Esercizio difficile fluidostatica: immersione vasca conica

[Fede_16]

Salve, mi sono imbattuto in questo esercizio apparentemente un pochetto impegnativo, qualcuno potrebbe gentilmente dare un'occhiata? Ecco il testo:

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Procedo con lo spiegare il mio tentativo.

0) Determinare il valore di h minimo, denominato con $h^*$.
Ho pensato che il volume iniziale deve uguale a quello finale. Sottraendo il volume del cono al volume del cilindro di altezza h (fig1) ottengo:
\[ \pi R^2H=\pi R^2h-\pi/3*r^2h \] \[ h=h^*=\dfrac{R^2H}{R^2-r^2/3} \]



1a) E' possibile che il vertice tocchi il fondo? Perché?
Risposta: no. Perché dal bilancio di forze (fig2):
\[ F_{peso}=F_{archimede} \] \[ \rho_b g \dfrac{\pi}{3}h_b r_b^2=\rho_a g \dfrac{\pi}{3} h' (r')^2 \]
Da semplici proporzioni si ha: $r_b=rh_b/h$, $r'=r(h')/h$. Quindi, sostituendo e semplificando:
\[ \rho_b h_b^3=\rho_a (h')^3 \]
Ossia:
\[ h'=\Big( \dfrac{\rho_b}{\rho_a} \Big) h_b < h_b < H \]
La prima disuaglianza si ha perché $ \rho_b<\rho_a$ e quindi $\rho_b/\rho_a<1$ per ipotesi. La seconda sempre per ipotesi. Ma dalla catena di disuglianze segue $h'


1b) Riferendosi alla fig3, per trovare $H'$ impostiamo il sistema formato da l'equazione di bilancio delle forze e l'equazione che esprime il concetto V_{iniziale}=V_{finale}. Le seguenti equazioni devono essere quindi soddisfatte contemporaneamente:
\[ \pi R^2 H=\pi R^2 \bar{h} - \dfrac{\pi}{3} (\bar{h}-H')\dfrac{r^2}{h^2}(\bar{h}-H')^2 \]
\[ \rho_b g \dfrac{\pi}{3} \dfrac{h_b^3 r^2}{h^2} = \rho_a g \dfrac{\pi}{3} (\bar{h}-H')\dfrac{r^2}{h^2}(\bar{h}-H')^2 \]
Definisco $\alpha=\bar{h}-H'$ e noto che la seconda equazioni, semplificata, diviene:
\[
\rho_b h_b^3=\rho_a \alpha^3 \]
\[ \alpha=(\rho_b/\rho_a)^{1/3}h_b \]
Quindi la prima equazione è risolvibile dato che scritta in $\alpha$ diviene:
\[ \pi R^2 H= \pi R^2 \alpha + \pi R^2 H' - \dfrac{\pi}{3} \alpha^3 (r/h)^2 \]
\[ \pi R^2 H= \pi R^2 (\rho_b/\rho_a)^{1/3} + \pi R^2 H' - \dfrac{\pi}{3} \dfrac{\rho_b}{\rho_a}(r/h)^2h_b^3 \]
Che risolta in $H'$ rende l'equazione ( ):
\[ H'=(H-h(\rho_b/\rho_a)^{1/3})+\dfrac{\rho_b}{R^2 \rho_a} (r/h)^2 h_b^3 \]



1c) Cosa succede se pratico un foro al vertice del cono? Calcolo la pressione immediatamente sopra il vertice, chiamata $P_v^+$ e quella immediatamente sotto, $P_v^-$.
\[ P_v^+=P_{atm} + \rho_b g h_b \]
\[ P_v^-=P_{atm} + \rho_a g \alpha \]
Confrontando i valori valuto il fatto che la pressione maggiore tende a far fluire il liquido che ""produce tale pressione"" verso l'altra regione dopo il vertice.

2a) Dall'equazione ( ), ponendo $H'=0$ ricavo il valore conseguente di $\rho_b$. Tuttavia l'equazione non è lineare e risolverla la vedo difficile.

2b) Stesso ragionamento di 1c).

Suggerimenti? Come valutare almeno l'esistenza delle soluzioni nel punto 2a? Grazie per l'attenzione!!

