Esercizio di Meccanica quantistica
Buonasera a tutti!
Mi sono bloccato con questo esercizio, chi mi dà una piccola spinta?
Data la funzione d'onda per una particella su un cerchio di raggio unitario:
$ psi=N(sin(2x)+e^(i3x) /2) $
Non so come ricavare gli autostati dell'hamiltoniana. Non dovrei svolgerlo in coordinate polari credo, perché fa parte di un capitolo (problemi unidimensionali) in cui il loro uso non è stato ancora introdotto.
Anche la x nella funzione d'onda credo si riferisca all' "ascissa curvilinea".
Come scrivere l'equazione di Schrodinger monodimensionale?
Mi sono bloccato con questo esercizio, chi mi dà una piccola spinta?
Data la funzione d'onda per una particella su un cerchio di raggio unitario:
$ psi=N(sin(2x)+e^(i3x) /2) $
Non so come ricavare gli autostati dell'hamiltoniana. Non dovrei svolgerlo in coordinate polari credo, perché fa parte di un capitolo (problemi unidimensionali) in cui il loro uso non è stato ancora introdotto.
Anche la x nella funzione d'onda credo si riferisca all' "ascissa curvilinea".
Come scrivere l'equazione di Schrodinger monodimensionale?
Risposte
$ x $ è una coordinata periodica di periodo $2\pi $. (Comunque non è un sistema di coordinate curve perché spazi 1-dimensionali non sono mai curvi. Le curve non sono curve).
È equivalente a lavorare normalmente sull'intervallo $0,2\pi $ imponendo condizioni al contorno periodiche.
L'hamiltoniana si diagonalizza facile, come quella libera sulla retta ma con in aggiunta le condizioni al contorno che ti limitano lo spettro.
In ogni caso guarda che non hai scritto la richiesta del problema.
È equivalente a lavorare normalmente sull'intervallo $0,2\pi $ imponendo condizioni al contorno periodiche.
L'hamiltoniana si diagonalizza facile, come quella libera sulla retta ma con in aggiunta le condizioni al contorno che ti limitano lo spettro.
In ogni caso guarda che non hai scritto la richiesta del problema.
Ciao e grazie per la risposta. Non l'ho scritto perché saprei continuare se conoscessi gli autostati (si tratta di calcolare probabilità, valori medi ecc.), quindi ho ristretto la richiesta al modo di scrivere l'Hamiltoniana e quindi l'equazione di Schrodinger. Purtroppo non ho ancora capito come fare
Ciao Ingenium!
L'equazione di Schroedinger ha sempre la stessa forma (per qualsiasi sistema fisico non relativistico):
\[i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi\]
È la forma dell'hamiltoniana che caratterizza un problema da un altro. Nella fattispecie hai a che fare con una particella libera: non ci sono quindi potenziali che fungono da vincolo e l'energia della particella è puramente cinetica. Questo ti aiuta nello scrivere $H$?
Nota quello che ti ha suggerito hamilton in ultima battuta: il problema sulla circonferenza è equivalente a quello su un segmento $0,2\pi$ con condizioni al contorno $\psi(0) = \psi(2\pi)$.
L'equazione di Schroedinger ha sempre la stessa forma (per qualsiasi sistema fisico non relativistico):
\[i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi\]
È la forma dell'hamiltoniana che caratterizza un problema da un altro. Nella fattispecie hai a che fare con una particella libera: non ci sono quindi potenziali che fungono da vincolo e l'energia della particella è puramente cinetica. Questo ti aiuta nello scrivere $H$?
Nota quello che ti ha suggerito hamilton in ultima battuta: il problema sulla circonferenza è equivalente a quello su un segmento $0,2\pi$ con condizioni al contorno $\psi(0) = \psi(2\pi)$.
Ciao! grazie anche a te per la risposta.
Provo a risolvere direttamente il problema.
Per la particella libera, soluzione dell'equazione di Schrodinger stazionaria è l'autofunzione impropria con spettro puramente continuo:
$ u(x)=A e^(2pii/h px) $
Dalle condizioni al contorno risulta
$ A=e^(2pii/h p2pi) =1 $
Per valori interi relativi di \( p/\hbar \) (E' vero ciò che ho appena detto?).
Le autofunzioni sono allora tutte le $ u_p(x)=e^(2pii/h px) $ per ogni \( p/\hbar \) intero relativo.
Nel nostro caso lo stato è dato dalla combinazione, scrivendo il seno in esponenziali complessi:
$ psi=N/(2i)e^(i2x)-N/(2i)e^(-i2x)+N/(2)e^(i3x)= N/(2i)u_2(x)-N/(2i)u_-2(x)+N/(2)u_3(x) $
Con N da determinarsi dalla condizione di normalizzazione.
Noti i coefficienti, posso conoscere le probabilità di misura dei tre autovalori; questi ultimi sono inoltre i possibili risultati dell'energia e corrispondono a $ W=p^2/(2m) $
Ho fatto bene?
Provo a risolvere direttamente il problema.
Per la particella libera, soluzione dell'equazione di Schrodinger stazionaria è l'autofunzione impropria con spettro puramente continuo:
$ u(x)=A e^(2pii/h px) $
Dalle condizioni al contorno risulta
$ A=e^(2pii/h p2pi) =1 $
Per valori interi relativi di \( p/\hbar \) (E' vero ciò che ho appena detto?).
Le autofunzioni sono allora tutte le $ u_p(x)=e^(2pii/h px) $ per ogni \( p/\hbar \) intero relativo.
Nel nostro caso lo stato è dato dalla combinazione, scrivendo il seno in esponenziali complessi:
$ psi=N/(2i)e^(i2x)-N/(2i)e^(-i2x)+N/(2)e^(i3x)= N/(2i)u_2(x)-N/(2i)u_-2(x)+N/(2)u_3(x) $
Con N da determinarsi dalla condizione di normalizzazione.
Noti i coefficienti, posso conoscere le probabilità di misura dei tre autovalori; questi ultimi sono inoltre i possibili risultati dell'energia e corrispondono a $ W=p^2/(2m) $
Ho fatto bene?
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