Esercizio di fisica matematica chi mi può aiutare?ho l'esame a breve

[Simyss]

Un corpo rigido si muove di moto elicoidale con velocità ω=(0,1,2) e v0=(0,0,1),il sistema solidale S=Σ sistema fisso;determinare l'orientamento del sistema solidale dopo un tempo t=2
Grazie a tutti

[donald_zeka]

Dalle formule di Poisson risulta:

$(de_i)/(dt)=omega xx e_i$

Integrando ottieni i versori solidali $e_i$ al tempo $t$, sapendo che al tempo $t=0$ coincidono con i versori fissi della terna fissa.

[Simyss]

"Vulplasir":Dalle formule di Poisson risulta:

$(de_i)/(dt)=omega xx e_i$

Integrando ottieni i versori solidali $e_i$ al tempo $t$, sapendo che al tempo $t=0$ coincidono con i versori fissi della terna fissa.

Grazie mille davvero ho ancora un po' di confusione mi potresti fare l'esempio numerico con i dati del problema?grazie

[donald_zeka]

Forse c'è qualche tecnica migliore che ora mi sfugge...ma il metodo di cui ho parlato io richiede risolvere un sistema di equazioni differenziali, ma penso si possa fare:

Siano (x,y,z) le componenti generiche di uno dei versori mobili rispetto a quelli fissi, il prodotto vettoriale tra $omega=(0,1,2)$ e $(x,y,z)$ risulta : $(z-2y, 2x, x)$, quindi:

$x'=z-2y$
$y'=2x$
$z'=x$

Quindi dalla seconda si ha:

$y'''=2x''$

Inoltre dalla prima risulta:

$x''=z'-2y'$ e inoltre dalla terza $2z'=2x=y'$, quindi sostituendo tutto nella seconda otteniamo:

$y'''=y'-4y'=-3y'$

Quindi bisogna risolvere l'equazione differenziale del terzo ordine ordinaria omogenea a coefficienti costanti:

$y'''+3y'=0$

La soluzione di questa è semplice, e porta a una y che dipende da 3 costanti:

$y=c_1A(t)+c_2B(t)+c_3C(t)$

Per trovare queste 3 costanti incognite bisogna imporre le condizioni iniziali al sistema. Supponiamo che (x,y,z) siano le coordinate del versore solidale $e_1$ che all'inizio del moto era coincidente con il versore $i$ del sistema fisso, all'ora nell'istante iniziale le coordinate di questo versore solidale erano $(1,0,0)$, quindi bisogna imporre:

$y(0)=0$
$x(0)=1$
$z(0)=0$

La prima condizione $y(0)=0$ si impone facilmente, mentre nelle altre bisogna vedere dal sistema di equazioni differenziali che si è risolto, infatti quell'unica equazione differenziali che si è risolto in y, coinvolge anche le altre due.

Dalla seconda equazione del sistema $y'=2x$ si ha che $x(0)=1$ implica $y'(0)=2$, mentre dalla prima equazione si ottiene $y''(0)=2z(0)-4y(0)=0$.

Queste condizioni iniziali ti fanno trovare $y$, una volta trovata y, dalla seconda trovi x, e dalla prima trovi z.

Poi ripeti il procedimento per gli altri due versori solidali.

Il sistema di equazioni differenziali si potrebbe risolvere più facilmente con i metodi di risoluzione per i sistemi di equazioni differenziali, infatti la velocità angolare è un tensore del secondo ordine antisimmetrico $W$ (ossia una matrice antisimmetrica), quindi bisogna risolvere il sistema autonomo: $dote_i=We_i$ con gli opportuni metodi.