[Quinzio]

"fede_1_1":

0) Determinare il valore di h minimo, denominato con $h^*$.
Ho pensato che il volume iniziale deve uguale a quello finale. Sottraendo il volume del cono al volume del cilindro di altezza h (fig1) ottengo:
\[ \pi R^2H=\pi R^2h-\pi/3*r^2h \] \[ h=h^*=\dfrac{R^2H}{R^2-r^2/3} \]

Purtoppo, non va bene.

Per il cono il rapporto raggio/altezza e' costante, quindi va creata una costante complessiva per il volume, e poi si usa quella. Diventa tutto piu' chiaro.

$V = 1/3 \pi r^2 h$ e chiamo $k = 1/3 \pi r^2 / h^2$, quindi $V = k h^3$

\[ \pi R^2H + k (h^*)^3 =\pi R^2h^* \]
ovvero il volume del liquido A + il volume del cono sommerso diventano il volume di un "nuovo" cilindro.
\[ \frac{k }{ \pi R} (h^*)^3 - h^* + H = 0 \]
Questa e' un'equazione di terzo grado in \(h^*\), e per la soluzione esplicita ci sono della formule brutte e complicate, spiegate qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_terzo_grado
Il fatto che manca il termine quadratico la rende un po' piu' semplice, ma scrivere la soluzione diventa solo un esercizio formale.

"fede_1_1":
1a) E' possibile che il vertice tocchi il fondo? Perché?
Risposta: no. Perché dal bilancio di forze (fig2):
\[ F_{peso}=F_{archimede} \] \[ \rho_b g \dfrac{\pi}{3}h_b r_b^2=\rho_a g \dfrac{\pi}{3} h' (r')^2 \]
Da semplici proporzioni si ha: $r_b=rh_b/h$, $r'=r(h')/h$. Quindi, sostituendo e semplificando:
\[ \rho_b h_b^3=\rho_a (h')^3 \]
Ossia:
\[ h'=\Big( \dfrac{\rho_b}{\rho_a} \Big) h_b < h_b < H \]
La prima disuaglianza si ha perché $ \rho_b<\rho_a$ e quindi $\rho_b/\rho_a<1$ per ipotesi. La seconda sempre per ipotesi. Ma dalla catena di disuglianze segue $h'

Diciamo che va bene, c'e' un errore, e forse si puo' chiarire meglio cosi':
Il cono sta sul fondo se:
\[ F_{peso} - F_{archimede} >0 \]
che diventa
\[ \rho_B k h_B^3 - \rho_A k h_B^3 >0 \]
\[ \rho_B h_B^3 - \rho_A (h^*) ^3 >0 \]
Se \( \rho_B < \rho_A \) e \( h_B < H < (h^*) \), la disuguaglianza non e' vera, quindi il cono non sta sul fondo ma galleggia.

[Quinzio]

Metto una bozza che avevo salvato prima.

Il volume di un cono e' $V = 1/3 \pi r^2 h$.
Se $k = 1/3 \pi r^2 / h^2$ abbiamo
$V = k h^3$, che e' piu' concisa.

\( h^* \)
Al volume del liquido A aggiungiamo il volume del cono immerso.
Risulta il volume di un nuovo cilindro la cui altezza e' \( h^* \)
\( \pi R^2 H + k(h^*)^3 = \pi R^2 h^* \)
Questa e' un'equazione di terzo grado. Le soluzioni algebriche ci sono e il
fatto che manchi il termine quadratico la rende abbastanza semplice, ma e' solo
un esercizio formale. Se vuoi guarda su Wikipedia le soluzioni.

1) No. Perche' siccome $h_B < H$ il volume del cono immerso non puo' superare il volume di liquido A spostato, e siccome $\rho_B < \rho_A$, il cono deve per forza galleggiare.
$H'$
Per trovare $H'$ dobbiamo prima calcolare di quanto affonda il cono nel liquido A (la parte sommersa del cono). Chiamiamo questa distanza $h_1$.
Per la spinta di Archimede, il peso del liquido A spostato equivale al peso del liquido B.
$\rho_B k h_b^3 = \rho_A k h_1^3$ da cui
$h_1 = h_b \root(3) (\rho_B / \rho_A)$
Come prima, al volume del liquido A aggiungiamo il volume della parte sommersa del cono e questo e' il volume di un nuovo cilindro di altezza $h_2$
$\piR^2 H + k h_B^3 \rho_B / \rho_A = \piR^2 h_2$
$h_2 = H + k/(\piR^2) h_B^3 \rho_B / \rho_A$
Infine $H' = h_2 - h_1$
Cosa succede praticando un foro, lo vediamo dopo.

