Esercizio di Termodinamica.
E' un problema tratto dall'Halliday, quinta edizione. Chiedo se, per favore, potete dare un'occhiata.
La distanza tra i piloni della campata principale del ponte Golden Gate di San Francisco e' di '' 1280 m ''. Alla temperatura di '' 10°C '' l'avvallamento verticale del cavo e' di '' 143 m ''. Si assuma '' $\alpha=6,5xx10^-6$ $K^-1$ '' e, per un aumento di temperatura da '' -12,2°C '' a '' -32,2°C '' si calcolino:
A - La variazione di lunghezza del cavo.
B - La variazione dell'avvallamento del cavo.
Si supponga che le torri restino parallele e si approssimi con una parabola la curva sottesa dal cavo.
SOLUZIONE.
A - Imposto ( per semplicita' ) una parabola con vertice nell'origine: $y=ax^2$.
A causa della simmetria abbiamo '' x=640m, -x=-640m '', e l'avvallamento '' y=143m ''. Quindi si ricava immediatamente la costante '' a '': $a=3,49xx10^-4$.
Per ricavare la variazione di lunghezza serve la lunghezza del cavo, la lunghezza della parabola in questo caso:
$int_-640^640sqrt(4a^2x^2+1)dx$.
Che si risolve cosi': $l=1/2[xsqrt(4a^2x^2+1)+1/(2a)ln(2ax+sqrt(4a^2x^2+1)]$.
La variazione $\Deltal$ e' richiesta tra '' -12,2 '' e '' -32,2 '' gradi, quindi essendo:
$\Deltal1=l\alpha\DeltaT1$. Dove: $\DeltaT1=10-(-32,2)$.
$\Deltal2=l\alpha\DeltaT2$. Dove: $\DeltaT2=10-(-12,2)$.
Quindi: $\Deltal=\Deltal1-\Deltal2$.
A me viene fuori '' $\Deltal=0,17m$'' quando dovrebbe invece venire '' 0,7m''. Non capisco dove sia il mio errore, ammesso che ci sia.
B - Premetto che non mi interessano risultati numerici, ma soltanto la validita' del procedimento.
Per la variazione dell'avvallamento ho pensato a questa strategia: mi calcolo la lunghezza del cavo relativa alle rispettive temperature '' -12,2 '' e '' -32,2 '' gradi. Infatti possiedo tutti i dati all'occorrenza. Assumo che che sia soltanto il filo a subire variazioni ( direi di ritenere il ponte praticamente immuttabile, anche perche' non ci sono informazioni relative ai sui coefficienti di dilatazione ), allora le ascisse ( '' +- 640 '' ) rimarranno tali, ovvero i cardini del ponte non si sposteranno. Per
le due temperature considero due nuove parabole, sempre con vertice nell'origine, per semplicita'; conoscendo le lunghezze
relative alle due temperature, in entrambi i casi dalla soluzione dell'integrale ( di cui sopra ) posso ricavare il nuovo parametro di larghezza della parabola. Quindi avendo questo e l'ascissa ( la stessa dall'inizio ) posso ricavare l'ordinata dall'equazione della parabola. Ottenendole entrambe per poi sottrarle, trovo la variazione dell'avvallamento.
Soltanto che tale metodo e' calcoloso e noioso da svolgere, e dato che al momento non mi e' venuta in mente un'altra via, vi chiedo se e' possibile una soluzione piu' sintetica di questo esercizio.
La distanza tra i piloni della campata principale del ponte Golden Gate di San Francisco e' di '' 1280 m ''. Alla temperatura di '' 10°C '' l'avvallamento verticale del cavo e' di '' 143 m ''. Si assuma '' $\alpha=6,5xx10^-6$ $K^-1$ '' e, per un aumento di temperatura da '' -12,2°C '' a '' -32,2°C '' si calcolino:
A - La variazione di lunghezza del cavo.
B - La variazione dell'avvallamento del cavo.
Si supponga che le torri restino parallele e si approssimi con una parabola la curva sottesa dal cavo.
SOLUZIONE.
A - Imposto ( per semplicita' ) una parabola con vertice nell'origine: $y=ax^2$.
A causa della simmetria abbiamo '' x=640m, -x=-640m '', e l'avvallamento '' y=143m ''. Quindi si ricava immediatamente la costante '' a '': $a=3,49xx10^-4$.
Per ricavare la variazione di lunghezza serve la lunghezza del cavo, la lunghezza della parabola in questo caso:
$int_-640^640sqrt(4a^2x^2+1)dx$.
Che si risolve cosi': $l=1/2[xsqrt(4a^2x^2+1)+1/(2a)ln(2ax+sqrt(4a^2x^2+1)]$.
La variazione $\Deltal$ e' richiesta tra '' -12,2 '' e '' -32,2 '' gradi, quindi essendo:
$\Deltal1=l\alpha\DeltaT1$. Dove: $\DeltaT1=10-(-32,2)$.
