Esercizio di Fisica II, circuitazione del campo magnetico

[siddy98]

Una piastra di estensione infinita presenta una distribuzione di carica uniforme di densità $\sigma=1\mu \frac{C}{cm^2}$. Ad una distanza arbitraria viene posta un sistema di fili conduttori costituito da una staffa ad U su cui può scorrere senza attrito un conduttore lineare posto a contatto con la staffa che scorre lateralmente ad essa con velocità $v = 20 m/s$. Si calcoli l’integrale di circuitazione del campo magnetico $\int_L \vecB\cdot d\vec l$ in cui $L$ rappresenta il perimetro della spira rettangolare (a superficie variabile nel tempo) costituita dalla staffa e dal filo lineare. Si supponga che la superficie racchiusa dalla suddetta spira sia parallela alla piastra carica e che la staffa sia caratterizzata da un braccio immobile di estensione $d= 10 \cm$.

C'è una cosa che non riesco a capire di questo esercizio: chi genera il campo magnetico $\vec B$? Non può essere il piano carico, perché quest'ultimo genera solo un campo elettrostatico $\vec E$ il quale, proprio perché statico, in virtù delle equazioni di Maxwell è accoppiato a un campo magnetico ovunque nullo!

L'unica alternativa che mi sembra plausibile è questa: il campo elettrostatico prodotto dal piano mette in moto le cariche libere presenti nel circuito, e tali cariche libere producono sia un ulteriore campo elettrico non stazionario $\vec E_2$, che si somma a quello statico del piano, che il campo magnetico $\vec B$. Solo che, a questo punto, non ho proprio idea di come poter trovare la circuitazione...

Ora, non mi interessa tanto sapere la soluzione del problema, piuttosto vorrei sapere se c'è qualcosa di concettuale che sbaglio.

Grazie infinite come sempre

[mgrau]

La quarta equazione di Maxwell lega la circuitazione di B alla variazione del flusso di E, per cui nel tuo caso dovrebbe proprio essere diversa da zero. Devo dire che, anche per me, la cosa è piuttosto contro intuitiva...

[siddy98]

"mgrau":La quarta equazione di Maxwell lega la circuitazione di B alla variazione del flusso di E, per cui nel tuo caso dovrebbe proprio essere diversa da zero. Devo dire che, anche per me, la cosa è piuttosto contro intuitiva...

Suppongo che ti riferisca all'ipotesi che sia il piano carico a generare il campo magnetico?

In ogni caso, vorrei fare una piccola osservazione relativa alla tua risposta (fermo restando che potrei assolutamente sbagliarmi).
La quarta equazione di Maxwell in forma integrale contiene il termine $$\frac{d}{dt}\int_\Sigma \vec E(\vec r,t)\cdot dS$$

ma la superficie $\Sigma$ si assume costante nel tempo (se così non fosse, la forma integrale della quarta equazione non sarebbe equivalente a quella differenziale). Quindi temo che in questo caso non sia applicabile.

[mgrau]

"siddy98":
Suppongo che ti riferisca all'ipotesi che sia il piano carico a generare il campo magnetico?

Non mi riferisco ad una ipotesi particolare, volevo solo dire che non riesco ad immaginare una sorgente per il campo magnetico

"siddy98":
La quarta equazione di Maxwell in forma integrale contiene il termine $$\frac{d}{dt}\int_\Sigma \vec E(\vec r,t)\cdot dS$$

ma la superficie $\Sigma$ si assume costante nel tempo (se così non fosse, la forma integrale della quarta equazione non sarebbe equivalente a quella differenziale).

Non sono un esperto, però noto che la terza equazione contiene un termine del tutto simile $\frac{d}{dt}\int_\Sigma \vec B(\vec r,t)\cdot dS$, che però funziona benissimo anche se $B$ è costante e quel che cambia è la superficie...

[siddy98]

In effetti hai ragione. Ma a questo punto si potrebbe dire che anche una carica puntiforme immobile produce un campo magnetico non nullo, il che non mi sembra probabile...

[mgrau]

Si può pensare di mettersi nel sistema di riferimento del ponticello scorrevole, rispetto al quale il piano carico appare come una corrente, che produce un campo B che se non sbaglio è parallelo al ponticello, da cui la circuitazione non nulla...

[siddy98]

Ho avuto modo di guardare la soluzione del mio professore di Fisica II e, come immaginavo, i dubbi rimangono esattamente gli stessi (la frustazione che mi causa questa materia è impareggiabile!).

Parte anch'egli dalla quarta equazione di Maxwell in forma integrale, ponendo $\bb J=0$ e assumento che ci possa essere dipendenza dal tempo anche nei dominii di integrazione:

$$\int_{L(t)} \vec B\cdot d\vec l=\mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt}\int_{\Sigma (t)} \vec E(\vec r,t)\cdot dS$$

Poiché il campo elettrico generato dal piano è perpendicolare alla superficie e ha modulo $E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$, il flusso è pari $Ed(vt+s_0)$ e la derivata è $Edv$.

Da questa soluzione deduco che che ha assunto come sorgente proprio il piano, tra l'altro ponendo nulla la densità di corrente a maggior ragione non dovrebbe esserci campo magnetico!

Pensavo di scrivergli e chiedergli delucidazioni ma non so quanto sperare in una risposta. Qualcuno qui ha idee?

[siddy98]

Negli ultimi giorni sono tornato a più riprese su questo problema e sono ancora più convinto che l'equazione di Maxwell, scritta in quella forma, non sia valida se c'è una dipendenza dal tempo nei dominii di integrazione!

Difatti, rifacendosi alla forma differenziale $$\nabla \times {\bf B}=\mu_0{\bf J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial {\bf E}}{\partial t}$$

integrando e applicando Stokes, si ottiene \[ \int_{L(t)} {\bf B}\cdot d{\bf l}=\mu_0\int_{\Sigma(t)}{\bf J}\cdot d{\bf S}+ \mu_0 \epsilon_0 \int_{\Sigma (t)}\frac{\partial {\bf E}}{\partial t} \cdot d\bf S \]

Assumendo $\mu_0\int_{\Sigma(t)} J\cdot dS=0$ e che il campo $ E$ sia *solo* quello generato dal piano, si ottiene come risultato $0$, in contrasto con quello di sopra ottenuto dal mio professore!

Prego sempre che ci sia qualcuno che sappia come uscirne e che non mi bannino per aver riportato alla luce questo post