Esercizio di Meccanica Quantistica: Valore medio di H^2

[Michele881]

Salve, come da titolo, devo risolvere un'esercizio in cui mi viene data la funzione d'onda di una particella vincolata su un segmento (pozzo di potenziale) e mi chiede di trovare il valore medio di $H^2$. Dato che, nel segmento, il potenziale è nullo, per H ho:

$H = -h^2/(2m) (del^2)/(delx^2) $

Il valore medio di H quadro nello stato $\psi$ dato lo trovo come

$<\psi| H^2 | \psi>$

A questo punto la soluzione proposta dal libro differisce da quella pensata da me.

Io ho pensato che, dato che il quadrato di un operatore corrisponde ad applicare due volte l'operatore dato, l'operatore $H^2$ dovrebbe essere

$H^2 = H H = (-h^2/(2m) (del^2)/(delx^2)) (-h^2/(2m) (del^2)/(delx^2)) =(h^4 / (4m^2)) (del^4)/(delx^4)$

e quindi $<\psi| H^2 | \psi> = int \hat\psi(x) H^2 \psi(x) dx= h^4 /(4m^2) int \hat\psi(x) (del^4\psi(x))/(delx^4) dx$

La soluzione proposta dal libro, invece:

$<\psi| H^2 | \psi> = <\psi | H H |\psi> = (<\psi | H) (H |\psi>) = int |H\psi(x)|^2 dx = int |h^2/(2m) (del^2)/(delx^2) \psi(x)|^2 dx$

Che ovviamente porta a una soluzione diversa. Il procedimento del libro l'ho capito, ma non dovrebbe essere corretto anche il mio modo di procedere?

[K.Lomax]

Premetto che la meccanica quantistica non è il mio campo, la mia dunque è una notazione puramente matematica.
Affermare che

$(del^2f(x))/(delx^2)(del^2f(x))/(delx^2)=(del^4f(x))/(delx^4)$

è un errore abbastanza grossolano.

[Michele881]

Io nn lo intendo come prodotto, ma come l'applicazione consecutiva di due operatori alla stessa funzione!
Difatti in questo rigo, preso dal mio post precedente, non considero la funzione derivata, ma l'operatore di derivazione. la funzione non compare proprio.
$H^2 = H H = (-h^2/(2m) (del^2)/(delx^2)) (-h^2/(2m) (del^2)/(delx^2)) =(h^4 / (4m^2)) (del^4)/(delx^4)$
Fare la derivata seconda di una funzione e poi fare la derivata seconda di ciò che si è ottenuto non equivale a fare la derivata quarta della funzione di partenza?

[Eredir]

Se integri per parti due volte la soluzione del libro ottieni la tua. Questo in sostanza perchè $H$ è un operatore autoaggiunto (è un'osservabile).

[Michele881]

Scusa Eredir, non ti seguo, puoi spiegarmi meglio?
Nell'esercizio in particolare, la funzione d'onda è un polinomio di secondo grado, quindi quando vado a farne la derivata quarta si annulla, e l'integrale è ovviamente nullo. Mentre con la soluzione del libro, dato che la derivata seconda della funzione in questione nn si annulla, l'integrale non è nullo.
Come possono essere uguali i risultati?

[K.Lomax]

"Michele88":Fare la derivata seconda di una funzione e poi fare la derivata seconda di ciò che si è ottenuto non equivale a fare la derivata quarta della funzione di partenza?

Sicuramente, ma non mi sembra che l'operazione da fare sia quella ($H^2=HH$). Non è un caso che la soluzione proposta dal tuo libro riporti la derivata seconda al quadrato e non la derivata quarta. Ad ogni modo, ripeto, non è il mio campo quindi magari aspetta che ti risponda qualcuno che ne mastica di più.

[Eredir]

"Michele88":Scusa Eredir, non ti seguo, puoi spiegarmi meglio?
Nell'esercizio in particolare, la funzione d'onda è un polinomio di secondo grado, quindi quando vado a farne la derivata quarta si annulla, e l'integrale è ovviamente nullo. Mentre con la soluzione del libro, dato che la derivata seconda della funzione in questione nn si annulla, l'integrale non è nullo.
Come possono essere uguali i risultati?

Effettivamente su un segmento, avendo a che fare con polinomi, questo non è vero in generale. Scusami, avevo letto un po' troppo in fretta.

Comunque ti spiego cosa intendevo: in generale per le funzioni d'onda si hanno le condizioni al contorno $\psi(-\infty) = \psi(+\infty) = 0$ e $\frac{d \psi(-\infty)}{dx} = \frac{d \psi(+\infty)}{dx} = 0$. In questo modo quando si integra per parti scompaiono i contributi agli estremi di integrazione. Sotto queste ipotesi allora se partiamo dalla soluzione del libro ed integriamo due volte per parti otteniamo:
$int |h^2/(2m) \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2}|^2 dx = \frac{h^4}{4m^2} \int \frac{d^2 \psi^{\**}(x)}{dx^2} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} dx = - \frac{h^4}{4m^2} \int \frac{d \psi^{\**}(x)}{dx} \frac{d^3 \psi(x)}{dx^3} dx = \frac{h^4}{4m^2} \int \psi^{\**}(x) \frac{d^4 \psi(x)}{dx^4} dx$

In questo caso però, avendo a che fare con un polinomio di secondo grado, accade che non è vera la condizione $\frac{d \psi(0)}{dx} = \frac{d \psi(L)}{dx} = 0$ (dove $0$ ed $L$ sono gli estremi del segmento) e quindi quanto sopra non si può applicare. Nota che se il segmento fosse illimitato non potresti considerare un polinomio come funzione d'onda, in quanto non avrebbe norma finita.

Detto questo la questione è decisamente delicata, poichè in questo contesto un polinomio come funzione d'onda è un caso un po' "patologico". Essenzialmente c'è un problema nei domini relativi agli operatori $H$ ed $H^2$, il che rende inequivalenti le espressioni $\int (H\psi(x))^{**} H\psi(x) dx$ e $\int \psi(x)^{**} H^2\psi(x) dx$, ovvero $(<\psi|H)(H|\psi>)$ non è equivalente a $<\psi|H^2|\psi>$.
Non c'è molto altro da dire, in casi come questi dipende tutto dalla scelta che si fa, ed effettivamente il testo del problema non dà alcuna indicazione a riguardo. Comunque come ti ho mostrato sopra in tutti i casi di funzioni d'onda "ragionevoli" non c'è differenza tra calcolare $(<\psi|H)(H|\psi>)$ e $<\psi|H^2|\psi>$.

[Michele881]

Grazie per la risposta! Molto chiara
Cmq se ti può interessare quà trovi il testo completo del problema: http://books.google.it/books?id=1xvcQrg ... q=&f=false