Esercizio dinamica relativistica
Devo risolvere il seguente problema di dinamica relativistica, ma non so come andare avanti dopo un certo punto:
Una particella di massa propria m, si muove lungo l'asse x soggetto alla forza $F=f_0e^(-lambdat)$ con $f,lambda>0$.
Si chiede per quali valori di $f$ e $lambda$ per $x(0)=0 , dotx(0)=c/4$ la particella raggiunga velocità $c/2$ e epr quale tempo $T$ ciò accada.
scrivo: $dp=f_0e^(-lambdat)dt$ $=>$ $cmv/sqrt(c^2-v^2)=-f_0e^(-lambdat)/lambda +K$ , da cui si ricava, ometto i calcoli tediosi, $v=csqrt(1-c^2m^2/(c^2m^2+(f_0/lambda)^2e^(-2lambdat)+K^2+2(f_0/lambda)Ke^(-lambdat))$
imponendo la condizione iniziale ovviamente trovo K, ma poi non mi vengono assolutamente in mente altre due condizioni per ricavarmi $lambda,f_0$, potete aiutarmi?
Una particella di massa propria m, si muove lungo l'asse x soggetto alla forza $F=f_0e^(-lambdat)$ con $f,lambda>0$.
Si chiede per quali valori di $f$ e $lambda$ per $x(0)=0 , dotx(0)=c/4$ la particella raggiunga velocità $c/2$ e epr quale tempo $T$ ciò accada.
scrivo: $dp=f_0e^(-lambdat)dt$ $=>$ $cmv/sqrt(c^2-v^2)=-f_0e^(-lambdat)/lambda +K$ , da cui si ricava, ometto i calcoli tediosi, $v=csqrt(1-c^2m^2/(c^2m^2+(f_0/lambda)^2e^(-2lambdat)+K^2+2(f_0/lambda)Ke^(-lambdat))$
imponendo la condizione iniziale ovviamente trovo K, ma poi non mi vengono assolutamente in mente altre due condizioni per ricavarmi $lambda,f_0$, potete aiutarmi?
Risposte
Ho pensato un po' a questo esercizio, e mi viene da dire questo, che non so se possa essere utile.Prendilo con le dovute cautele…
Siamo in un caso di moto unidimensionale, percio possiamo proiettare tutti i vettori (forza, velocità…) sull'asse $x$.
Allora, tenuto conto che la parte spaziale del 4-vettore energia impulso è data da : $m*\gamma(v)*v$ , dove il fattore $\gamma$ è appunto funzione della velocità variabile lungo $x$, si può scrivere la 2º legge della Dinamica così :
$F = d/(dt) [m*\gamma(v)*v] = m*d/(dt)[\gamma(v)*v] = m [(d\gamma)/(dt)*v + \gamma* (dv)/(dt)] =…………= \gamma*m/(1-\beta^2)*(dv)/(dt) =……= m/(1-\beta^2)^(3/2)*(dv)/(dt) $
(Ho saltato alcuni passaggi per non scrivere tanto, li puoi fare da solo) . Ovvero :
$d[v/(1-\beta^2)^(1/2)] = F/m dt $
Naturalmente $\beta = v/c$ , quindi varia con $v$ e cioè col tempo.
Ora, questa espressione differenziale si può integrare rispetto al tempo, con le condizioni iniziali date, penso. Però dovresti pensarci un po' tu. Non so se questo basta, per determinare le costanti che ti servono, oppure bisogna prendere in esame anche la componente temporale del 4-vettore $vecp$ .
Non ho ben capito quello che hai scritto.
Fammi sapere se è stato utile.
Siamo in un caso di moto unidimensionale, percio possiamo proiettare tutti i vettori (forza, velocità…) sull'asse $x$.
Allora, tenuto conto che la parte spaziale del 4-vettore energia impulso è data da : $m*\gamma(v)*v$ , dove il fattore $\gamma$ è appunto funzione della velocità variabile lungo $x$, si può scrivere la 2º legge della Dinamica così :
$F = d/(dt) [m*\gamma(v)*v] = m*d/(dt)[\gamma(v)*v] = m [(d\gamma)/(dt)*v + \gamma* (dv)/(dt)] =…………= \gamma*m/(1-\beta^2)*(dv)/(dt) =……= m/(1-\beta^2)^(3/2)*(dv)/(dt) $
(Ho saltato alcuni passaggi per non scrivere tanto, li puoi fare da solo) . Ovvero :
$d[v/(1-\beta^2)^(1/2)] = F/m dt $
Naturalmente $\beta = v/c$ , quindi varia con $v$ e cioè col tempo.
Ora, questa espressione differenziale si può integrare rispetto al tempo, con le condizioni iniziali date, penso. Però dovresti pensarci un po' tu. Non so se questo basta, per determinare le costanti che ti servono, oppure bisogna prendere in esame anche la componente temporale del 4-vettore $vecp$ .
Non ho ben capito quello che hai scritto.
Fammi sapere se è stato utile.
Secondo me si trova T in funzione di lambda e f e al più una condizione su lambda/f.
Domani ci rifletterò meglio comunque tanto per pulire un po' quello che ho scritto conviene direttamente integrare tra $c/2$ e $v$, un'altra condizione penso di poterla trovare notando che $dE/dt=F(t)*v$ da cui separando le variabili ($dE=d(mgamma(v)*c^2)$), si arriva a un nuovo integrale che però non ho svolto, e non so neanche se sia ridondante.
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