Esercizio di Fisica 1 (sulla meccanica dei corpi rigidi)
Ciao,
essendo questo il mio primo messaggio ne approfitto per farvi i complimenti per il vostro ottimo forum.
C'è questo esercizio che credo di aver sbagliato, ma non capisco perché: riporto di seguito il testo e il mio tentativo di svolgimento e soluzione.
I primi due punti mi sembrano più banali e quindi li tralascio: osservo solo (siccome servirà nel seguito) che il valore di $ m2 $ è $ 1/2m1 $ (e quindi, ai punti 3) e 4) il suo valore diventa $ 3/4m1 $).
Per svolgere il terzo punto ho imposto la conservazione dell'energia meccanica, cioè:
$ U=-m2g(thetar1)+ m1g(1/2thetar1) $ (energia potenziale gravitazionale relativa rispettivamente alla massa che sta cadendo e alla carrucola mobile), e
$ K = 1/2Idot(theta)^2 + 1/2m1((dot(theta)r1)/(2))^2 + 1/2Idot(theta)^2 + 1/2m2v2^2 $ (energia cinetica totale rispettivamente della carrucola mobile, della carrucola fissa e della massa che sta cadendo),
con $ v2 $ essendo la velocità di caduta della massa, che può essere facilmente espressa in funzione di $ theta $ per via del vincolo cinematico di rotolamento puro.
Con la convenzione che l'energia potenziale totale del sistema sia 0 all'equilibrio statico, si ha che la quantità $ E = U + K $ deve rimanere uguale a 0. In questo modo, sostituendo opportunamente lo spostamento ( $ theta = L/(r1) $ ) ho ricavato $ dot(theta) $ , unica incognita e di qui il risultato.
Per quanto riguarda il quarto punto ho semplicemente riscritto l'equazione di sopra ricavando $ dot(theta)^2 $, quindi derivando ambo i membri ho ottenuto una relazione tramite la quale (semplificando $ dot(theta) $) ho scritto $ ddot(theta) $, che quindi ho scoperto essere costante (andandosene via anche la relazione da $ theta $).
Al di là dei risultati concreti, lo svolgimento vi sembra corretto? Se, come credo, ho sbagliato qualcosa, dove ho sbagliato?
essendo questo il mio primo messaggio ne approfitto per farvi i complimenti per il vostro ottimo forum.
C'è questo esercizio che credo di aver sbagliato, ma non capisco perché: riporto di seguito il testo e il mio tentativo di svolgimento e soluzione.
I primi due punti mi sembrano più banali e quindi li tralascio: osservo solo (siccome servirà nel seguito) che il valore di $ m2 $ è $ 1/2m1 $ (e quindi, ai punti 3) e 4) il suo valore diventa $ 3/4m1 $).
Per svolgere il terzo punto ho imposto la conservazione dell'energia meccanica, cioè:
$ U=-m2g(thetar1)+ m1g(1/2thetar1) $ (energia potenziale gravitazionale relativa rispettivamente alla massa che sta cadendo e alla carrucola mobile), e
$ K = 1/2Idot(theta)^2 + 1/2m1((dot(theta)r1)/(2))^2 + 1/2Idot(theta)^2 + 1/2m2v2^2 $ (energia cinetica totale rispettivamente della carrucola mobile, della carrucola fissa e della massa che sta cadendo),
con $ v2 $ essendo la velocità di caduta della massa, che può essere facilmente espressa in funzione di $ theta $ per via del vincolo cinematico di rotolamento puro.
Con la convenzione che l'energia potenziale totale del sistema sia 0 all'equilibrio statico, si ha che la quantità $ E = U + K $ deve rimanere uguale a 0. In questo modo, sostituendo opportunamente lo spostamento ( $ theta = L/(r1) $ ) ho ricavato $ dot(theta) $ , unica incognita e di qui il risultato.
