loro valori di aspettazione, le deviazioni standard, e si chiede inoltre di usare i risultati per ricavare il principio di indeterminazione generalizzato.
Ora, per quanto riguarda le misure (correggetemi se sbaglio per favore), esse sarebbero uguali, perché la scelta dell'asse di simmetria è arbitraria, e dunque $hatS_x, hatS_y, hatS_z$ condividono gli autovalori. Di conseguenza, anche valori di aspettazione e deviazione standard coinciderebbero.
Il problema nasce dal collegamento con l'indeterminazione generalizzata. Il mio ragionamento presuppone di dimostrare che
$sigma_xsigma_y>=1/2|<[hatS_x,hatS_y]>|$
Però siccome ogni misura di $S_x$ restituisce sempre l'autovalore $3/4barh^2$, l'incertezza sulla sua misura è nulla, cioè $sigma_x=0$.
Ma allora l'indeterminazione dovrebbe essere nulla a sua volta, e so che non è così perchè $[hatS_i,hatS_j]=epsilon_(123)ibarhhatS_z!=0$ , cioè non commutano per $i!=j$
Ho il mezzo sospetto che in qualche modo c'entrino le matrici di Pauli, ma non riesco a capire come.
Ancora grazie.
Gli autovalori delle matrici di Pauli non cambiano, certo, ma gli autostati cambiano. Scrivi lo stato che hai come combinazione lineare degli opportuni stati di base ed estrai le probabilità. Poi non ho capito perché la misura di $S_x$ sia $ 3/4 h^2$
Edit: cioè non so se è chiaro, forse prima avendo la base canonica hai dato per scontato un po'di cose ma il sistema di riferimento non lo puoi cambiare a tuo piacimento, hai uno stato determinato da considerare. Ovviamente se ogni volta cambi asse di quantizzazione è come se stessi dicendo di poter misurare contemporaneamente le varie proiezioni dello spin ed è chiaro che poi ti viene il commutatore nullo.
Edit: cioè non so se è chiaro, forse prima avendo la base canonica hai dato per scontato un po'di cose ma il sistema di riferimento non lo puoi cambiare a tuo piacimento, hai uno stato determinato da considerare. Ovviamente se ogni volta cambi asse di quantizzazione è come se stessi dicendo di poter misurare contemporaneamente le varie proiezioni dello spin ed è chiaro che poi ti viene il commutatore nullo.
La verità è che purtroppo sono scemo 
Non so in base a quale delirio io abbia deciso di usare $3/4barh^2$ come autovalore di $hatS_x$.
Ora, certamente non posso cambiare asse in corso d'opera, ma per quel che ho studiato e visto in altri esercizi, le misure di $hatS_x,hat S_y, hatS_z$ sono le stesse, coerentemente con l'asse scelto prima di iniziare (è proprio la risposta canonica a domande del genere che si ripete nei libri che uso, forse non la approfondisce a sufficienza e dunque do cose per scontate?)
Inoltre ho un dubbio (banale, probabilmente): so che le matrici di Pauli rappresentano le componenti dello spin, ma questo vuol dire, in termini pratici, che se:
$sigma_x=( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ), sigma_y=( ( 0 , -i ),( i , 0 ) ) , sigma_x=( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $
allora se ad esempio misuro $hatS_z$ e trovo $+-barh/2=barh/2sigma_z$ significa che $hatS_x=barh/2sigma_x, hatS_y=barh/2sigma_y$ che tradotto in questo esercizio significherebbe
$ = ( sqrt3/2 \ \ i/2 )barh/2sigma_x ( ( sqrt3 ),( -i/2 ) ) $
$ = ( sqrt3/2 \ \ i/2 )barh/2sigma_y ( ( sqrt3 ),( -i/2 ) ) $
(da cui poi trovo le deviazioni standard e il loro prodotto, che dovrà risultare $>=1/2|<[hatS_x, hatS_y]>| =1/2||$?
Non so in base a quale delirio io abbia deciso di usare $3/4barh^2$ come autovalore di $hatS_x$.
Ora, certamente non posso cambiare asse in corso d'opera, ma per quel che ho studiato e visto in altri esercizi, le misure di $hatS_x,hat S_y, hatS_z$ sono le stesse, coerentemente con l'asse scelto prima di iniziare (è proprio la risposta canonica a domande del genere che si ripete nei libri che uso, forse non la approfondisce a sufficienza e dunque do cose per scontate?)
