Esercizio di un sistema in moto rotatorio
Penso di aver bisogno di un aiuto per risolvere questo problema su cui sono fermo da un bel po'
Per la prime domande ho usato il sistema di riferimento inerziale
$v_0*t=L/2$ da cui $t=(2L)/(Lω2)=>t=1/ω$
E se non ho sbaglaito qualche cosa: $t/T=1/(2\pi)$ con T periodo.
La seconda parte ho provato ad usare
$a=a'+2ωxv'+ωx(ωxr')$ (imponendo a=0)
il problema ora è che non riesco a trovarmi r' e v' nel sistema di riferimento "bambino-rotante".
Ho provato in polari ma non capisco come fare, in cartesiane men che meno.
E' un esercizio facile, lo so, ma sono completamente fermo.
[EDIT]
Potrebbe funzionare una cosa del genere?
Essendo ortogonali ω con il pinao su cui ho impostato gli assi x,y del sistema non inerziale considero solo la forma scalare della formula, dunque avrei:
$a'=-2ω((dr')/(dt)+ωxr')+(ωr')$ e metto i valori in r' di metà della lunghezza L?
Perché il mio problema nasceva da questa
$((dr')/(dt)u_r+ωr'u_(\theta))$
che nella forma vettoriale aveva appunto i versori.
Ho fatto una cavolata sotto l'edit, vero?
Per la prime domande ho usato il sistema di riferimento inerziale
$v_0*t=L/2$ da cui $t=(2L)/(Lω2)=>t=1/ω$
E se non ho sbaglaito qualche cosa: $t/T=1/(2\pi)$ con T periodo.
La seconda parte ho provato ad usare
$a=a'+2ωxv'+ωx(ωxr')$ (imponendo a=0)
il problema ora è che non riesco a trovarmi r' e v' nel sistema di riferimento "bambino-rotante".
Ho provato in polari ma non capisco come fare, in cartesiane men che meno.
E' un esercizio facile, lo so, ma sono completamente fermo.
[EDIT]
Potrebbe funzionare una cosa del genere?
Essendo ortogonali ω con il pinao su cui ho impostato gli assi x,y del sistema non inerziale considero solo la forma scalare della formula, dunque avrei:
$a'=-2ω((dr')/(dt)+ωxr')+(ωr')$ e metto i valori in r' di metà della lunghezza L?
Perché il mio problema nasceva da questa
$((dr')/(dt)u_r+ωr'u_(\theta))$
che nella forma vettoriale aveva appunto i versori.
Ho fatto una cavolata sotto l'edit, vero?
Risposte
Direi che sbagli anche la prima parte.
Il testo ti assicura che la palla nel sdr inerziale e' accelerata (negativamente).
Quindi se prendiamo come riferimento 0 il momento in cui il pargolo guarda lungo l'asse x, varra sicueramente la relazione:
$ddotx=-a$ da cui per integrazione
$dotx=-at+C_1$ e
$x=-[at^2]/2+C_1t+C_2$
Per determinare le costanti di integrazione imponiamo che $x(0)=0$ e $dotx(0)=[omega_0L]/2$
Quindi $C_1=[omega_0L]/2$ e $C_2=0$
Il testo ti assicura anche che il corpo si ferma sul bordo della piattaforma e quindi vale:
$-at+[omega_0L]/2=0$ da cui ottieni che il tempo di arresto e' $t=[omega_0L]/[2a]$
In questo tempo, la palla si trova a distanza L, e dunque
$L=-a/2[[omega_0L]/[2a]]^2+[omega_0L]/2*[omega_0L]/[2a]$
Che risolto ti da $a=[Lomega_0^2]/8$
Sostituendo in t, si ottiene che $t=4/omega_0$
La piattaforma gira di moto uniforme e pertanto $theta=omega_0t$ da cui si ottiene che la piattaforma ha percorso
$theta=omega_0*[4/omega_0]= 4 rad$, pari a $4/[2pi]$ giri.
per la seconda parte c'e' un po' di ambiguita': intende meta del percorso fatto rispetto al sistema di riferimento fisso o inerziale? Io assumo che intenda nel sistema di riferimento fisso, cioe' meta' del percorso secondo la madre.
