Esercizio di statica
Ragazzi, ieri ho fatto l'esame di fisica e mi è capitata questa traccia:
Due sbarre identiche BC e CD, sottili ed omogenee, di massa m=5,0 Kg e lunghezza l=0,7m sono incernierate nell'estremo comune C e con gli estremi B e D poggiano su un piano orizzontale liscio formando in un piano verticale una V rovesciata; una molla, di costante elastica K=140N/m e lunghezza a riposo pari a l, è collegata con un estremo alla cerniera C , di massa trascurabile, e con l'altro punto del piano orizzontale O che si trova lungo la verticale per C. Si suppone che il sistema delle due aste si muova nel piano verticale mantenendo sempre la simmetria rispetto alla verticale passante per O e C, e la configurazione del sistema è individuata tramite l'angolo (m) che CD forma rispetto alla verticale discendente, misurato positivamente in verso anti-orario.
Determinare il valore dell'angolo nella configurazione di equilibrio del sistema.
Io ho svolto, temo sbagliando, in questo modo il problema:
Ho considerato la simmetria del sistema ed ho calcolato il momento lungo D, ottenendo così la seguente seconda equazione cardinale: $ l/(2)mgsen(m)-lFelsen(m)-lScos(m)=0 $, la quale si annulla quando $ Fel=(mg)/2 $, oltre che quando m=0. Il mio errore credo consista nell'aver considerato la reazione vincolare data dalla cerniera come solo orizzontale. Il problema è che, se consideravo anche la forza vincolare verticale, avevo troppe equazioni in due incognite.
Infatti avrei dovuto determinare, per arrivare all'angolo, l'allungamento della molla, l'angolo, la componente orizzontale di S e quella verticale. 4 incognite in 3 equazioni.
Qualcuno ha qualche consiglio da darmi (oltre a quello di cambiare facoltà)?
Due sbarre identiche BC e CD, sottili ed omogenee, di massa m=5,0 Kg e lunghezza l=0,7m sono incernierate nell'estremo comune C e con gli estremi B e D poggiano su un piano orizzontale liscio formando in un piano verticale una V rovesciata; una molla, di costante elastica K=140N/m e lunghezza a riposo pari a l, è collegata con un estremo alla cerniera C , di massa trascurabile, e con l'altro punto del piano orizzontale O che si trova lungo la verticale per C. Si suppone che il sistema delle due aste si muova nel piano verticale mantenendo sempre la simmetria rispetto alla verticale passante per O e C, e la configurazione del sistema è individuata tramite l'angolo (m) che CD forma rispetto alla verticale discendente, misurato positivamente in verso anti-orario.
Determinare il valore dell'angolo nella configurazione di equilibrio del sistema.
Io ho svolto, temo sbagliando, in questo modo il problema:
Ho considerato la simmetria del sistema ed ho calcolato il momento lungo D, ottenendo così la seguente seconda equazione cardinale: $ l/(2)mgsen(m)-lFelsen(m)-lScos(m)=0 $, la quale si annulla quando $ Fel=(mg)/2 $, oltre che quando m=0. Il mio errore credo consista nell'aver considerato la reazione vincolare data dalla cerniera come solo orizzontale. Il problema è che, se consideravo anche la forza vincolare verticale, avevo troppe equazioni in due incognite.
Infatti avrei dovuto determinare, per arrivare all'angolo, l'allungamento della molla, l'angolo, la componente orizzontale di S e quella verticale. 4 incognite in 3 equazioni.
Qualcuno ha qualche consiglio da darmi (oltre a quello di cambiare facoltà)?
Risposte
Forse non ho capito nulla io dalla tua descrizione (nella tua simbologia che significa Fel? e S cos'è?), ma il problema mi pare banale.
L'unica spinta che riceve la cerniera è quella verticale data dalla molla, che serve a sostenere entrambe le aste sull'estremo C. Se ci fosse una reazione orizzontale della cerniera verso una delle due aste, l'asta non potrebbe rimanere ferma perché essendo il piano liscio, chi la contrasterebbe? la somma delle forze orizzontali nulla richiede che la cerniera dia reazione orizzontale nulla.
Dunque la cerniera deve ricevere dalla molla una spinta pari a $F=2(mg)/2$. Per dare questa spinta la molla si deve comprimere di una lunghezza $(mg)/k$, dunque la lunghezza della molla diventa $l(1-(mg)/(kl))$, per cui l'angolo risulta $arcos(1-(mg)/(kl))$, che a conti fatti viene circa 60° (evidentemente i dati del problema non sono stati scelti a caso).
L'unica spinta che riceve la cerniera è quella verticale data dalla molla, che serve a sostenere entrambe le aste sull'estremo C. Se ci fosse una reazione orizzontale della cerniera verso una delle due aste, l'asta non potrebbe rimanere ferma perché essendo il piano liscio, chi la contrasterebbe? la somma delle forze orizzontali nulla richiede che la cerniera dia reazione orizzontale nulla.
Dunque la cerniera deve ricevere dalla molla una spinta pari a $F=2(mg)/2$. Per dare questa spinta la molla si deve comprimere di una lunghezza $(mg)/k$, dunque la lunghezza della molla diventa $l(1-(mg)/(kl))$, per cui l'angolo risulta $arcos(1-(mg)/(kl))$, che a conti fatti viene circa 60° (evidentemente i dati del problema non sono stati scelti a caso).
Falco, ho capito quello che mi hai scritto, però io non capisco perchè non dovrebbe esserci S (che è la reazione vincolare data dalla cerniera)! Fel è la forza elastica. Io ho considerato la reazione vincolare della cerniera (che era presente, dato che in un altro punto chiedeva esplicitamente la componente orizzontale della forza vincolare in un caso dinamico) e, calcolando il momento delle forze in D, ho fatto in maniera tale da dover annullare la componente orizzontale stessa, altrimenti avremmo un movimento lungo l'asse delle x. L'equazione che ti ho scritto serve per trovare una radice dell'equazione del momento, in modo tale da poterlo annullare (l'altra la ottengo quando l'angolo misura 0). Per quanto riguarda l'angolo, sarebbe la prima volta che il professore mette un angolo preciso. Grazie della risposta!
La statica richiede che oltre alla somma dei momenti sia nulla anche la somma delle forze.
E la somma è vettoriale, dunque vale separatamente per componente.
Prendendo le componenti orizzontali la somma di queste deve essere nulla.
Allora isoliamo una delle due aste, per esempio quella di destra.
Su questa il piano non può dare nessuna reazione perché è liscio e quindi senza attrito.
Dunque sulla cerniera nel punto C non ci può essere nessuna forza orizzontale comunicata dall'altra asta, e tantomeno dalla molla visto che questa agisce solo in verticale, perché se ci fosse questa reazione S orizzontale l'asta accelererebbe lateralmente e il sistema non sarebbe statico.
E la somma è vettoriale, dunque vale separatamente per componente.
Prendendo le componenti orizzontali la somma di queste deve essere nulla.
Allora isoliamo una delle due aste, per esempio quella di destra.
Su questa il piano non può dare nessuna reazione perché è liscio e quindi senza attrito.
Dunque sulla cerniera nel punto C non ci può essere nessuna forza orizzontale comunicata dall'altra asta, e tantomeno dalla molla visto che questa agisce solo in verticale, perché se ci fosse questa reazione S orizzontale l'asta accelererebbe lateralmente e il sistema non sarebbe statico.
Ho capito. Io pensavo che ci fosse la reazione del piano e quindi ho sbagliato. Grazie lo stesso, Falco!
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