Inoltre ho un dubbio (banale, probabilmente): so che le matrici di Pauli rappresentano le componenti dello spin, ma questo vuol dire, in termini pratici, che se:
$sigma_x=( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ), sigma_y=( ( 0 , -i ),( i , 0 ) ) , sigma_x=( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $
allora se ad esempio misuro $hatS_z$ e trovo $+-barh/2=barh/2sigma_z$ significa che $hatS_x=barh/2sigma_x, hatS_y=barh/2sigma_y$ che tradotto in questo esercizio significherebbe
$
$
(da cui poi trovo le deviazioni standard e il loro prodotto, che dovrà risultare $>=1/2|<[hatS_x, hatS_y]>| =1/2|
Sì, ma ripeto, perchè forse non hai colto lo spunto. Oltre a quel valore su cui ti eri confuso, la frase incriminata è questa
Se stessi valutando i singoli autostati delle varie proiezioni sarebbe vera, ma tu hai uno stato ben definito ed il valore di aspettazione della proiezione lungo un asse (cioè il valor medio sullo stato), non ha motivo di essere uguale anche per le altre(provare per credere).
E soprattutto non c'è motivo per cui le probabilità di osservare determinati valori delle misure siano uguali. Gli autostati cambiano.
Se fai una misura lungo z la probabilità di osservare $s_z=+1/2$ è $|(1,0)*"("\sqrt3,-i")"1/2|^2=3/4$
Se fai una misura lungo x la probabilità di osservare $s_x=+1/2$ è $|"("1,1")"1/sqrt2*"("sqrt3,-i")"1/2|^2=1/8 |sqrt3-i|^2=1/2$
E queste misure sono incompatibili cioè questi risultati non possono esistere simultaneamente.
Quindi oltre ai valori di aspettazione diversi anche gli scarti saranno diversi. Quella formula che hai postato all'inizio sulla deviazione standard non va bene, anche questo non l'ho detto alla fine perché avendo trovato giustamente i coefficienti dello sviluppo pensavo ti fossi corretto. Non valuti il fatto che la misura è eseguita su un determinato stato. I pesi non sono sempre $1/N$ ma ci devi sostituire la frequenza relativa che trovi analizzando lo stato rispetto alle varie basi, altrimenti i conti non ti tornano.
"Silence":
... e dunque $ hatS_x, hatS_y, hatS_z $ condividono gli autovalori. Di conseguenza, anche valori di aspettazione e deviazione standard coinciderebbero.
Se stessi valutando i singoli autostati delle varie proiezioni sarebbe vera, ma tu hai uno stato ben definito ed il valore di aspettazione della proiezione lungo un asse (cioè il valor medio sullo stato), non ha motivo di essere uguale anche per le altre(provare per credere).
E soprattutto non c'è motivo per cui le probabilità di osservare determinati valori delle misure siano uguali. Gli autostati cambiano.
Se fai una misura lungo z la probabilità di osservare $s_z=+1/2$ è $|(1,0)*"("\sqrt3,-i")"1/2|^2=3/4$
Se fai una misura lungo x la probabilità di osservare $s_x=+1/2$ è $|"("1,1")"1/sqrt2*"("sqrt3,-i")"1/2|^2=1/8 |sqrt3-i|^2=1/2$
E queste misure sono incompatibili cioè questi risultati non possono esistere simultaneamente.
Quindi oltre ai valori di aspettazione diversi anche gli scarti saranno diversi. Quella formula che hai postato all'inizio sulla deviazione standard non va bene, anche questo non l'ho detto alla fine perché avendo trovato giustamente i coefficienti dello sviluppo pensavo ti fossi corretto. Non valuti il fatto che la misura è eseguita su un determinato stato. I pesi non sono sempre $1/N$ ma ci devi sostituire la frequenza relativa che trovi analizzando lo stato rispetto alle varie basi, altrimenti i conti non ti tornano.
Detesto assillarti, ma ti potrei chiedere la gentilezza di mostrarmi il procedimento per questo esercizio? A livello teorico ho capito dove sta il problema, ma non riesco a metterlo in pratica. Purtroppo sono uno di quelli che imparano e memorizzano a suon di esempi 
Lo scarto quadratico che ci interessa è ad esempio
$\sigma_(S_x)^2=\sum(S_(x_i) -)^2*f_i$ .
Ovviamente la frequenza relativa è la probabilità di fare quella determinata misura. Si sa in quantistica, presi dalle tante cose strane, ci si dimentica che si sta sempre facendo fisica ma il fatto che una misura che ha più probabilità di essere fatta pesi di più sull'errore è una cosa normale.
Le misure possibili $S_x_i$ sono $+-1/2$ , quindi dobbiamo calcolarci le relative probabilità e poi il valore di aspettazione sullo stato dato.
La probabilità di avere spin up (l'ho calcolata nella risposta precedente) è $f_(1/2)=1/2$ quindi ovviamente $f_(-1/2)=1/2$ pure.