Il tempo impiegato si trova impostando che $L/2=-(Lomega_0^2)/16t^2+(Lomega_0)/2t$ che si risolve per
$t=(4-2sqrt(2))/omega_0$ e quindi la piattaforma ha compiuto un angolo $theta=(4-2sqrt(2))$ radianti
La palla ha velocita' assoluta $v=-[Lomega_0]/8*(4-2sqrt(2))+(omega_0L)/2=2sqrt(2)omega_0L$
Il sistema di riferimento del bimbo abbia il versore radiale $vecr$ rivolto verso il centro e quello tangenziale $vectau$ nel senso del moto.
Quindi per il bambino:
La palla e' a distanza $d=costheta$, con $theta$
La velocita' relativa e' $vecv'= 2sqrt(2)omega_0Lveci-omega_0dvectau$ che si puo scomporre nelle componenti radiali e tangenziali
$v'_[vecr]=-2sqrt(2)omega_0Lcostheta$
$v'_[vectau]=-2sqrt(2)omega_0Lsintheta-omega_0d$
L'accelerazione di trascinamento e' $omega_0^2dvecr$
L'acceleazione di Coriolis e' $2vecomega_0xx(-2sqrt(2)omega_0Lcostheta)vecr+2vecomega_0xx(-2sqrt(2)omega_0Lsintheta-omega_0d)vectau=2omega_0(2sqrt(2)omega_0Lcostheta)vectau+2omega_0(2sqrt(2)omega_0Lsintheta-omega_0d)vecr$
L'accelerazione relativa e' pertanto $veca'=omega_0^2Lveci-omega_0^2dvecr-2omega_0(2sqrt(2)omega_0Lcostheta)vectau-2omega_0(2sqrt(2)omega_0Lsintheta-omega_0d)vecr$
Da scomporre nelle sue componenti radiali e tangenziali
Radiale: $-omega_0^2Lcostheta+omega_0^2d-4omega_0^2sqrt(2)Lsintheta$
Tangenziale: $-omega_0^2Lsintheta-4omega_0^2sqrt(2)Lcostheta$
Il testo ti assicura che la palla nel sdr inerziale e' accelerata (negativamente).
Quindi se prendiamo come riferimento 0 il momento in cui il pargolo guarda lungo l'asse x, varra sicueramente la relazione:
$ddotx=-a$ da cui per integrazione
$dotx=-at+C_1$ e
$x=-[at^2]/2+C_1t+C_2$
Per determinare le costanti di integrazione imponiamo che $x(0)=0$ e $dotx(0)=[omega_0L]/2$
Quindi $C_1=[omega_0L]/2$ e $C_2=0$
Il testo ti assicura anche che il corpo si ferma sul bordo della piattaforma e quindi vale:
$-at+[omega_0L]/2=0$ da cui ottieni che il tempo di arresto e' $t=[omega_0L]/[2a]$
In questo tempo, la palla si trova a distanza L, e dunque
$L=-a/2[[omega_0L]/[2a]]^2+[omega_0L]/2*[omega_0L]/[2a]$
Che risolto ti da $a=[Lomega_0^2]/8$
Sostituendo in t, si ottiene che $t=4/omega_0$
La piattaforma gira di moto uniforme e pertanto $theta=omega_0t$ da cui si ottiene che la piattaforma ha percorso
$theta=omega_0*[4/omega_0]= 4 rad$, pari a $4/[2pi]$ giri.
per la seconda parte c'e' un po' di ambiguita': intende meta del percorso fatto rispetto al sistema di riferimento fisso o inerziale? Io assumo che intenda nel sistema di riferimento fisso, cioe' meta' del percorso secondo la madre.
Il tempo impiegato si trova impostando che $L/2=-(Lomega_0^2)/16t^2+(Lomega_0)/2t$ che si risolve per
$t=(4-2sqrt(2))/omega_0$ e quindi la piattaforma ha compiuto un angolo $theta=(4-2sqrt(2))$ radianti
La palla ha velocita' assoluta $v=-[Lomega_0]/8*(4-2sqrt(2))+(omega_0L)/2=2sqrt(2)omega_0L$
Il sistema di riferimento del bimbo abbia il versore radiale $vecr$ rivolto verso il centro e quello tangenziale $vectau$ nel senso del moto.