$\Deltal2=l\alpha\DeltaT2$. Dove: $\DeltaT2=10-(-12,2)$.
Quindi: $\Deltal=\Deltal1-\Deltal2$.
A me viene fuori '' $\Deltal=0,17m$'' quando dovrebbe invece venire '' 0,7m''. Non capisco dove sia il mio errore, ammesso che ci sia.
B - Premetto che non mi interessano risultati numerici, ma soltanto la validita' del procedimento.
Per la variazione dell'avvallamento ho pensato a questa strategia: mi calcolo la lunghezza del cavo relativa alle rispettive temperature '' -12,2 '' e '' -32,2 '' gradi. Infatti possiedo tutti i dati all'occorrenza. Assumo che che sia soltanto il filo a subire variazioni ( direi di ritenere il ponte praticamente immuttabile, anche perche' non ci sono informazioni relative ai sui coefficienti di dilatazione ), allora le ascisse ( '' +- 640 '' ) rimarranno tali, ovvero i cardini del ponte non si sposteranno. Per
le due temperature considero due nuove parabole, sempre con vertice nell'origine, per semplicita'; conoscendo le lunghezze
relative alle due temperature, in entrambi i casi dalla soluzione dell'integrale ( di cui sopra ) posso ricavare il nuovo parametro di larghezza della parabola. Quindi avendo questo e l'ascissa ( la stessa dall'inizio ) posso ricavare l'ordinata dall'equazione della parabola. Ottenendole entrambe per poi sottrarle, trovo la variazione dell'avvallamento.
Soltanto che tale metodo e' calcoloso e noioso da svolgere, e dato che al momento non mi e' venuta in mente un'altra via, vi chiedo se e' possibile una soluzione piu' sintetica di questo esercizio.
Risposte
secondo me non serve fare l'integrale, scoprire la variazione di lunghezza e molto piu facile \(\displaystyle l(t)=l(t0)*(1+\alpha*\Delta t) \) dalla quale ti ricavi facilmente la variazione di lunghezza del cavo
Ti ringrazio per la risposta.
Pero' del filo conosciamo soltanto l'avvallamento, e per poter calcolare la variazione della sua lunghezza serve la lunghezza iniziale stessa ( quella che tu hai espresso tramite '' l(t0) '' ), da cui l'integrale.
Comunque a livello teorico e' giusta la mia soluzione?
La seconda parte del problema ( a meno che a qualcuno non venga in mente una strada sintetica ) puo' andare bene? Mi riferisco al metodo.
Pero' del filo conosciamo soltanto l'avvallamento, e per poter calcolare la variazione della sua lunghezza serve la lunghezza iniziale stessa ( quella che tu hai espresso tramite '' l(t0) '' ), da cui l'integrale.
Comunque a livello teorico e' giusta la mia soluzione?
La seconda parte del problema ( a meno che a qualcuno non venga in mente una strada sintetica ) puo' andare bene? Mi riferisco al metodo.
Scusate se lo faccio riemergere, ma ora ho reso leggibile l'integrale. Cerco soltanto un'opinione sul metodo.
scusami ultimanete non sono entrato molto, l'integrale è giusto non avevo notato che ti mancava l(t0) quindi hai calcolato la lunghezza della parabola, per il calcolo dell'avvalamento si e giusto, e anche il calcolo di delta l, non so secondo me e tutto giusto, tranne solo una cosa piccola che secondo me ha sbagliato anche il libro, la temperatura si sta abbassando quindi delta l deve essere negativo no?
In effetti sheldon ha ragione, la temperatura diminuisce. Ma il testo, se copiato correttamente, parla di "aumento della temperatura" . C'è un controsenso. Che forse si spiega con un errore di traduzione?
Magari sul testo americano è scritto: "temperature change" oppure "decrease" , e il traduttore ha letto "increase" ?
Magari sul testo americano è scritto: "temperature change" oppure "decrease" , e il traduttore ha letto "increase" ?
Vi ringrazio! Sinceramente la seconda parte del problema ( avvallamento ) l'ho risolta algebricamente, ma non ho fatto i conti
perche' lunghi e noiosi...vabbe', l'importante e' la soluzione teorica.
Certamente! Il risultato trovato per la prima parte ( diverso da quello del libro, ma alla fin fine penso che sia esso in errore ) l'ho riportato ( cattiva abitudine ) senza segno.
Probabilmente, come affermate, c'e' un errore di traduzione del testo.
perche' lunghi e noiosi...vabbe', l'importante e' la soluzione teorica.
tranne solo una cosa piccola che secondo me ha sbagliato anche il libro, la temperatura si sta abbassando quindi delta l deve essere negativo no?
Certamente! Il risultato trovato per la prima parte ( diverso da quello del libro, ma alla fin fine penso che sia esso in errore ) l'ho riportato ( cattiva abitudine ) senza segno.
Probabilmente, come affermate, c'e' un errore di traduzione del testo.
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