Per quanto riguarda il quarto punto ho semplicemente riscritto l'equazione di sopra ricavando $ dot(theta)^2 $, quindi derivando ambo i membri ho ottenuto una relazione tramite la quale (semplificando $ dot(theta) $) ho scritto $ ddot(theta) $, che quindi ho scoperto essere costante (andandosene via anche la relazione da $ theta $).
Al di là dei risultati concreti, lo svolgimento vi sembra corretto? Se, come credo, ho sbagliato qualcosa, dove ho sbagliato?
Risposte
Mi sembra che non tieni in considerazione il fatto che la velocità angolare della carrucola mobile sia la metà di quella della carrucola fissa
"professorkappa":
Mi sembra che non tieni in considerazione il fatto che la velocità angolare della carrucola mobile sia la metà di quella della carrucola fissa
Grazie per la risposta!
Davvero accade la cosa che dici? Non riesco a immaginarmela... Ma d'altronde ora che ci penso mi sembra ragionevole che le due velocità angolari non possano essere uguali.
A parte questo, ti pare che ci siano altri errori concettuali o il mio ragionamento, almeno per quanto riguarda il procedimento che ho utilizzato, può filare...?
Le velocità angolari sono uguali, credo professorkappa intendesse dire che la velocità di traslazione della carrucola mobile sia la metà (e opposta ovviamente) di quella della massa $m_2$.
"Faussone":
Le velocità angolari sono uguali, credo professorkappa intendesse dire che la velocità di traslazione della carrucola mobile sia la metà (e opposta ovviamente) di quella della massa $m_2$.
Ah okay, ma quello mi sembra di averlo considerato: infatti sia nel secondo termine della $U$ sia nel secondo termine della $K$, che si riferiscono rispettivamente all'energia potenziale del centro di massa della carrucola e alla sua energia cinetica, compare un diviso 2
Anche le velocità angolari sono una la metà dell altra. O sbaglio?
"professorkappa":
Anche le velocità angolari sono una la metà dell altra. O sbaglio?
Non capisco come possano essere diverse se il filo aderisce senza strisciare alle due carrucole (quindi velocità periferiche circonferenziali uguali) e se le due carrucole hanno stesso raggio.
La carrucola mobile ha velocità angolare $dotphi$. Quella fissa $dottheta$.
Il punto diametrale dx della carrucola mobile ha velocità $2Rdotphi$ che deve essere uguale al punto diametrale sx della carrucola fissa che vale $Rdottheta$.
Da cui la $dotphi=dottheta/2$.
Il centre della carrucola mobile si move di velocita $Rdotphi=Rdottheta/2$, CIO della meta della velocita della massa che è $Rdottheta$
Il punto diametrale dx della carrucola mobile ha velocità $2Rdotphi$ che deve essere uguale al punto diametrale sx della carrucola fissa che vale $Rdottheta$.
Da cui la $dotphi=dottheta/2$.
Il centre della carrucola mobile si move di velocita $Rdotphi=Rdottheta/2$, CIO della meta della velocita della massa che è $Rdottheta$
"professorkappa":
[...]
Da cui la $dotphi=dottheta/2$.
Il centre della carrucola mobile si move di velocita $Rdotphi=Rdottheta/2$, CIO della meta della velocita della massa che è $Rdottheta$
Ineccepibile. Quanto ho scritto nel mio messaggio precedente non teneva conto che la carrucola mobile ...si muove.
Non male come topica, il caldo mi annebbia il cervello.Grazie pk per il chiarimento, mi scuso per essere intervenuto inutilmente, anzi in maniera dannosa.
Direi quindi a GuidoPiovene di rivedere il tutto in base a queste osservazioni.
Di disattenzioni ne capitano a tutti noi.
Infatti nel primo messaggio ho scritto "o sbaglio?" Perche sono il primo a tirare sfondoni!
Infatti nel primo messaggio ho scritto "o sbaglio?" Perche sono il primo a tirare sfondoni!
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