2) Riprendiamo la formula di prima:$\rho_B k h_b^3 = \rho_A k h_1^3$
che diventa in modo ovvio \(\rho_B k h_B^3 > \rho_A k (h^*)^3\) da cui
\( \rho_B > \rho_A (h^*)^3 / h_B^3 \)

Usiamo \(h^*\) perche' il cono tocca il fondo.



Foro:
Nella scenario 1) il cono galleggia nel liquido A perche' e' piu' leggero.
Pensa ad una nave. La nave galleggia perche' nel complesso e' piu' leggera dell'acqua. Se pratico un foro sul fondo della nave, anche un bambino sa cosa succede: l'acqua entra.
Allo stesso modo se pratico un foro sul fondo del cono il liquido A entra.
Entra perche' al livello del fondo del cono c'e' una differenza tra la pressione idrostatica di A e quella di B. Tutto questo si puo' anche vedere con le formule, ma per il momento rimaniamo ad una descrizione qualitativa.
Entrando, il liquido A rimane comunque sul fondo del cono, perche' e' piu' denso, pero' nel complesso la densita' del volume complessivo del cono (liquido B piu' un po' del liquido A) aumenta.
Quindi nel cono entra del liquido A e inoltre il liquido A e' piu' denso del B. Cosa vuol dire questo ? Che il peso complessivo del cono aumenta.
Aumentando il peso del cono, il cono e' costretto a scendere: la nave affonda.
La domanda che ci si puo' fare e' se il cono ad un certo punto il cono si ferma di scendere perche' trova un certo equilibrio o se arriva a toccare il fondo. L'equilibrio sarebbe che la pressione idrostatica sul foro e' uguale fuori e dentro al cono.
Siccome sappiamo che le navi che affondano vanno giu' fino al fondale (a meno che non ci siano delle sacche di aria) e' presumibile pensare che il cono vada a toccare il fondo.
C'e' un altro modo intuitivo per capire che il cono arriva a toccare il fondo: ora che c'e' un foro nel cono, diciamo che i due liquidi sono liberi di assumere la disposizione piu' naturale, come se il cono non ci fosse.
Qual e' questa disposizione naturale, come se il cono non ci fosse ? E' quella del liquido B, meno denso, che forma uno strato in superficie sopra al liquido A. Come l'olio che galleggia sopra all'acqua.
Per riuscire ad avere questa disposizione, il cono si deve posizionare in modo che la sezione dova sta il liquido B sia la piu' larga possibile e questo si realizza se il cono e' verso il fondo. Piu' il cono e' sceso in fondo, piu' il liquido B, sopra al liquido A, sempre dentro al cono, ha a disposizione una sezione piu' ampia. Quindi, per realizzare cio', il cono scende finche' non tocca il fondo.


Nello scenario 2) la situazione e' un po' piu' complicata. Segue...

[Fede_16]

Innanzitutto ti ringrazio moltissimo per la disponibilità! ^^ Nel punto 0, non ho ben capito perché è necessario scrivere il volume attraverso $k$, aumentando il grado dell'incognita; così come non mi è chiaro perché la formula che avevo scritto non va bene.

Per il resto mi hai decisamente illuminato! :]

[Quinzio]

"fede_1_1":Innanzitutto ti ringrazio moltissimo per la disponibilità! ^^ Nel punto 0, non ho ben capito perché è necessario scrivere il volume attraverso $k$, aumentando il grado dell'incognita; così come non mi è chiaro perché la formula che avevo scritto non va bene.

