Esercizio dinamica del punto
Salve a tutti, di solito cerco sempre di arrangiarmi da solo, ma questa volta ho bisogno di alcuni consigli.
Ho trovato questo esercizio di Fisica:
Un corpo puntiforme $A$ di massa $m = 5 kg$ è appoggiato sopra una piattaforma piana $B$ molto lunga di massa $M = 60 kg$, che può scivolare senza attrito su un piano orizzontale. Tra il corpo $A$ e la piattaforma $B$ c’è un coefficiente di attrito dinamico $\mu_d= 0.25$. Inizialmente il sistema costituito dai due corpi $A$ e $B$ è in quiete. All’istante $t = 0$ al corpo $A$ viene applicato un impulso istantaneo in direzione parallela al piano orizzontale e di intensità $J_0 = 12.5 kgms-1$ . Calcolare:
a) la velocità $v_0$ del corpo $A$ subito dopo l’applicazione dell’impulso $J_0$;
b) quanto tempo impiega la piattaforma $B$ a raggiungere la stessa velocità del corpo $A$;
c) lo spostamento $\Deltar$ del corpo $A$ sulla piattaforma $B$;
d) la velocità finale del sistema $A+B$, quando $A$ è di nuovo in quiete rispetto a $B$;
e) il lavoro della forza d’attrito, dopo che è stato raggiunto lo stato di cui al punto (d).
Ecco un disegno della situazione:
Io ho provato a risolverlo nella seguente maniera:
Punto A:
Sfrutto il teorema delle impulso e trovo che $v_{0A} = \frac{J}{m}$, da qui ho che $\frac{12.5 kgms^(-1)}{5 kg} = 2.5 ms^(-1)$.
Quindi il blocco $A$ si muove all'istante $t=0$ di $2.5 ms^(-1)$
Punto B:
Sapendo che il blocco $A$ esercita su $B$ una forza di atrito pari a $F_a = N*\mu_d$ con $N = m*g$, svolgendo i conti ottengo $F_a = 5 kg*9.8 ms^(-2)*0.25 = 12.25 N$, dato che $F_a = a_B*M$ ho che $a_B = F_a/M$ quindi il blocco B subisce una accelerazione pari di $0.2 ms^(-2)$
Per concludere, devo avere $v_B = 2.5 ms^(-1)$, dall'equazione $v_B=a_B*t$ trovo che il blocco $B$ raggiunge la velocità del blocco $A$ dopo $12.5 s$.
Punto C:
In blocco $A$ ha un moto uniformemente decelerato causato dalla forza di atrito con $B$ ed il modulo della decelerazione è pari a $a_A=-F_a/m = -2.45 ms^(-2)$, imposto l'equazione $v_{0A} - a_A*t = 0$ ed ottengo $t=1 s$ e infine dalla legge oraria del moto uniformemente decelerato $x(t)=v_{0A}*t-(1/2)*a_A*t^2$ ottengo $1.2 m$ percorsi dal blocco $A$.
Per questo punto ho pensato anche ad un metodo alternativo: siccome all'inizio l'energia cinetica del blocco A è pari a $(1/2)*m*v_{0A}^2$ e quando si ferma è $0$ e dal fatto che il lavoro è la variazione di energia cinetica, ottengo $1/2*m*v^2=W$ da cui $1/2*m*v^2 = F_a*L$, e ricavo $L=1.2 m$, che è lo spazio percorso da $A$.
Punto D:
La velocità dell'intero blocco è data dalla velocità di $B$ (credo), so che il blocco $A$ si ferma dopo $1 s$ e so che l'accelerazione di $B$ è pari a $0.2 ms^(-2)$ da queste due ricavo che la velocità di $B$ quando $A$ si ferma è pari a $0.2 ms^(-2)$.
