Esercizio disco rotante su lastra
Salve a tutti! Vi scrivo di seguito il testo e a risoluzione di un problema a proposito di cui vi chiedo chiarimenti!
"Un disco di massa \(\displaystyle m \) e raggio \(\displaystyle R \) è vincolato a ruotare senza strisciare su di una lastra orizzontale di massa \(\displaystyle M \). Si cede in un tempo trascurabile un impulso \(\displaystyle I \) orizzontale al centro del disco. Determinare il moto di questo e della lastra trascurando l'attrito del suolo."
RISPOSTA:
In seguito alla cessione dell'impulso, sia $v_D$ la velocità del centro del disco e $v_L$ la velocità della lastra (si intendono le componenti lungo l'asse del moto, asse x). La velocità del centro del disco rispetto alla lastra è ovviamente $v_D-v_L$ .
Allora il disco ruota con una velocità angolare $omega=(v_D-v_L)/R$.
Indicando con $I_{L->D}$ l'impulso sviluppato dalla lastra sul disco durante la cessione dell'impulso $I$, la prima equazione cardinale applicata al disco fa scrivere:
$I+I_{L->D}=mv_D$
La seconda eqauzione cardinale applicata al centro del disco fa scrivere:
$(I_{L->D}-I)R=Jomega$
dove $J$ è il momento d'inerzia del disco rispetto al suo centro.
Il principio di azione-reazione e la prima equazione cardinale applicata alla lastra permettono di scrivere:
$-I_{L->D}=Mv_L$
La velocità del punto del disco a contatto con la lastra è: $v_D+omegaR$. Non essendovi strusciamento tra disco e lastra dovrà essere:
$v_D+omegaR=v_L$.
Si è dunque impostato un sistema di 4 eqauzioni in 4 incognite ($I_{L->D} v_D omega v_L$) che può essere risolto.
DOMANDE MIE:
1) Mi rendo conto che è un po' grave come domanda, ma meglio togliersi il dubbio
Come si disegnano gli impulsi nella schematizzazione del problema? Voglio dire, il vettore impulso deve essere disegnato con la coda che parte deal punto dove si applica l'impulso o con la punta che finisce lì?
2) Perché si fa $(I_{L->D}-I)R$ nella seconda equazione cardinale?
3) Quando si applica il principio di azione-reazione in questo problema si scrive $-I_{L->D}=Mv_L$ perché la reazione $-I_{L->D}$ alla azione $I_{L->D}$ fa muovere la lastra?
4) Altra domanda imbarazzante: cosa significa precisamente "ruotare senza strisciare"? Da un punto di vista che consente di fornire dati al problema, s'intende!
Grazie!
"Un disco di massa \(\displaystyle m \) e raggio \(\displaystyle R \) è vincolato a ruotare senza strisciare su di una lastra orizzontale di massa \(\displaystyle M \). Si cede in un tempo trascurabile un impulso \(\displaystyle I \) orizzontale al centro del disco. Determinare il moto di questo e della lastra trascurando l'attrito del suolo."
RISPOSTA:
In seguito alla cessione dell'impulso, sia $v_D$ la velocità del centro del disco e $v_L$ la velocità della lastra (si intendono le componenti lungo l'asse del moto, asse x). La velocità del centro del disco rispetto alla lastra è ovviamente $v_D-v_L$ .
Allora il disco ruota con una velocità angolare $omega=(v_D-v_L)/R$.
Indicando con $I_{L->D}$ l'impulso sviluppato dalla lastra sul disco durante la cessione dell'impulso $I$, la prima equazione cardinale applicata al disco fa scrivere:
$I+I_{L->D}=mv_D$
La seconda eqauzione cardinale applicata al centro del disco fa scrivere:
$(I_{L->D}-I)R=Jomega$
dove $J$ è il momento d'inerzia del disco rispetto al suo centro.
Il principio di azione-reazione e la prima equazione cardinale applicata alla lastra permettono di scrivere:
$-I_{L->D}=Mv_L$
La velocità del punto del disco a contatto con la lastra è: $v_D+omegaR$. Non essendovi strusciamento tra disco e lastra dovrà essere:
$v_D+omegaR=v_L$.
Si è dunque impostato un sistema di 4 eqauzioni in 4 incognite ($I_{L->D} v_D omega v_L$) che può essere risolto.
DOMANDE MIE:
1) Mi rendo conto che è un po' grave come domanda, ma meglio togliersi il dubbio
Come si disegnano gli impulsi nella schematizzazione del problema? Voglio dire, il vettore impulso deve essere disegnato con la coda che parte deal punto dove si applica l'impulso o con la punta che finisce lì?2) Perché si fa $(I_{L->D}-I)R$ nella seconda equazione cardinale?
3) Quando si applica il principio di azione-reazione in questo problema si scrive $-I_{L->D}=Mv_L$ perché la reazione $-I_{L->D}$ alla azione $I_{L->D}$ fa muovere la lastra?
4) Altra domanda imbarazzante: cosa significa precisamente "ruotare senza strisciare"? Da un punto di vista che consente di fornire dati al problema, s'intende!
Grazie!
Risposte
1 - La coda coincide con il punto di applicazione.
2 - Mi sembra sbagliata.
3 - Sì.
4 - Il punto "geometrico" di contatto è in ogni istante occupato da un punto "fisico" appartenente al disco e da un punto "fisico" appartenente alla lastra: i due punti "fisici" devono avere la stessa velocità assoluta.
2 - Mi sembra sbagliata.
3 - Sì.
4 - Il punto "geometrico" di contatto è in ogni istante occupato da un punto "fisico" appartenente al disco e da un punto "fisico" appartenente alla lastra: i due punti "fisici" devono avere la stessa velocità assoluta.
Molto chiaro, grazie!
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