Per il resto mi hai decisamente illuminato! :]

Nella tua formula \[ h=h^*=\dfrac{R^2H}{R^2-r^2/3} \]
il raggio \(r\) e' trattata come una costante, ma non lo e'.
In un cono e' il rapporto \(r/h\) ad essere costante, non \(r\).
Facciamo un esempio pratico: hai un cono la cui apertura e' \(1:1\), ovvero se il cono e' alto 1 metro, il suo raggio sara' 1 metro, se il cono e' alto 10 metri, il suo raggio sara' 10 metri. Giusto ?
Usando la tua formula invece, \(r\) e' trattata come una costante. Cosa inserisci al posto di \(r\), che numero inserisci ? Non lo sai, perche' dovresti prima conoscere \(h\).
Quindi va trovato un modo per "legare" \(r\) ad \(h\) e questo modo e' quello di usare una costante, \(k\), che lega il raggio al diametro. Finche' ci siamo, nella costante ci finiscono dentro anche altre costanti, \(\pi/3\) in questo caso. E' tutto qui.
Il problema e' che dopo ti ritrovi un'equazione di 3^ grado, ma questo e' un altro discorso.

Quando trovo il tempo metto anche il caso del foro nello scenario 2), se vuoi prova tu nel frattempo.

Edit: avevo scritto rapporto $r$, volevo dire raggio $r$.

[Fede_16]

Ahh giusto giusto, senza i valori espliciti non ci avevo fatto caso! Bel trick!

Certo ci penserò un po' di più nel frattempo :]

[Fede_16]

Provo a dare una descrizione qualitativa di ciò che secondo me potrebbe accadere. Ci sono varie fasi, iniziamo con la prima.

I: situazione iniziale, il cono è sul fondo, il liquido ha un pelo ad una quota inferiore alla base del cono (data $h>hstar)$. Dentro di esso c'è B ad un altezza $h_B\rho_A$ quindi il liquido B tende ad uscire dal foro.

II: Mentre B esce si stratifica sul fondo essendo più pesante e il livello complessivo del liquido (di A e B) aumenta. Ci si potrebbe chiedere se in tale fase il cono potrebbe in qualche modo salire dato che il peso di B all'interno sta diminuendo e la densità media del liquido nella vasca sta aumentando. Detta $Q_b$ la quota del liquido B all'interno della vasca ad un generico istante e $h_b$ la quota iniziale sempre di B, se esiste un $Q_b$ che soddisfa il seguente bilancio di forze allora la vasca potrebbe salire:
\[
\rho_Bg kQ_b^3<\rho_Bgk(h_b-Q_b)^3+\rho_AgV_a \]
Dove $V_a$ è il volume di A che immerge il cono. Questo volume è una "parte di cono" (vedesi figura). Mentre $h_b-Q_b$ è il volume dello strato di B formatosi. Che è uguale al B che è andato dal cono all'esterno, quindi il volume iniziale nel cono meno quello finale. $V_a$ non so bene come calcolarlo quindi l'equazione rimarrà misteriosa.



III: se il cono sale e inizia a galleggiare allora il liquido A salirà (perché lo strato di B aumenta) e il cono insieme a lui, non straripando mai. Di contro se l'equazione precedentemente scritta è verificato con il $>$, allora il cono rimane ancorato al fondo e prima o poi il liquido strariperà rientrando nel cono. Ciò chiaramente accade se c'è sufficiente B inizialmente nel cono, in caso contrario ad un certo istante il cono avrà dentro B di altezza $h_b$ e una quota $Q_b$ esterna che garantisce equilibrio.

IV: Supponiamo allora che ci sia abbastanza B inizialmente, ad una certa ci si aspetta che il cono inizia a salire in quanto la densità media del liquido al suo interno tende a scendere per effetto dell'entrata di A (più o meno come nel caso 1). Ci si potrebbe chiedere se ciò avviene quando sussiste un particolare rapporto tra il liquido di A stratificato e quello che è entrato nel cono, oppure se ciò avviene solo quando tutto A è entrato. Pure per questo serve l'eventuale volume A che immerge il cono.

Osservazione 1: dato che $h_b
Osservazione 2: $Q_b=0$ risolve la prima equazione per questione di segni, quindi rientriamo sicuramente nel primo caso descritto in III (?).

Per qualche ragione questo esercizio mi intriga un pochetto, ringrazio in anticipo per eventuali altri chiarimenti da parte di chiunque! ^^