Esercizio elettromagnetismo
Salve a tutti,
vi propongo questo problema: un condensatore a facce piane parallele e circolari (raggio a, distanza d) è collegato ad un generatore di tensione che eroga una ddp \( V(t)=V_0cos(\omega t) \) . Tra le facce viene teso un filo sottile rettilineo conduttore con resistenza R.
Determinare:
a) la corrente di conduzione nel filo tra le armature
b) Il campo elettrico tra le armature, la densità di corrente di spostamento e l'espessione della corrente totale di spostamento (trascurando la perturbazione del filo)
c) Il campo di induzione magnetica B tra le armature
Il modo in cui l'ho risolto è questo:
a) Ho utilizzato la legge di Ohm \( I(t)=V(t)/R \)
b)Il campo elettrico è: \( E(t)=\frac{V_0}{d}\cos{\omega t} \) e di conseguenza per trovare la densità di corrente di spostamento utilizzo \( \overline{J}=\epsilon_0 \frac{\partial \overline{E}}{\partial t} \) . La corrente di spostamento sarebbe la densità per \( \pi a^2 \)
c)Per trovare B utilizzo l'equazione di Ampère-Maxwell tenendo conto sia delle correnti libere sia di quelle di spostamento.
Secondo voi a senso oppure bisogna fare un ragionamento di altro tipo?
Grazie in anticipo
vi propongo questo problema: un condensatore a facce piane parallele e circolari (raggio a, distanza d) è collegato ad un generatore di tensione che eroga una ddp \( V(t)=V_0cos(\omega t) \) . Tra le facce viene teso un filo sottile rettilineo conduttore con resistenza R.
Determinare:
a) la corrente di conduzione nel filo tra le armature
b) Il campo elettrico tra le armature, la densità di corrente di spostamento e l'espessione della corrente totale di spostamento (trascurando la perturbazione del filo)
c) Il campo di induzione magnetica B tra le armature
Il modo in cui l'ho risolto è questo:
a) Ho utilizzato la legge di Ohm \( I(t)=V(t)/R \)
b)Il campo elettrico è: \( E(t)=\frac{V_0}{d}\cos{\omega t} \) e di conseguenza per trovare la densità di corrente di spostamento utilizzo \( \overline{J}=\epsilon_0 \frac{\partial \overline{E}}{\partial t} \) . La corrente di spostamento sarebbe la densità per \( \pi a^2 \)
c)Per trovare B utilizzo l'equazione di Ampère-Maxwell tenendo conto sia delle correnti libere sia di quelle di spostamento.
Secondo voi a senso oppure bisogna fare un ragionamento di altro tipo?
Grazie in anticipo
Risposte
Il tuo metodo è corretto; per la corrente di spostamento totale potresti anche direttamente usare la relazione costitutiva del bipolo condensatore.
Attendiamo i dettagli analitici della tua soluzione.
Attendiamo i dettagli analitici della tua soluzione.
Ok perfetto, quindi se non ho sbagliato qualche conto dovrebbe risultare:
a) $ I(t)=V_0/R cos(omega t) $
b) $ E(t)=V_0/d cos(omega t) $ , $ J_s = - {epsilon_0 V_0 omega} / d sin(omega t) $ , $ I_s(t) = - C V_0 omega sin(omega t) $
c) $nabla times B = mu_0 J_{"free"} + mu_0 J_s $ e quindi integrando su cisconferenze e applicando stokes per r $ B 2pir = mu_0 V_0/R cos(omega t) - {mu_0 epsilon_0 V_0 omega}/d pir^2 sin(omegat) $
$ B = {mu_0 V_0}/R cos(omega t)/{2pir} - {mu_0 epsilon_0 V_0 omega}/{2d} r sin(omega t) $
A questo punto però il problema implica che ad un istante t=0 venga scollegato il generatore di tensione, e chiede di trovare la carica sulle armature in quell'istante e l'andamento temporale della carica, della ddp, della corrente attraverso la resistenza e di E. Il mio dubbio è: il fatto che la resistenza si trovi all'interno del condensatore e metta in contatto le due armature, va ha modificare in qualche modo l'analisi del problema oppure posso trattarlo come un comune circuito RC in fase di carica/scarica?
a) $ I(t)=V_0/R cos(omega t) $
b) $ E(t)=V_0/d cos(omega t) $ , $ J_s = - {epsilon_0 V_0 omega} / d sin(omega t) $ , $ I_s(t) = - C V_0 omega sin(omega t) $
c) $nabla times B = mu_0 J_{"free"} + mu_0 J_s $ e quindi integrando su cisconferenze e applicando stokes per r $ B 2pir = mu_0 V_0/R cos(omega t) - {mu_0 epsilon_0 V_0 omega}/d pir^2 sin(omegat) $
$ B = {mu_0 V_0}/R cos(omega t)/{2pir} - {mu_0 epsilon_0 V_0 omega}/{2d} r sin(omega t) $
A questo punto però il problema implica che ad un istante t=0 venga scollegato il generatore di tensione, e chiede di trovare la carica sulle armature in quell'istante e l'andamento temporale della carica, della ddp, della corrente attraverso la resistenza e di E. Il mio dubbio è: il fatto che la resistenza si trovi all'interno del condensatore e metta in contatto le due armature, va ha modificare in qualche modo l'analisi del problema oppure posso trattarlo come un comune circuito RC in fase di carica/scarica?
Per l'andamento della tensione e quindi della corrente che attraversa il resistore puoi trattarlo come una normale scarica esponenziale, le cose cambiano invece per il campo magnetico, in quanto devi considerare che la corrente di spostamento, in questo caso, è (complessivamente) uguale in modulo, ma ha verso opposto a quella nel filo resistivo assiale.