Il valor medio sullo stato è $ = 0$ quindi
$\sigma_(S_x)^2=1/2 * (1/2-0)^2+1/2 (-1/2-0)^2=1/4$ quindi $\sigma_(S_x)=1/2$
Stessa cosa per $S_y$
$f_(1/2)=|("("1,-i")")/sqrt2 * ("("sqrt3,-i")")/2|^2=1/8 |sqrt3-1|^2=(2-sqrt3)/4$ quindi $f_(-1/2)=(2+sqrt3)/4$
Il valore medio che ho trovato è $-sqrt3/4$
La varianza si calcola come prima e se non mi sono perso qualche radice per strada, ho trovato che vale $1/(16)$ quindi la dev std è $1/4$
quindi vogliamo asserire che
$1/2*1/4>=1/2|<[hatS_x, hatS_y]>| =1/2||$
Calcolando il valor medio di S_z trovi che esso vale $1/4$ ma quindi
$1/2*1/4>=1/2*1/4 $ . Direi che ci siamo. Ricontrolla i calcoli magari ma il risultato mi sembra inequivocabile
$\sigma_(S_x)^2=\sum(S_(x_i) -
Ovviamente la frequenza relativa è la probabilità di fare quella determinata misura. Si sa in quantistica, presi dalle tante cose strane, ci si dimentica che si sta sempre facendo fisica ma il fatto che una misura che ha più probabilità di essere fatta pesi di più sull'errore è una cosa normale.
Le misure possibili $S_x_i$ sono $+-1/2$ , quindi dobbiamo calcolarci le relative probabilità e poi il valore di aspettazione sullo stato dato.
La probabilità di avere spin up (l'ho calcolata nella risposta precedente) è $f_(1/2)=1/2$ quindi ovviamente $f_(-1/2)=1/2$ pure.
Il valor medio sullo stato è $
$\sigma_(S_x)^2=1/2 * (1/2-0)^2+1/2 (-1/2-0)^2=1/4$ quindi $\sigma_(S_x)=1/2$
Stessa cosa per $S_y$
$f_(1/2)=|("("1,-i")")/sqrt2 * ("("sqrt3,-i")")/2|^2=1/8 |sqrt3-1|^2=(2-sqrt3)/4$ quindi $f_(-1/2)=(2+sqrt3)/4$
Il valore medio che ho trovato è $-sqrt3/4$
La varianza si calcola come prima e se non mi sono perso qualche radice per strada, ho trovato che vale $1/(16)$ quindi la dev std è $1/4$
quindi vogliamo asserire che
$1/2*1/4>=1/2|<[hatS_x, hatS_y]>| =1/2||$
Calcolando il valor medio di S_z trovi che esso vale $1/4$ ma quindi
$1/2*1/4>=1/2*1/4 $ . Direi che ci siamo. Ricontrolla i calcoli magari ma il risultato mi sembra inequivocabile
Lo è davvero, e adesso *credo* di esserci. Dunque, se ho ben capito (cosa che non sapevo), la probabilità di un autovalore di qualunque asse si può calcolare col modulo quadro dell'autovettore di Pauli corrispondente per lo spinore, ed ecco che naturalmente, pur avendo le stesse misure per $hatS_x, hatS_y, hatS_z$, cambiano valor atteso, sqm, probabilità.
(mi rendo conto che è una descrizione molto poco elegante, ma ha aiutato a mettere a fuoco il discorso sull'incompatibilità delle misure e sui diversi stati).
Avrei solo un'ultima domanda: posto che quanto io abbia capito sia effettivamente quel che è successo, quando calcoli le probabilità per $hatS_x, hatS_y$, da dove viene quel $1/sqrt2$ che moltiplichi per gli autovettori, e che non compare per $hatS_z$?
(mi rendo conto che è una descrizione molto poco elegante, ma ha aiutato a mettere a fuoco il discorso sull'incompatibilità delle misure e sui diversi stati).
Avrei solo un'ultima domanda: posto che quanto io abbia capito sia effettivamente quel che è successo, quando calcoli le probabilità per $hatS_x, hatS_y$, da dove viene quel $1/sqrt2$ che moltiplichi per gli autovettori, e che non compare per $hatS_z$?
Sì i coefficienti della combinazione lineare (i cui moduli quadri sono una probabilità) si trovano proiettando lo stato dato sullo stato di base, quindi facendo un prodotto scalare e questo vale in generale non solo per lo spin. La $\sqrt2$ è la normalizzazione dell'autostato. Quando calcoli una ampiezza di probabilità, gli stati devono essere normalizzati altrimenti le probabilità che trovi non ti sommeranno all'unità e saranno quindi sbagliate. Ovviamente per $S_z$ si ha la base canonica i cui elementi hanno norma 1 quindi non serve aggiungere nessuna normalizzazione.
Perfetto, immaginavo fosse quello, ma volevo accertarmene. Ancora grazie infinite per la pazienza!
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