Esercizio di meccanica lagrangiana

[albo89my]

Mi scuso per il precedente post "Esercizio di meccanica razionale", e in particolare per aver sollecitato per più di 3 volte l'utenza di questo forum. Purtroppo andavo un po' di fretta, scusate!!
Rinnovo comunque la mia richiesta d'aiuto al problema esposto sul seguente post :

http://www.matematicamente.it/forum/esercizio-di-meccanica-razionale-t58259.html

Impostando le equazioni di eulero-lagrange ottengo:

$ mddot{x} -2xlambda = 0 $
$ mddot{y} + mg -2ylambda = 0 $

e ho sempre il vincolo: $ x^2 + y^2 -R^2 = 0 $

Ora, se ricavo $ lambda $ dalla prima equazione, e vado a sostituirlo nella seconda, ottengo: $ mg = 0 $ , che è assurdo.
Quindi mi chiedo, e vi chiedo, dove sto sbagliando??

edit: ho ricontrollato, e non è assolutamente vero che accade $ mg = 0 $ !! pardon!:-) Però resta ancora un bel grattacapo...!!
Ringrazio anticipatamente per qualsiasi risposta vorrete darmi, e torno di nuovo a scusarmi con il forum tutto e con i moderatori per il topic precedente.

[Eredir]

Ora purtroppo non ho tempo di aiutarti in dettaglio con il problema, però penso possano esserti utili queste note che ho scritto per il caso (più semplice) della particella sul cerchio senza gravità. Si tratta ancora di un problema in cui è presente un vincolo, la cui risoluzione dovrebbe aiutarti a capire come procedere.

[albo89my]

ok, grazie mille per la dritta!!Sto cercando un po' dappertutto informazioni riguardo ai moltiplicatori indeterminati di lagrange, ma non ne trovo, oppure trovo dei casi molto più semplici di ciò che cerco!!Ancora grazie!!:-)

[albo89my]

Un ultima domanda, prima di andare a dormire, a livello concettuale:-) : ma $ lambda = mv^2/{2R^2} $ che ti sei ricavato, non è la reazione vincolare, vero?? Perchè dimensionalmente non è una forza...ho una confusione bella e buona con questi moltiplicatori!!
Comunque, ancora un grazie Eredir.

[Eredir]

"albo89my":Un ultima domanda, prima di andare a dormire, a livello concettuale:-) : ma $ lambda = mv^2/{2R^2} $ che ti sei ricavato, non è la reazione vincolare, vero?? Perchè dimensionalmente non è una forza...ho una confusione bella e buona con questi moltiplicatori!!
Comunque, ancora un grazie Eredir.

In questo caso [tex]\lambda[/tex] coincide con la forza centripeta diviso [tex]R[/tex], quindi è lo stesso problema di una particella legata ad una corda di lunghezza [tex]R[/tex] che fornisce quella reazione vincolare.
In generale i moltiplicatori vengono legati alla reazioni vincolari, ma non necessariamente in maniera banale (almeno credo).
Di sicuro possono avere qualsiasi dimensione fisica, dal momento che vengono introdotti per gestire un vincolo rappresentato da un'equazione [tex]f(x,\dot{x}) = 0[/tex] come [tex]\lambda f[/tex] nella Lagrangiana, quindi la dimensione fisica del moltiplicatore dipende da quella del vincolo [tex]f[/tex].

[albo89my]

Ti ringrazio molto per le delucidazioni!Credevo che la reazione vincolare dovesse essere una forza, in quanto per il postulato delle reazioni vincolari, l'azione esplicata da un vincolo (ovvero la reazione vincolare) è rappresentabile con una forza. In giornata se mi riesce, posto il pdf con la risoluzione del problema del goldstein che dicevo, e ti sarei molto grato se gli dessi un'occhiata e se scrivessi le eventuali correzioni (tale invito è rivolto a te, ma anche a chiunque sia così bendisposto da volermi dare una mano!).
Di nuovo grazie.

[albo89my]

Il .pdf purtroppo non riesco a farlo, non ho mai usato latex, mi spiace, quindi spiego il procedimento usato qui nel post.
Premetto che considero il cerchio del problema centrato nell'origine, e l'asse x è quello orizzontale, e l'asse y quello verticale (alla solita maniera, per intenderci!). La massa è vincolata a muoversi (per un certo tratto, fino a che non raggiunge una determinata altezza, che bisogna poi trovare!) lungo la circonferenza, esternamente al cerchio.
Il vincolo in questione è: $ G=x^2 + y^2 -r^2 $ , da cui la lagrangiana del sistema considerato può essere scritta come: $ L=1/2*m*(dotx^2 + doty^2) - mgy + lambda*G $
Ottengo poi le equazioni di lagrange:

$ mddotx -2lambdax = 0 $
$ mddoty -2lambday + mg = 0 $

Risolvendo la prima si ottiene: $ x = c_{1}*e^{kt} + c_{2}* e^{-kt} $ . Per risolvere la seconda risolvo prima l'omogenea associata, e poi trovo una soluzione particolare con la variazione delle costanti a arbitrarie, e quindi ottengo alla fine come soluzione generale: $ y = c_{3}*e^{kt} + c_{4}* e^{-kt} + g/k^2 $ , dove $ k^2=2*lambda/m $ .
Ora, imponendo le condizioni $ x(0) = 0 , dotx(0) = u , y(0)=r , doty(0)=0 $ ottengo i valori delle costanti $ c_{1}= -c_{2}= k/{2u} $ e $ c_{3}= c_{4}=1/2(r - g/k^2) $ .
Derivando il vincolo e tentando di risolvere l' equazione rispetto a k, viene fuori (con l'aiuto di maple) un risultato assurdo, dipendente addirittura dal tempo.
Credo che la soluzione "trovata" non possa andare assolutamente bene, considerando anche che è un esercizio del secondo capitolo del goldstein!
Torno a chiedermi: che errori faccio??
Ringrazio anticipatamente per qualsiasi risposta vorrete darmi.

[Eredir]

Ricavarlo in questo modo è decisamente complicato, è vero.
Comunque ho trovato un pdf dove c'è la soluzione dell'esercizio.

[albo89my]

Sei un grande!!:-) come sei riuscito a trovarlo?? io purtroppo li ho trovati le soluzioni solo dei capitoli dispari...!!Se ne hai altri di questi, non è che me li posteresti??
Grazie mille, di tutto!!