Interessante sarebbe poi considerare il vettore di Poynting, con il suo significato energetico, in entrambi i casi: di regime iniziale e di transitorio finale.
Anche in questo caso, attendiamo la tua soluzione.
NB Per essere rigorosi bisognerebbe però precisare che quanto detto vale (approssimativamente) solo per pulsazioni relativamente basse, ovvero solo per un periodo $T$ della grandezza sinusoidale e per una costante di tempo $\tau$ tali da soddisfare la condizione di Abraham, rispettivamente \(\quad T c \gg a \quad\) , \(\quad \tau c \gg a \quad\), vedi per es. il seguente vecchio thread
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=205445
Interessante sarebbe poi considerare il vettore di Poynting, con il suo significato energetico, in entrambi i casi: di regime iniziale e di transitorio finale.
Anche in questo caso, attendiamo la tua soluzione.
NB Per essere rigorosi bisognerebbe però precisare che quanto detto vale (approssimativamente) solo per pulsazioni relativamente basse, ovvero solo per un periodo $T$ della grandezza sinusoidale e per una costante di tempo $\tau$ tali da soddisfare la condizione di Abraham, rispettivamente \(\quad T c \gg a \quad\) , \(\quad \tau c \gg a \quad\), vedi per es. il seguente vecchio thread
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=205445
Okok quindi ho nel momento in cui viene scollegato il generatore una ddp pari a $V_0$ ed una carica sulle armature pari a $Q_0=CV_0={V_0epsilon_0pia^2}/d$.
A questo punti gli andamenti orari sono: $Q(t)=Q_0exp(-t/{RC}); V(t)=V_0exp(-t/{RC}); E(t)=V_0/d exp(-t/{RC}) $
Per quanto riguarda la corrente dentro al filo $I(t)=V(t)/R=V_0/Rexp(-t/{RC})$ mentre la densità di corrente di spostamento è $J_s=epsilon_0{partialE}/{partialt}=-{epsilon_0V_0}/{RCd}exp(-t/{RC})$ e di conseguenza $I_s(t)=-pia^2{epsilon_0V_0}/{RCd}exp(-t/{RC})=-V_0/Rexp(-t/{RC})$ che effettivamente è uguale in modulo ma di verso contrario rispetto a quella nel filo.
Per quanto riguarda la condizione di Abraham non l'abbiamo mai citata, presumo (spero) sia dato per scontato sia soddisfatta.
Ho provato inoltre a calcolarmi il vettore di Poynting ed ho trovato il seguente risultato (sperando siano giusti i calcoli):
$overlineS=-V_0/{2Rd}exp(-{2t}/{RC}){pir^2-1}/{pir} hatr$
che è quindi e tende a 0 per t infiniti, quindi se considero il teorema del Poynting il flusso di questa quantità equivale all'energia dissipata per effetto Joule?
A questo punti gli andamenti orari sono: $Q(t)=Q_0exp(-t/{RC}); V(t)=V_0exp(-t/{RC}); E(t)=V_0/d exp(-t/{RC}) $
Per quanto riguarda la corrente dentro al filo $I(t)=V(t)/R=V_0/Rexp(-t/{RC})$ mentre la densità di corrente di spostamento è $J_s=epsilon_0{partialE}/{partialt}=-{epsilon_0V_0}/{RCd}exp(-t/{RC})$ e di conseguenza $I_s(t)=-pia^2{epsilon_0V_0}/{RCd}exp(-t/{RC})=-V_0/Rexp(-t/{RC})$ che effettivamente è uguale in modulo ma di verso contrario rispetto a quella nel filo.
Per quanto riguarda la condizione di Abraham non l'abbiamo mai citata, presumo (spero) sia dato per scontato sia soddisfatta.
Ho provato inoltre a calcolarmi il vettore di Poynting ed ho trovato il seguente risultato (sperando siano giusti i calcoli):
$overlineS=-V_0/{2Rd}exp(-{2t}/{RC}){pir^2-1}/{pir} hatr$
che è quindi e tende a 0 per t infiniti, quindi se considero il teorema del Poynting il flusso di questa quantità equivale all'energia dissipata per effetto Joule?
Direi ok per la prima parte, ma per Poynting dovresti rivedere la tua relazione simbolica e inoltre osservare che S, funzione sia di $t$ sia del generico raggio $r$, porta ad un flusso energetico attraverso la generica superficie $A=2\pi r d$, pari alla potenza dissipata per effetto Joule sul resistore centrale solo per r tendente a zero, flusso che deve invece ridursi a zero per $r$ tendente ad $a$ [nota]Ed è proprio per questa ragione che non vedo la coerenza della relazione.[/nota].
Ricontrollando i calcoli effettivamente erano sbagliati, correggendo ho ottenuto:
$S=V_0^2/R 1/{2pird} exp(-{2t}/{RC})(1-r^2/a^2)$
il cui flusso attraverso una generica superficie $A=2pird$ è:
$Phi=V_0^2/R exp(-{2t}/{RC})(1-r^2/a^2)$
ed effettivamente per r->0 coincide con la potenza dissipata per effetto Joule e per r->a tende a 0.
Grazie mille per la pazienza e la disponibilità!
$S=V_0^2/R 1/{2pird} exp(-{2t}/{RC})(1-r^2/a^2)$
il cui flusso attraverso una generica superficie $A=2pird$ è:
$Phi=V_0^2/R exp(-{2t}/{RC})(1-r^2/a^2)$
ed effettivamente per r->0 coincide con la potenza dissipata per effetto Joule e per r->a tende a 0.
Grazie mille per la pazienza e la disponibilità!
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