Esercizio di Statica I, e51.1 p 276

[Antonio_80]

Un’asta ad $L$ è stata ottenuta saldando ad angolo retto due aste rettilinee omogenee. La prima asta $AB$ è lunga $2l$ e ha massa $2m$, la seconda asta $BC$ è lunga $l$ e ha massa $m$. Il sistema è posto in un piano verticale ed è incernierato nel suo estremo $A$. Calcolare la posizione di equilibrio e le reazioni vincolari in $A$.

Il testo scrive la seguente risoluzione:

Nella prima parte della soluzione, il testo parla del fatto che La configurazione di equilibrio si ricava immediatamente scrivendo l'equazione del momento rispetto ad $A$! Questo modo di dire e fare del testo non mi è molto chiaro!

Perchè la configurazione di equilibrio si ricava immediatamente scrivendo l'equazione del momento rispetto ad $A$

Ma invece di scrivere una risposta in quel modo, non conveniva dire che bisogna scrivere ciò che accade nel punto $A$ in quanto il corpo è soggetto ad un momento

Ovviamente in un corpo in statica, si deve pensare sempre ad un sistema che è dato dai Momenti, dalle reazioni in $x$ e dalle reazioni in $y$ e li si devono uguagliare a $..=0$ in quanto si tratta di statica, penso di aver detto bene, vero

Nella soluzione delle razioni in $x$ ed in $y$ mi sono dato subito una risposta dicendo che in $x$ non si ha movimento nel punto $A$ e quindi dalla statica la reazione $R_x=0$, mentre le uniche reazioni che si devono considerare e che sono $!=0$ sono quelle in $y$ in quanto si ha che il peso deve essere compensato, quindi io ho pensato che la formula corretta sia questa:

$ R_y = mg sen theta + 2mg sen theta - V_a= 0 $

Essendo $R_y = 0$ si ha che la reazione è $V_A = 3mg sen theta$

Perchè il testo scrive invece $V_A = 3mg$ e non considera gli angoli $sen theta$

Questo $sen theta$ deriva dal fatto che le reazioni che avvengono nei baricentri delle aste, hanno $mg$ che è rivolto verso il basso, mentre le reazioni che io chiamo $F_T$ sono lungo le aste, tipo la tensione di un filo che ha $F_T$ lungo il filo e quindi sono soggette ad un angolo che è $theta$

Cosa sto sbagliando a considerare

[Falco5x]

Mi sembra che sui vettori hai le idee un po' confuse.
Se tu conosci a priori un vettore che rappresenta una forza, in direzione modulo e verso, puoi benissimo scomporlo in 2 vettori componenti secondo due direzioni a piacere. Il vettore originario è dunque equivalente alla somma dei due vettori componenti così trovati. Di solito è comodo scomporlo secondo due direzioni ortogonali, perché così i calcoli vengono facili.
Passando al caso in esame, tu per ciascuna delle due aste conosci le forze peso che sono dirette nel verso y. Volendo le potresti scomporre come ti pare, ma siccome hai già una loro scomposizione, ovvero quella secondo la direzione y che dà esattamente il vettore di partenza, e quella secondo la direzione x che dà zero, non ha proprio senso cercare di scomporlo in altre direzioni.
Siccome la reazione in A deve essere uguale e contraria alla somma di questi vettori-peso, la risposta è immediata: -3mg in direzione y e 0 in direzione x. Non serve cercare altro.

Però se tu con una certa dose di autolesionismo vai a cercare la componente di questa forza peso secondo una direzione diversa (e comunque se cerchi la componente lungo l'asta maggiore devi usare il coseno, mentre se vuoi la componente lungo l'asta minore devi usare il seno), non ti devi dimenticare che questa è solo una componente del vettore originario, non lo rappresenta tutto, per completare il calcolo devi trovare l'equilibrio anche secondo l'altra componente, quella ortogonale alla precedente, che tu non consideri.
Poi alla fine sommando le due componenti trovate della reazione in A, trovi di nuovo la reazione totale nel verso -y che è sempre -3mg, quindi la tua fatica di scomporre le forze è stata inutile.