Esercizio di termodinamica
C'è qualcosa in questo esercizio che non mi torna:
un recipiente cilindrico con pareti isolanti alto h=2.4m è diviso in due da un pistone isolante di massa m=50kg e spessore trascurabile. Nella parte superiore vi è il vuoto, nella parte inferiore un n=0.4moli di un gas biatomico. Una molla con costante elastica k=200N/m e lunghezza a riposo l0=0.6m collega la base del pistone con il fondo del recipiente. Inizialmente il gas, il pistone e la molla sono in equilibrio con il pistone ad un'altezza h0=1.2m. Ad un certo istante la molla si sgancia dal pistone e il gas raggiunge un novo stato di equilibrio. Determinare: a) lo spostamento del pistone, b) la variazione di entropia del gas.
Dunque, dato che il recipiente è isolato dQ=0, nel momento in cui la molla si sgancia il pistone si alza sotto l'azione della pressione del gas. Il lavoro del pistone \(\displaystyle L = mg\Delta l = mg(h_1-h_0)\) dove h1 è l'altezza finale del pistone. D'altra parte l'energia interna di un gas perfetto biatomico è \(\displaystyle 5/2 nR T \) quindi \(\displaystyle \Delta U = - \Delta L = 5/2 nR (T_1-T_0)\); uguagliando queste ho una prima equazione che però dipende da T0, T1 e h1, mi servono altre due equazioni. Ho quindi considerato l'equilibrio iniziale: \(\displaystyle mg + k(h_0-l_0) = p*A = nRT_0*A/V_0 = nRT_0/h_0 \) ovvero \(\displaystyle mg + k(h_0-l_0) =nRT_0/h_0 \),; e finale: \(\displaystyle mg = nRT_1/h_1 \). Ma già su queste equazioni ho un dubbio, infatti se dalla prima determino la temperatura ottengo T0=220K che mi sembra un po' fredda per un gas perfetto. Comunque se utilizzo queste tre equazioni ottengo un altezza finale di 1.410 m, ovvero un incremento del pistone di 0.210 m.
Chiaramente per l'entropia applicherei la relazione:
\(\displaystyle \Delta S = nc_v ln(T_1/T_0) + nR ln(V_1/V_0) \)
Cosa ne dite? Ho commesso una serie di imperdonabili errori?
un recipiente cilindrico con pareti isolanti alto h=2.4m è diviso in due da un pistone isolante di massa m=50kg e spessore trascurabile. Nella parte superiore vi è il vuoto, nella parte inferiore un n=0.4moli di un gas biatomico. Una molla con costante elastica k=200N/m e lunghezza a riposo l0=0.6m collega la base del pistone con il fondo del recipiente. Inizialmente il gas, il pistone e la molla sono in equilibrio con il pistone ad un'altezza h0=1.2m. Ad un certo istante la molla si sgancia dal pistone e il gas raggiunge un novo stato di equilibrio. Determinare: a) lo spostamento del pistone, b) la variazione di entropia del gas.
Dunque, dato che il recipiente è isolato dQ=0, nel momento in cui la molla si sgancia il pistone si alza sotto l'azione della pressione del gas. Il lavoro del pistone \(\displaystyle L = mg\Delta l = mg(h_1-h_0)\) dove h1 è l'altezza finale del pistone. D'altra parte l'energia interna di un gas perfetto biatomico è \(\displaystyle 5/2 nR T \) quindi \(\displaystyle \Delta U = - \Delta L = 5/2 nR (T_1-T_0)\); uguagliando queste ho una prima equazione che però dipende da T0, T1 e h1, mi servono altre due equazioni. Ho quindi considerato l'equilibrio iniziale: \(\displaystyle mg + k(h_0-l_0) = p*A = nRT_0*A/V_0 = nRT_0/h_0 \) ovvero \(\displaystyle mg + k(h_0-l_0) =nRT_0/h_0 \),; e finale: \(\displaystyle mg = nRT_1/h_1 \). Ma già su queste equazioni ho un dubbio, infatti se dalla prima determino la temperatura ottengo T0=220K che mi sembra un po' fredda per un gas perfetto. Comunque se utilizzo queste tre equazioni ottengo un altezza finale di 1.410 m, ovvero un incremento del pistone di 0.210 m.
Chiaramente per l'entropia applicherei la relazione:
\(\displaystyle \Delta S = nc_v ln(T_1/T_0) + nR ln(V_1/V_0) \)
Cosa ne dite? Ho commesso una serie di imperdonabili errori?
Risposte
"giuseppeangora":
Ho commesso una serie di imperdonabili errori?
Io avrei considerato anche l'energia potenziale inizialmente immagazzinata dalla molla che si trasforma in calore. Quindi:
Passo 1
$[V_0=Ah_0] ^^ [P_0A=mg+k(h_0-l_0)] ^^ [P_0V_0=nRT_0] rarr$
$rarr (mg+k(h_0-l_0))/A Ah_0=nRT_0 rarr$
$rarr T_0=(h_0[mg+k(h_0-l_0)])/(nR)$
Passo 2
$[V_1=Ah_1] ^^ [P_1A=mg] ^^ [P_1V_1=nRT_1] rarr$
$rarr (mg)/A Ah_1=nRT_1 rarr$
$rarr mgh_1=nRT_1$ (Equazione 1)
Passo 3
$[Q=1/2k(h_0-l_0)^2] ^^ [L=mg(h_1-h_0)] ^^ [\DeltaU=5/2nR(T_1-T_0)] ^^ [\DeltaU=Q-L] rarr$
$rarr 5/2nR(T_1-T_0)=1/2k(h_0-l_0)^2-mg(h_1-h_0)$ (Equazione 2)
Sistema
$[mgh_1=nRT_1] ^^ [5/2nR(T_1-T_0)=1/2k(h_0-l_0)^2-mg(h_1-h_0)] rarr$
$rarr [h_1=...] ^^ [T_1=...]$
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