Quindi per il bambino:
La palla e' a distanza $d=costheta$, con $theta$
La velocita' relativa e' $vecv'= 2sqrt(2)omega_0Lveci-omega_0dvectau$ che si puo scomporre nelle componenti radiali e tangenziali
$v'_[vecr]=-2sqrt(2)omega_0Lcostheta$
$v'_[vectau]=-2sqrt(2)omega_0Lsintheta-omega_0d$
L'accelerazione di trascinamento e' $omega_0^2dvecr$
L'acceleazione di Coriolis e' $2vecomega_0xx(-2sqrt(2)omega_0Lcostheta)vecr+2vecomega_0xx(-2sqrt(2)omega_0Lsintheta-omega_0d)vectau=2omega_0(2sqrt(2)omega_0Lcostheta)vectau+2omega_0(2sqrt(2)omega_0Lsintheta-omega_0d)vecr$
L'accelerazione relativa e' pertanto $veca'=omega_0^2Lveci-omega_0^2dvecr-2omega_0(2sqrt(2)omega_0Lcostheta)vectau-2omega_0(2sqrt(2)omega_0Lsintheta-omega_0d)vecr$
Da scomporre nelle sue componenti radiali e tangenziali
Radiale: $-omega_0^2Lcostheta+omega_0^2d-4omega_0^2sqrt(2)Lsintheta$
Tangenziale: $-omega_0^2Lsintheta-4omega_0^2sqrt(2)Lcostheta$
Impeccabile come sempre 
grazie.
Devo imparare a leggere i testi più di una volta, lo ripeteva più volte che era decelerato eppure mi ero persuaso avesse velocità costante, non capisco proprio come abbia fatto!!
Volevo solo chiederti due cose.
La prima:
Non ho capito in che senso $d=costheta$ anche perché poi non l'hai utilizzato, e soprattutto non capisco quell'uguaglianza.
La seconda domanda:
E' stupida, lo so, ma prima di esercizi di questo tipo non mi era mai sorto il dubbio. Io so che con il prodotto vettoriale tra due vettori $aveci+bvecj+cveck$ e $dveci+evecj+fveck$ il prodotto vettoriale si fa con il determinante formale con abuso di notazione mettendo i,j,k e poi i coefficienti del vettore sotto (con i,j,k base ortonormale).
In questo caso però
$2vecomega_0xx(-2sqrt(2)omega_0Lcostheta)vecr+2vecomega_0xx(-2sqrt(2)omega_0Lsintheta-omega_0d)vectau$
hai dovuto moltiplicare con prodotto vettoriale
$2vecωxxvecv$
e hai scomposto in $vecωxxvecv_r$ radiale più la parte tangenziale $vecωxxvecv_T$ però a livello operativo non capisco come si faccia,perché in generale non è sempre vero che possa scomporre per due vettori il prodotto $(aveci+bvecj+cveck)xx(dveci+evecj+fveck)$ in $avecixxdveci+avecixxevecj+...$
Grazie ancora.
grazie.Devo imparare a leggere i testi più di una volta, lo ripeteva più volte che era decelerato eppure mi ero persuaso avesse velocità costante, non capisco proprio come abbia fatto!!
Volevo solo chiederti due cose.
La prima:
"professorkappa":
Quindi per il bambino:
La palla e' a distanza $d=costheta$, con $theta$
La velocita' relativa e' $vecv'= 2sqrt(2)omega_0Lveci-omega_0dvectau$ che si puo scomporre nelle componenti radiali e tangenziali
Non ho capito in che senso $d=costheta$ anche perché poi non l'hai utilizzato, e soprattutto non capisco quell'uguaglianza.
La seconda domanda:
E' stupida, lo so, ma prima di esercizi di questo tipo non mi era mai sorto il dubbio. Io so che con il prodotto vettoriale tra due vettori $aveci+bvecj+cveck$ e $dveci+evecj+fveck$ il prodotto vettoriale si fa con il determinante formale con abuso di notazione mettendo i,j,k e poi i coefficienti del vettore sotto (con i,j,k base ortonormale).
In questo caso però
$2vecomega_0xx(-2sqrt(2)omega_0Lcostheta)vecr+2vecomega_0xx(-2sqrt(2)omega_0Lsintheta-omega_0d)vectau$
hai dovuto moltiplicare con prodotto vettoriale
$2vecωxxvecv$
e hai scomposto in $vecωxxvecv_r$ radiale più la parte tangenziale $vecωxxvecv_T$ però a livello operativo non capisco come si faccia,perché in generale non è sempre vero che possa scomporre per due vettori il prodotto $(aveci+bvecj+cveck)xx(dveci+evecj+fveck)$ in $avecixxdveci+avecixxevecj+...$
Grazie ancora.
