Esercizio di introduzione alla meccanica quantistica
Salve a tutti.
Torno con un esercizio di introduzione alla meccanica quantistica. Scusatemi se non metto neanche una prova di svolgimento... ma sono state tutte fallimentari, molto fallimentari.
Si consideri una particella in moto unidimensionale in uno stato con funzione d'onda
\[ \psi(q)=Ce^{-\lambda(q-q_0)^2}, \]
con $C$ costante.
Calcolare il valore medio della posizione $Q$ e dell'operatore $Q^2$ in questo stato e calcolare poi la probabilità che una misura sia nell'intervallo $[-1,+1]$. Qui, davvero, non so che cosa fare...
Invece c'è un problema simile, ma in tre variabili, ove la funzione d'onda è data da
\[ \psi(x,y,z)=\begin{cases}
C\sin\pi x\sin\pi y\sin\pi z \qquad (x,y,z)\in [0,1]\times[0,1]\times [0,1] \\
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad\:\: \text{altrimenti}.
\end{cases} \]
Qui c'è da calcolare la costante $C$. Mi pare logico pensare che bisogna usare la condizione di normalizzazione per cui l'integrale deve fare 1, giusto?
\[
C\iiint_{[0,1]\times[0,1]\times [0,1]}\sin\pi x\sin\pi y\sin\pi z\, dx\, dy\, dz.
\]
Il problema è che questo integrale fa zero... quindi probabilmente non ho capito un acca di questo tipo di problemi.
Torno con un esercizio di introduzione alla meccanica quantistica. Scusatemi se non metto neanche una prova di svolgimento... ma sono state tutte fallimentari, molto fallimentari.
Si consideri una particella in moto unidimensionale in uno stato con funzione d'onda
\[ \psi(q)=Ce^{-\lambda(q-q_0)^2}, \]
con $C$ costante.
Calcolare il valore medio della posizione $Q$ e dell'operatore $Q^2$ in questo stato e calcolare poi la probabilità che una misura sia nell'intervallo $[-1,+1]$. Qui, davvero, non so che cosa fare...
Invece c'è un problema simile, ma in tre variabili, ove la funzione d'onda è data da
\[ \psi(x,y,z)=\begin{cases}
C\sin\pi x\sin\pi y\sin\pi z \qquad (x,y,z)\in [0,1]\times[0,1]\times [0,1] \\
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad\:\: \text{altrimenti}.
\end{cases} \]
Qui c'è da calcolare la costante $C$. Mi pare logico pensare che bisogna usare la condizione di normalizzazione per cui l'integrale deve fare 1, giusto?
\[
C\iiint_{[0,1]\times[0,1]\times [0,1]}\sin\pi x\sin\pi y\sin\pi z\, dx\, dy\, dz.
\]
Il problema è che questo integrale fa zero... quindi probabilmente non ho capito un acca di questo tipo di problemi.
Risposte
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Oddio. Mi sento quasi in imbarazzo 
Non so perché ma ho integrato il coseno al posto del seno... per quanto riguarda la condizione di normalizzazione... lì davvero sono in imbarazzo: tra il libro che utilizzo e la mia scarsa volontà ad applicarmi in questa materia sto incontrando difficoltà varie anche confondendomi su cose che in realtà so fare perfettamente, ma vengo spaventato nell'ambito della nuova materia.
\[ \int_0^1 \sin^2(\pi x)\,dx=\frac{1}{2}, \]
quindi l'integrale di prima viene $1/8$ e dunque $C=8$... penso.
Non so perché ma ho integrato il coseno al posto del seno... per quanto riguarda la condizione di normalizzazione... lì davvero sono in imbarazzo: tra il libro che utilizzo e la mia scarsa volontà ad applicarmi in questa materia sto incontrando difficoltà varie anche confondendomi su cose che in realtà so fare perfettamente, ma vengo spaventato nell'ambito della nuova materia.
\[ \int_0^1 \sin^2(\pi x)\,dx=\frac{1}{2}, \]
quindi l'integrale di prima viene $1/8$ e dunque $C=8$... penso.
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Ammesso non abbia sbagliato, dovrebbe essere $ sqrt8 $ perché hai $ | C|^2/8 =1 $ . Per quanto riguarda poi i precedenti punti del primo esercizio:
1) Calcolare il valore atteso di $hatQ$ vuol dire calcolare $ $
2) stessa cosa ma per $(hatQ)^2$
3) la $ | psi| ^2 $ è una PDF(opportunamente normalizzata a uno); devi calcolare $ int_(-1)^(1) | psi(q)| ^2 dq $
Bonus: il senso della normalizzazione è che $ int_(-oo )^(+oo) | psi(q)| ^2 dq =1 $ , ove ho assunto che $ q in (-oo,+oo) $ .