Punto E:
Dal fatto che $W=F_a*L$ ho che $W=12.25N*1.2m=14.7 J$
Al termine dello svolgimento mi vengono i seguenti dubbi:
Ho trovato questo esercizio di Fisica:
Un corpo puntiforme $A$ di massa $m = 5 kg$ è appoggiato sopra una piattaforma piana $B$ molto lunga di massa $M = 60 kg$, che può scivolare senza attrito su un piano orizzontale. Tra il corpo $A$ e la piattaforma $B$ c’è un coefficiente di attrito dinamico $\mu_d= 0.25$. Inizialmente il sistema costituito dai due corpi $A$ e $B$ è in quiete. All’istante $t = 0$ al corpo $A$ viene applicato un impulso istantaneo in direzione parallela al piano orizzontale e di intensità $J_0 = 12.5 kgms-1$ . Calcolare:
a) la velocità $v_0$ del corpo $A$ subito dopo l’applicazione dell’impulso $J_0$;
b) quanto tempo impiega la piattaforma $B$ a raggiungere la stessa velocità del corpo $A$;
c) lo spostamento $\Deltar$ del corpo $A$ sulla piattaforma $B$;
d) la velocità finale del sistema $A+B$, quando $A$ è di nuovo in quiete rispetto a $B$;
e) il lavoro della forza d’attrito, dopo che è stato raggiunto lo stato di cui al punto (d).
Ecco un disegno della situazione:
Io ho provato a risolverlo nella seguente maniera:
Punto A:
Sfrutto il teorema delle impulso e trovo che $v_{0A} = \frac{J}{m}$, da qui ho che $\frac{12.5 kgms^(-1)}{5 kg} = 2.5 ms^(-1)$.
Quindi il blocco $A$ si muove all'istante $t=0$ di $2.5 ms^(-1)$
Punto B:
Sapendo che il blocco $A$ esercita su $B$ una forza di atrito pari a $F_a = N*\mu_d$ con $N = m*g$, svolgendo i conti ottengo $F_a = 5 kg*9.8 ms^(-2)*0.25 = 12.25 N$, dato che $F_a = a_B*M$ ho che $a_B = F_a/M$ quindi il blocco B subisce una accelerazione pari di $0.2 ms^(-2)$
Per concludere, devo avere $v_B = 2.5 ms^(-1)$, dall'equazione $v_B=a_B*t$ trovo che il blocco $B$ raggiunge la velocità del blocco $A$ dopo $12.5 s$.
Punto C:
In blocco $A$ ha un moto uniformemente decelerato causato dalla forza di atrito con $B$ ed il modulo della decelerazione è pari a $a_A=-F_a/m = -2.45 ms^(-2)$, imposto l'equazione $v_{0A} - a_A*t = 0$ ed ottengo $t=1 s$ e infine dalla legge oraria del moto uniformemente decelerato $x(t)=v_{0A}*t-(1/2)*a_A*t^2$ ottengo $1.2 m$ percorsi dal blocco $A$.
Per questo punto ho pensato anche ad un metodo alternativo: siccome all'inizio l'energia cinetica del blocco A è pari a $(1/2)*m*v_{0A}^2$ e quando si ferma è $0$ e dal fatto che il lavoro è la variazione di energia cinetica, ottengo $1/2*m*v^2=W$ da cui $1/2*m*v^2 = F_a*L$, e ricavo $L=1.2 m$, che è lo spazio percorso da $A$.
Punto D:
La velocità dell'intero blocco è data dalla velocità di $B$ (credo), so che il blocco $A$ si ferma dopo $1 s$ e so che l'accelerazione di $B$ è pari a $0.2 ms^(-2)$ da queste due ricavo che la velocità di $B$ quando $A$ si ferma è pari a $0.2 ms^(-2)$.
Punto E:
Dal fatto che $W=F_a*L$ ho che $W=12.25N*1.2m=14.7 J$
Al termine dello svolgimento mi vengono i seguenti dubbi:
Nel punto C non è che avrei dovuto calcolare anche lo spostamento che fa $B$ e poi sottrarlo a quello eseguito da $A$, oppure è esatta la mia procedura?