Ho scritto tardi e l'ho fatto a mente. E' un errore!
In realta' $dcostheta=L/2$ cioe' $d=L/[2costheta]$
Per quanto riguarda il prodotto vettoriale di $omega_0veckxxvecv'$, dal momento che tu scomponi lungo le direzioni radiali e tangenziali, che sono sempre a 90 gradi rispetto a $veck$, il modulo sara sempre $omega_0$ moltiplicato per il valore della componente.
Il verso del vettore e' $veckxxvectau=-vecn$ e $veckxxvecn=-vectau$ (anche questo lo vedi da figura allegata.
Ora riguardo per vedere che non ci siano altri errori marchiani ed eventualmente li correggo
In realta' $dcostheta=L/2$ cioe' $d=L/[2costheta]$
Per quanto riguarda il prodotto vettoriale di $omega_0veckxxvecv'$, dal momento che tu scomponi lungo le direzioni radiali e tangenziali, che sono sempre a 90 gradi rispetto a $veck$, il modulo sara sempre $omega_0$ moltiplicato per il valore della componente.
Il verso del vettore e' $veckxxvectau=-vecn$ e $veckxxvecn=-vectau$ (anche questo lo vedi da figura allegata.
Ora riguardo per vedere che non ci siano altri errori marchiani ed eventualmente li correggo
Chiarissimo!
Non ci sarei mai riuscito a districarmi nel problema
Grazie ^^
Non ci sarei mai riuscito a districarmi nel problema
Grazie ^^
Riguardando ci sono degli errori:
La velocita relativa quando il corpo si trova a meta' strada secondo la madre e':'
$vecv'=2sqrt2omega_0Lveci-(omega_0L)/(2costheta)vectau$.
Scomponendo lungo $vecn$ e $vectau$ ottengo:
$vecv'=-2sqrt2omega_0Lcosthetavecn-2sqrt2omega_0Lsinthetavectau-(omega_0L)/(2costheta)vectau$
Da qui, l'accelerazione di Coriolis e'
$veca_c=2omega_oveckxxvecv'=-2omega_oveckxx(2sqrt2omega_0Lcosthetavecn+2sqrt2omega_0Lsinthetavectau+(omega_0L)/(2costheta)vectau)$
Eseguendo il prodotto vettoriale:
$veca_c=2omega_oveckxxvecv'=-2omega_oveckxx(2sqrt2omega_0Lcosthetavecn+2sqrt2omega_0Lsinthetavectau+(omega_0L)/(2costheta)vectau)$
$=2omega_o*2sqrt2omega_0Lcosthetavectau+2omega_o*(2sqrt2omega_0Lsinthetavectau+(omega_0L)/(2costheta))vecn$
e da qui puoi continuare e concludere
La velocita relativa quando il corpo si trova a meta' strada secondo la madre e':'
$vecv'=2sqrt2omega_0Lveci-(omega_0L)/(2costheta)vectau$.
Scomponendo lungo $vecn$ e $vectau$ ottengo:
$vecv'=-2sqrt2omega_0Lcosthetavecn-2sqrt2omega_0Lsinthetavectau-(omega_0L)/(2costheta)vectau$
Da qui, l'accelerazione di Coriolis e'
$veca_c=2omega_oveckxxvecv'=-2omega_oveckxx(2sqrt2omega_0Lcosthetavecn+2sqrt2omega_0Lsinthetavectau+(omega_0L)/(2costheta)vectau)$
Eseguendo il prodotto vettoriale:
$veca_c=2omega_oveckxxvecv'=-2omega_oveckxx(2sqrt2omega_0Lcosthetavecn+2sqrt2omega_0Lsinthetavectau+(omega_0L)/(2costheta)vectau)$
$=2omega_o*2sqrt2omega_0Lcosthetavectau+2omega_o*(2sqrt2omega_0Lsinthetavectau+(omega_0L)/(2costheta))vecn$
e da qui puoi continuare e concludere
Per quanto riguarda l'accelerazione relativa, si può procedere anche così:
Equazioni parametriche sistema di riferimento inerziale
$\{(x=1/2at^2+v_0t),(y=0):}$
Equazioni parametriche sistema di riferimento non inerziale
$\{(x_1=(1/2at^2+v_0t)cos\omega_0t),(y_1=-(1/2at^2+v_0t)sin\omega_0t):}$
Velocità sistema di riferimento non inerziale
$\{(dotx_1=(at+v_0)cos\omega_0t-\omega_0(1/2at^2+v_0t)sin\omega_0t),(doty_1=-(at+v_0)sin\omega_0t-\omega_0(1/2at^2+v_0t)cos\omega_0t):}$
Accelerazione sistema di riferimento non inerziale
$\{(ddotx_1=acos\omega_0t-2\omega_0(at+v_0)sin\omega_0t-\omega_0^2(1/2at^2+v_0t)cos\omega_0t),(ddoty_1=-asin\omega_0t-2\omega_0(at+v_0)cos\omega_0t+\omega_0^2(1/2at^2+v_0t)sin\omega_0t):}$
@ prof. ti ringrazio, avevo provato a rifarlo dopo la tua correzione su d e funziona.
