Esercizio di termodinamica
Buonasera a tutti, ho provato a risolvere questo problema ma mi sorgono dei dubbi in quanto l'entropia dell'universo risulta negativa e non so dove ho sbagliato. Grazie mille per l'aiuto
TESTO: Una mole di gas perfetto compie una trasformazione \( pV^2 = \text{costante} \) dallo stato iniziale con \( p_i = 4 \, \text{atm} \) e \( V_i = 8 \, \text{L} \), ad uno stato finale con \( p_f = 2 \, \text{atm} \). La variazione di entalpia del sistema è \( \Delta H = -3322 \, \text{J} \). Calcolare il volume e la temperatura nello stato finale, il calore scambiato dal gas durante l'espansione, e la variazione di entropia del sistema.
PROCEDIMENTO:
1. Trovare la temperatura iniziale (\(T_i\)):
Utilizzo l'equazione di stato dei gas perfetti:
\[ p_i V_i = n R T_i \]
Converto le unità di pressione e volume nel sistema internazionale:
\[ p_i = 4 \, \text{atm} = 4 \times 101325 \, \text{Pa} = 405300 \, \text{Pa} \]
\[ V_i = 8 \, \text{L} = 8 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 = 0.008 \, \text{m}^3 \]
Sostituisco nell'equazione dei gas perfetti:
\[ T_i = \frac{p_i V_i}{n R} = \frac{405300 \times 0.008}{1 \times 8.314} = 390.68 \, \text{K} \]
2. Trovare il volume finale (\(V_f\)) utilizzando la trasformazione politropica (\( pV^2 = \text{costante} \)):
\[ p_i V_i^2 = p_f V_f^2 \]
\[ V_f = \sqrt{\frac{p_i V_i^2}{p_f}} = \sqrt{\frac{4 \times 8^2}{2}} = \sqrt{\frac{256}{2}} = \sqrt{128} \approx 11.31 \, \text{L} \]
3. Trovare la temperatura finale (\(T_f\)):
Utilizzo ancora l'equazione di stato dei gas perfetti:
\[ p_f V_f = n R T_f \]
Converto il volume finale:
\[ V_f = 11.31 \, \text{L} = 11.31 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 = 0.01131 \, \text{m}^3 \]
Sostituisco nell'equazione dei gas perfetti:
\[ T_f = \frac{p_f V_f}{n R} = \frac{2 \times 101325 \times 0.01131}{8.314} = 276.42 \, \text{K} \]
4. Calcolare il calore specifico a pressione costante (\(C_p\)):
La variazione di entalpia \(\Delta H\) per una mole di gas è:
\[ \Delta H = n C_p \Delta T \]
con \(\Delta T = T_f - T_i\):
\[ \Delta T = 276.42 - 390.68 = -114.26 \, \text{K} \]
Poi
\[ -3322 = 1 \times C_p \times (-114.26) \]
\[ C_p = \frac{3322}{114.26} \approx 29.06 \, \text{J/(mol·K)} \]
5. Calcolare il calore specifico della trasformazione politropica (\(C_p,pol\)) e del calore scambiato (\(Q\)):
Per la trasformazione politropica \( pV^2 = \text{costante} \), il lavoro fatto dal gas \(W\) è:
\[ W = \frac{p_i V_i - p_f V_f}{1 - \gamma} \]
Dove \(\gamma\) è il rapporto dei calori specifici \(C_p/C_v\). Utilizzando \(C_v\) per un gas perfetto monoatomico trovo:
\[ C_v = C_p - R = 29.06 - 8.314 = 20.75 \, \text{J/(mol·K)} \]
Quindi:
\[ \gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{29.06}{20.75} \approx 1.40 \]
Ora, il lavoro \(W\):
\[ W = \frac{(4 \times 101325 \times 0.008) - (2 \times 101325 \times 0.01131)}{1 - 1.40} \]
\[ W = \frac{(3242.6 - 2288.8)}{-0.40} \]
\[ W = \frac{953.8}{-0.40} = -2384.5 \, \text{J} \]
Il calore scambiato \(Q\):
\[ Q = \Delta H - W = -3322 - (-2384.5) = -937.5 \, \text{J} \]
6. Variazione di entropia (\(\Delta S\)):
Utilizzo la formula della variazione di entropia per una trasformazione politropica:
\[ \Delta S = n C_v \ln \frac{T_f}{T_i} + n R \ln \frac{V_f}{V_i} \]
\[ \Delta S = 1 \times 20.75 \times \ln \frac{276.42}{390.68} + 1 \times 8.314 \times \ln \frac{11.31}{8} \]
\[ \Delta S = 20.75 \times \ln (0.7076) + 8.314 \times \ln (1.41375) \]
\[ \Delta S = 20.75 \times (-0.3464) + 8.314 \times (0.3465) \]
\[ \Delta S = -7.19 + 2.88 = -4.31 \, \text{J/K} \]
Spero che questo sia di aiuto per capire dove ho sbagliato. Grazie in anticipo per l'aiuto!