Nel punto D è esatto non considerare il blocco $A$ che in quell'istante si è fermato?
[/list:u:2bbh4r4f]
Grazie.
Risposte
Hai fatto diversi errori e i tuoi dubbi sono la conferma di ciò.
Provo a delinearti lo svolgimento esatto.
Punto A
La velocità iniziale è giusta: impulso diviso massa. $v_o=2,5$
A questo punto conviene valutare subito il punto D), poiché non essendoci forze esterne orizzontali sull'insieme corpo+piattaforma, la quantità di moto si conserva. Dunque:
Punto D
[tex]{v_f} = \frac{{{J_0}}}{{M + m}} = \frac{{12,5}}{{65}} = 0,1923[/tex]
Poiché questa è la velocità finale sia del corpo che della piattaforma, la risposta al punto B è semplice:
Punto B
[tex]{t_f} = \frac{{{v_f}}}{{{a_B}}} = \frac{{{v_f}M}}{F} = 0,9419[/tex]
Il punto C richiede di calcolare lo spostamento del corpo relativamente alla piattaforma, dunque occorre calcolare la differenza degli spostamenti assoluti dei due:
Punto C
[tex]{x_A} = {v_0}{t_f} - \frac{1}{2}\frac{F}{m}{t_f}^2 = 1,2679[/tex]
[tex]{x_B} = \frac{1}{2}\frac{F}{M}{t_f}^2 = 0,0905[/tex]
[tex]{x_{A - B}} = {x_A} - {x_B} = 1,1774[/tex]
Per il punto E hai due strade: calcolare il prodotto tra forza sul blocco e spostamento relativo, oppure differenza di energia cinetica complessiva del sistema.
Punto E metodo 1
[tex]W = F{x_{A - B}} = 12,25 \cdot 1,1774 = 14,423[/tex]
Punto E metodo 2
[tex]W = {E_{k1}} - {E_{k2}} = \frac{1}{2}m{v_0}^2 - \frac{1}{2}\left( {m + M} \right){v_f}^2 = 15,625 - 1,2018 = 14,423[/tex]
Provo a delinearti lo svolgimento esatto.
Punto A
La velocità iniziale è giusta: impulso diviso massa. $v_o=2,5$
A questo punto conviene valutare subito il punto D), poiché non essendoci forze esterne orizzontali sull'insieme corpo+piattaforma, la quantità di moto si conserva. Dunque:
Punto D
[tex]{v_f} = \frac{{{J_0}}}{{M + m}} = \frac{{12,5}}{{65}} = 0,1923[/tex]
Poiché questa è la velocità finale sia del corpo che della piattaforma, la risposta al punto B è semplice:
Punto B
[tex]{t_f} = \frac{{{v_f}}}{{{a_B}}} = \frac{{{v_f}M}}{F} = 0,9419[/tex]
Il punto C richiede di calcolare lo spostamento del corpo relativamente alla piattaforma, dunque occorre calcolare la differenza degli spostamenti assoluti dei due:
Punto C
[tex]{x_A} = {v_0}{t_f} - \frac{1}{2}\frac{F}{m}{t_f}^2 = 1,2679[/tex]
[tex]{x_B} = \frac{1}{2}\frac{F}{M}{t_f}^2 = 0,0905[/tex]
[tex]{x_{A - B}} = {x_A} - {x_B} = 1,1774[/tex]
Per il punto E hai due strade: calcolare il prodotto tra forza sul blocco e spostamento relativo, oppure differenza di energia cinetica complessiva del sistema.
Punto E metodo 1
[tex]W = F{x_{A - B}} = 12,25 \cdot 1,1774 = 14,423[/tex]
Punto E metodo 2
[tex]W = {E_{k1}} - {E_{k2}} = \frac{1}{2}m{v_0}^2 - \frac{1}{2}\left( {m + M} \right){v_f}^2 = 15,625 - 1,2018 = 14,423[/tex]
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