1) Calcolare il valore atteso di $hatQ$ vuol dire calcolare $
2) stessa cosa ma per $(hatQ)^2$
3) la $ | psi| ^2 $ è una PDF(opportunamente normalizzata a uno); devi calcolare $ int_(-1)^(1) | psi(q)| ^2 dq $
Bonus: il senso della normalizzazione è che $ int_(-oo )^(+oo) | psi(q)| ^2 dq =1 $ , ove ho assunto che $ q in (-oo,+oo) $ .
Sì errore mio che ho fatto il conto a mente per rispondere in fretta.
Ecco, il mio problema è proprio quell'operatore $Q$ e relativo $<\psi|Q|\psi>$: nella pratica magari riesco a calcolarlo, ma nella teoria non so qual è il metodo da "definizione". Faccio due esempi così che possiate, se volete, aiutarmi a comprendere.
1. Caso discreto
Considero la grandezza descritta dall'operatore
\[\Omega=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\]
nello stato
\[ |\psi>=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\0 \end{pmatrix}. \]
Gli autovalori sono $0,1,2$. Gli autoket normalizzati sono
\begin{align*}
|0>&=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, & |1>&=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, & |2>&=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}.
\end{align*}
Lo stato $|\psi>$ viene scritto come combinazione lineare normalizzata
\[ |\psi>=-\frac{1}{\sqrt{3}}|1>+\sqrt{\frac{2}{3}}|2>. \]
Risulta chiaro che la probabilità dell'autovalore $1$ è $1/3$ e di $2$ è $2/3$ come risulta da
\[ P(1)=|<1|\psi>|^2, \]
per cui il valore medio sarà
\[ \frac{1}{3}+2\frac{2}{3}=\frac{5}{3}. \]
Se però provo a fare il calcolo diretto
\[ <\psi|Q|\psi>=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\0 \end{pmatrix}=3. \]
Ora non so se è un problema legato alla norma della matrice (che sto sparando a caso ora e che non conosco) o a non so che...
2. Caso continuo
Sia la funzione d'onda per il moto unidimensionale di una particella
\[ \psi(q)=\sqrt{\frac{2}{1-e^{-2}}}e^{-q}, \qquad q\in [0,1]. \]
Voglio trovare il valor medio medio di $Q$. Ecco, se nel caso discreto $Q$ è una bellissima matrice, nel caso continuo non so nemmeno come scrivere l'operatore $Q$.
L'unica cosa che mi viene in mente è calcolare la probabilità che la misura di $Q$ sia nell'intervallo $[q,q+dq]$. Quindi il valore medio è il prodotto della misura, cioè $q$, per la sua probabilità integrato sul dominio. Nel caso specifico
\[ \int_0^1 q\psi(q)\, dq=\sqrt{\frac{2}{1-e^{-2}}}\Biggl(1-\frac{2}{e}\Biggr)\simeq 0.402, \]
utilizzando quindi la definizione classica di valor medio.
In sintesi il problema è che non so come calcolare "da definizione" $<\psi|Q|\psi>$ sia nel caso discreto sia in quello continuo, senza contare che non so nemmeno dare una interpretazione "pratica" di $Q$ nel caso continuo.
Se c'è qualche errore fatemelo notare, purtroppo sono un po' stanco quindi potei aver fatto qualche strafalcione.
Grazie a tutti per l'aiuto che mi vorrete concedere.
1. Caso discreto
Considero la grandezza descritta dall'operatore
\[\Omega=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\]
nello stato
\[ |\psi>=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\0 \end{pmatrix}. \]
Gli autovalori sono $0,1,2$. Gli autoket normalizzati sono
\begin{align*}
|0>&=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, & |1>&=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, & |2>&=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}.
\end{align*}
Lo stato $|\psi>$ viene scritto come combinazione lineare normalizzata
\[ |\psi>=-\frac{1}{\sqrt{3}}|1>+\sqrt{\frac{2}{3}}|2>. \]
Risulta chiaro che la probabilità dell'autovalore $1$ è $1/3$ e di $2$ è $2/3$ come risulta da
\[ P(1)=|<1|\psi>|^2, \]
per cui il valore medio sarà
\[ \frac{1}{3}+2\frac{2}{3}=\frac{5}{3}. \]
Se però provo a fare il calcolo diretto
\[ <\psi|Q|\psi>=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\0 \end{pmatrix}=3. \]
Ora non so se è un problema legato alla norma della matrice (che sto sparando a caso ora e che non conosco) o a non so che...
