Esercizio difficile sul moto parabolico di un punto materiale

[Fab527]

Salve a tutti, vi riporto testo e soluzione (che fatico a capire, da cui questo thread) di un problema di cinematica del punto...

TESTO
"Un corpo viene lanciato orizzontalmente da un'altezza $ h_0 $ rispetto al suolo, con velocità $ v_0 $ . Trascurando la resistenza dell'aria e avendo posto il sistema di riferimento con l'asse y diretto verso l'alto, l'origine al suolo e l'asse x diretto come $ v_0 $ , calcolare:

a) $ a_t $ la componente tangenziale dell'accelerazione del corpo rispetto alla traiettoria in un generico punto di altezza y
b) $ a_n $ la componente normale dell'accelerazione del corpo rispetto alla traiettoria in un generico punto di altezza y
c) $ rho $ il raggio di curvatura della traiettoria del corpo in un generico punto di altezza y
d) lo spazio s percorso dal corpo a partire da t=0 al tempo in cui il corpo tocca terra (y=0)

SOLUZIONE

$ (d^2 x)/(d t^2) = 0 $ , $ (d^2 y)/(d t^2) = -g $ , $ y=h_0-g/(2*v_0^2)x^2 $

$ (d x)/(d t) = v_0 $ , $ (d y)/(d t)=-g*t $ , $ (d y)/(d t)= -sqrt(2g(h_0-2)) $ (quel -2 da dove viene???)

$ vec(v) = (d x)/(d t)hat(i) + (d y)/(d t)hat(j) = v_0hat(i) - sqrt(2g(h_0-2)) hat(j) $ , $ |v|=sqrt (v_0^2) +2g(h_0-2) $

a questo punto indica con $ alpha $ l'angolo che durante la traiettoria la velocità (e quindi il versore tangente alla traiettoria) forma con la direzione orizzontale

$ cosalpha=(vec(v)*hat(i))/v = v_0/sqrt (v_0^2 + 2g(h_0-2) $

da questo punto in poi non capisco più come faccia a procedere

$ a_t = gsinalpha=g*sqrt((2g(h_0-2)) / (2v_0^2+2g(h_0-2) $
$ a_n = gcosalpha= (g*v_0) / sqrt(v_0^2+2g(h_0-2) $
$ 1/rho=(d^2y)/dx^2 *[1+(dy/dx)^2]^(-3/2)=gv_0/[v_0^2+2g(h_0-2)]^(3/2) $

$ int_(0)^(v_0*sqrt((2h_0)/t)) sqrt (1+gx^2/v_0^4) dx=(v_0^2/g)*[sqrt(2gh_0)/v_0*sqrt(1+(2gh_0)/v_0^2)+1/2ln(sqrt(2gh_0)/v_0 + sqrt(1+(2gh_0)/v_0^2)) $

che formule ha utilizzato per ottenere le accelerazioni e il raggio? E su cosa ha integrato per ricavare lo spazio percorso?

Vi ringrazio in anticipo....

[laura1232]

"Fab527":
$(d^2 x)/(d t^2) = 0$, $(d^2 y)/(d t^2) = -g$, $y=h_0-g/(2*v_0^2)x^2$
$(d x)/(d t) = v_0$, $(d y)/(d t)=-g*t$, $(d y)/(d t)= -sqrt(2g(h_0-2))$ (quel -2 da dove viene???)

Secondo me non ci deve essere il 2 ma y, cioè l'altezza (come d'altra parte è richiesto) infatti tu sai che l'accelerazione è $-g$ in quanto l'asse y è rivoltra verso l'alto quindi, da una nota formula di cinematica:
$$-g=\frac{v^2-v_0^2}{2\Delta s}$$ dove $\Delta s=y-h_0$ (cioè posizione finale - posizione iniziale), inoltre $v_0$ in questo caso è la componente rispetto all'asse y della velocità iniziale quindi è nulla (il lancio è orizzontale) allora:
$$
v^2=-2g\Delta s=-2g(y-h_0)
$$
da cui
$$v=-\sqrt{-2g(y-h_0)}=-\sqrt{2g(h_0-y)}$$
(il - prima della radice è dovuto al fatto che il corpo si muove verso il basso, e quello che ho indicato con $v$ non è altro che $\frac{dy}{dt}$)

[laura1232]

per quanto riguarda l'accelerazione tangenziale e centripeta non fa altro che proiettare g lungo la direzione di $\vec{v}$ e in quella perpendicolare a $\vec{v}$ , per il raggio di curvatura applica la formula della curvatura $k=\frac{y''}{[1+(y')^2]^{3/2}}$ e tenendo conto che la curvatura è il reciproco del raggio di curvatura concludi facilmente, infine per l'ultima trova la lunghezza dell'arco di parabola compresa tra il punto iniziale e il punto di intersezione tra la parabola e l'asse delle x infatti i due estremi di integrazione sono le ascisse di tali punti cioé 0 e $v_0\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$ (su denominatore c'è g non t)

[Fab527]

"laura123":per quanto riguarda l'accelerazione tangenziale e centripeta non fa altro che proiettare g lungo la direzione di $\vec{v}$ e in quella perpendicolare a $\vec{v}$ , per il raggio di curvatura applica la formula della curvatura $k=\frac{y''}{[1+(y')^2]^{3/2}}$ e tenendo conto che la curvatura è il reciproco del raggio di curvatura concludi facilmente, infine per l'ultima trova la lunghezza dell'arco di parabola compresa tra il punto iniziale e il punto di intersezione tra la parabola e l'asse delle x infatti i due estremi di integrazione sono le ascisse di tali punti cioé 0 e $v_0\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$ (su denominatore c'è g non t)

Ok, ora mi è tutto chiaro tranne un ultimo punto: l'argomento dell'integrale in cosa consiste? E poi anche concettualmente, cosa rappresenta?

Grazie per la pazienza

[laura1232]

Ti riferisci a questo integrale $int_(0)^(v_0*sqrt((2h_0)/g)) sqrt (1+g^2x^2/v_0^4) dx$?
Se ho una funzione $y=f(x)$ definita in un intervallo $[a;b]$ e voglio trovare la lunghezza del grafico dal punto di ascissa $a$ a quello di ascissa $b$ devo calcolare il seguente integrale
$$
\int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx
$$
nel tuo caso la funzione è $y=h_0-g/(2*v_0^2)x^2$ e i due estremi di integrazione sono $0$ e $v_0\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$

[Fab527]

"laura123":Ti riferisci a questo integrale $int_(0)^(v_0*sqrt((2h_0)/g)) sqrt (1+g^2x^2/v_0^4) dx$?
Se ho una funzione $y=f(x)$ definita in un intervallo $[a;b]$ e voglio trovare la lunghezza del grafico dal punto di ascissa $a$ a quello di ascissa $b$ devo calcolare il seguente integrale
$$
\int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx
$$
nel tuo caso la funzione è $y=h_0-g/(2*v_0^2)x^2$ e i due estremi di integrazione sono $0$ e $v_0\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$

Si mi riferivo proprio a quello, thanks