TESTO: Una mole di gas perfetto compie una trasformazione \( pV^2 = \text{costante} \) dallo stato iniziale con \( p_i = 4 \, \text{atm} \) e \( V_i = 8 \, \text{L} \), ad uno stato finale con \( p_f = 2 \, \text{atm} \). La variazione di entalpia del sistema è \( \Delta H = -3322 \, \text{J} \). Calcolare il volume e la temperatura nello stato finale, il calore scambiato dal gas durante l'espansione, e la variazione di entropia del sistema.
PROCEDIMENTO:
1. Trovare la temperatura iniziale (\(T_i\)):
Utilizzo l'equazione di stato dei gas perfetti:
\[ p_i V_i = n R T_i \]
Converto le unità di pressione e volume nel sistema internazionale:
\[ p_i = 4 \, \text{atm} = 4 \times 101325 \, \text{Pa} = 405300 \, \text{Pa} \]
\[ V_i = 8 \, \text{L} = 8 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 = 0.008 \, \text{m}^3 \]
Sostituisco nell'equazione dei gas perfetti:
\[ T_i = \frac{p_i V_i}{n R} = \frac{405300 \times 0.008}{1 \times 8.314} = 390.68 \, \text{K} \]
2. Trovare il volume finale (\(V_f\)) utilizzando la trasformazione politropica (\( pV^2 = \text{costante} \)):
\[ p_i V_i^2 = p_f V_f^2 \]
\[ V_f = \sqrt{\frac{p_i V_i^2}{p_f}} = \sqrt{\frac{4 \times 8^2}{2}} = \sqrt{\frac{256}{2}} = \sqrt{128} \approx 11.31 \, \text{L} \]
3. Trovare la temperatura finale (\(T_f\)):
Utilizzo ancora l'equazione di stato dei gas perfetti:
\[ p_f V_f = n R T_f \]
Converto il volume finale:
\[ V_f = 11.31 \, \text{L} = 11.31 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 = 0.01131 \, \text{m}^3 \]
Sostituisco nell'equazione dei gas perfetti:
\[ T_f = \frac{p_f V_f}{n R} = \frac{2 \times 101325 \times 0.01131}{8.314} = 276.42 \, \text{K} \]
4. Calcolare il calore specifico a pressione costante (\(C_p\)):
La variazione di entalpia \(\Delta H\) per una mole di gas è:
\[ \Delta H = n C_p \Delta T \]
con \(\Delta T = T_f - T_i\):
\[ \Delta T = 276.42 - 390.68 = -114.26 \, \text{K} \]
Poi
\[ -3322 = 1 \times C_p \times (-114.26) \]
\[ C_p = \frac{3322}{114.26} \approx 29.06 \, \text{J/(mol·K)} \]
5. Calcolare il calore specifico della trasformazione politropica (\(C_p,pol\)) e del calore scambiato (\(Q\)):
Per la trasformazione politropica \( pV^2 = \text{costante} \), il lavoro fatto dal gas \(W\) è:
\[ W = \frac{p_i V_i - p_f V_f}{1 - \gamma} \]
Dove \(\gamma\) è il rapporto dei calori specifici \(C_p/C_v\). Utilizzando \(C_v\) per un gas perfetto monoatomico trovo:
\[ C_v = C_p - R = 29.06 - 8.314 = 20.75 \, \text{J/(mol·K)} \]
Quindi:
\[ \gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{29.06}{20.75} \approx 1.40 \]
Ora, il lavoro \(W\):
\[ W = \frac{(4 \times 101325 \times 0.008) - (2 \times 101325 \times 0.01131)}{1 - 1.40} \]
\[ W = \frac{(3242.6 - 2288.8)}{-0.40} \]
\[ W = \frac{953.8}{-0.40} = -2384.5 \, \text{J} \]
Il calore scambiato \(Q\):
\[ Q = \Delta H - W = -3322 - (-2384.5) = -937.5 \, \text{J} \]
6. Variazione di entropia (\(\Delta S\)):
Utilizzo la formula della variazione di entropia per una trasformazione politropica:
\[ \Delta S = n C_v \ln \frac{T_f}{T_i} + n R \ln \frac{V_f}{V_i} \]
\[ \Delta S = 1 \times 20.75 \times \ln \frac{276.42}{390.68} + 1 \times 8.314 \times \ln \frac{11.31}{8} \]
\[ \Delta S = 20.75 \times \ln (0.7076) + 8.314 \times \ln (1.41375) \]
\[ \Delta S = 20.75 \times (-0.3464) + 8.314 \times (0.3465) \]
\[ \Delta S = -7.19 + 2.88 = -4.31 \, \text{J/K} \]
Spero che questo sia di aiuto per capire dove ho sbagliato. Grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Al di là di tutti calcoli precedenti al calcolo dell'entropia (che non ho esaminato con attenzione, ma che mi sembrano corretti) il fatto che il gas subisca una riduzione di entropia, non vuole dire che l'universo subisca una riduzione di entropia. In questo caso il gas non è un sistema isolato ma scambia calore con l'esterno (al punto 5 viene anche calcolato).
La variazione di entropia dell'universo è data quindi da quella del gas + quella dell'esterno.
La variazione di entropia dell'universo è data quindi da quella del gas + quella dell'esterno.
Grazie mille per la preziosa informazione!
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