2. Caso continuo
Sia la funzione d'onda per il moto unidimensionale di una particella
\[ \psi(q)=\sqrt{\frac{2}{1-e^{-2}}}e^{-q}, \qquad q\in [0,1]. \]
Voglio trovare il valor medio medio di $Q$. Ecco, se nel caso discreto $Q$ è una bellissima matrice, nel caso continuo non so nemmeno come scrivere l'operatore $Q$.
L'unica cosa che mi viene in mente è calcolare la probabilità che la misura di $Q$ sia nell'intervallo $[q,q+dq]$. Quindi il valore medio è il prodotto della misura, cioè $q$, per la sua probabilità integrato sul dominio. Nel caso specifico
\[ \int_0^1 q\psi(q)\, dq=\sqrt{\frac{2}{1-e^{-2}}}\Biggl(1-\frac{2}{e}\Biggr)\simeq 0.402, \]
utilizzando quindi la definizione classica di valor medio.
In sintesi il problema è che non so come calcolare "da definizione" $<\psi|Q|\psi>$ sia nel caso discreto sia in quello continuo, senza contare che non so nemmeno dare una interpretazione "pratica" di $Q$ nel caso continuo.
Se c'è qualche errore fatemelo notare, purtroppo sono un po' stanco quindi potei aver fatto qualche strafalcione.
Grazie a tutti per l'aiuto che mi vorrete concedere.
"LucaDeVita":
Considero la grandezza descritta dall'operatore ...
Che cosa intendi per grandezza? Probabilmente una variabile dinamica. Se questo è il caso, la matrice rappresentativa dovrebbe essere hermitiana.
Innanzitutto, come veniva anche precedentemente detto da Noodles, la matrice rappresentativa di un operatore legato a una grandezza osservabile fisica deve essere hermitiana(perché?).
Poi,
1) Per quanto riguarda il caso discreto,non ti trovi perché la matrice non è hermitiana. Inoltre, consiglio di usare sempre il secondo metodo, che poi è quello che solitamente si usa(almeno questo mi pare di vedere anche nei libri più consigliati).
2) nel caso continuo, la faccenda di come descrivere l'operatore si fa matematicamente abbastanza complicata, ma non è necessaria ai fini della risoluzione degli esercizi. Per gli esercizi come quello da te menzionato, ti basta applicare lo stesso "concetto" del numero 1), ma attenzione: l'operatore posizione $hatq$ (scritto nello spazio delle configurazioni) ha spettro continuo, quindi dovrai integrare su tale spettro e dunque $ = int_(0)^(1) | psi(q)|^2q dq $ .
Ci sarebbe moltissimo in più da dire su quanto appena accennato, ma sia per mancanza di tempo mia che per una tua migliore comprensione, ti consiglio di usare il Griffiths per capire meglio come operare praticamente su questi concetti e intuire il loro senso matematico, e di dare uno sguardo a dispense di Metodi Matematici per una visione più rigorosa su operatori, spazi di Hilbert, etc.
Poi,
1) Per quanto riguarda il caso discreto,non ti trovi perché la matrice non è hermitiana. Inoltre, consiglio di usare sempre il secondo metodo, che poi è quello che solitamente si usa(almeno questo mi pare di vedere anche nei libri più consigliati).
2) nel caso continuo, la faccenda di come descrivere l'operatore si fa matematicamente abbastanza complicata, ma non è necessaria ai fini della risoluzione degli esercizi. Per gli esercizi come quello da te menzionato, ti basta applicare lo stesso "concetto" del numero 1), ma attenzione: l'operatore posizione $hatq$ (scritto nello spazio delle configurazioni) ha spettro continuo, quindi dovrai integrare su tale spettro e dunque $
Ci sarebbe moltissimo in più da dire su quanto appena accennato, ma sia per mancanza di tempo mia che per una tua migliore comprensione, ti consiglio di usare il Griffiths per capire meglio come operare praticamente su questi concetti e intuire il loro senso matematico, e di dare uno sguardo a dispense di Metodi Matematici per una visione più rigorosa su operatori, spazi di Hilbert, etc.
Avete ragione sulla matrice. L'esempio non l'ho inventato io ma trovato online, anche se chiaramente non essendo la matrice hermitiana non descrive una grandezza. Scusate.
"m2d":
... nella prima strategia hai dimenticato di moltiplicare gli autovettori per il modulo quadro degli autovalori corrispondenti ...
Visto che:
$bar\Omega=|c_1|^2\lambda_1+|c_2|^2\lambda_2+|c_3|^2\lambda_3$
non si comprende il motivo per cui avrebbe dovuto farlo. Le due strategie differiscono perché la matrice non è hermitiana.
Sì, hai ragione, sono andato di fretta e non mi sono accorto che il procedimento non avrebbe mai funzionato perché non hermitiana
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