@ Sergeant: ti ringrazio perché è sempre bello vedere altre tecniche risolutive, ad esempio volevo chiederti come si fa a parametrizzare in maniera generica, per questi esercizi di fisica 1 non l'ho mai visto uno svolgimento del genere ma mi pare molto comodo.
Se ho ben capito alle formule $v=v'+ωxxr'$ e $a=a'+2ωxxv'+ωxx(ωxxr')$ e le hai scomposte sugli assi del sistema inerziale in funzione del tempo, ma non ho capito le sostituzioni $x'=(1/2at^2+v_0t)$
E $(at+v_0)$ mi sembra che giochi nella prima del sistema "Velocità sistema di riferimento non inerziale" e nella prima del "Accelerazione sistema di riferimento non inerziale" il ruolo di v e v' rispettivamente, non riesco a comprenderlo.
@ Sergeant: ti ringrazio perché è sempre bello vedere altre tecniche risolutive, ad esempio volevo chiederti come si fa a parametrizzare in maniera generica, per questi esercizi di fisica 1 non l'ho mai visto uno svolgimento del genere ma mi pare molto comodo.
Se ho ben capito alle formule $v=v'+ωxxr'$ e $a=a'+2ωxxv'+ωxx(ωxxr')$ e le hai scomposte sugli assi del sistema inerziale in funzione del tempo, ma non ho capito le sostituzioni $x'=(1/2at^2+v_0t)$
E $(at+v_0)$ mi sembra che giochi nella prima del sistema "Velocità sistema di riferimento non inerziale" e nella prima del "Accelerazione sistema di riferimento non inerziale" il ruolo di v e v' rispettivamente, non riesco a comprenderlo.
Supponendo che, per $[t=0]$, i due sistemi di riferimento siano sovrapposti, per determinare la relazione tra le coordinate:
basta applicare il primo teorema sui triangoli rettangoli:
Quindi, per determinare l'accelerazione relativa, derivare due volte.
$\{(x=1/2at^2+v_0t),(y=0):} rarr \{(x_1=(1/2at^2+v_0t)cos\omega_0t),(y_1=-(1/2at^2+v_0t)sin\omega_0t):}$
basta applicare il primo teorema sui triangoli rettangoli:
Quindi, per determinare l'accelerazione relativa, derivare due volte.
Ma in teoria, quando vado a derivare per il sistema non inerziale, non dovrei trovarmi anche un valore del versore derivato essendo il versore non fisso nella rotazione?
Facendo così mi pare di escluderlo.
Grazie
Facendo così mi pare di escluderlo.
Grazie
Rispetto all'osservatore non inerziale:
i versori $vec(i_1)$ e $vec(j_1)$ sono fissi. Le uniche grandezze che dipendono dal tempo sono $x_1$ e $y_1$.
$P-O_1=x_1vec(i_1)+y_1vec(j_1)$
i versori $vec(i_1)$ e $vec(j_1)$ sono fissi. Le uniche grandezze che dipendono dal tempo sono $x_1$ e $y_1$.
Hai ragione, ovviamente , certe volte prendo clamorosi abbagli.
Spero di prenderci la mano scusa la domanda stupidissima.
, certe volte prendo clamorosi abbagli.Spero di prenderci la mano
scusa la domanda stupidissima.
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