Esercizio di elettrostatica, cariche di segni opposti su un cerchio?
"Nelle due metà di un cerchio con raggio di $R=6 cm$ vi sono uniformemente distribuite le cariche elettriche $q$ e $-q$ rispettivamente. Con $q = 1nC$ determinare il vettore momento di dipolo elettrico della configurazione. Con il sistema posto nel vuoto calcolare il potenziale elettrico nel punto della circonferenza comune alle cariche prodotto da quelle di un solo segno."
Utilizzo coordinate polari centrate al centro del cerchio, in $O$. Sia $phi$ l'angolo azimutale e $rho$ la distanza da $O$.
Considerando coppie di cariche di segno opposto disposte simmetricamente rispetto al diametro che separa le due distribuzioni superficiali di carica, si ottiene un momento di dipolo infinitesimo di intensità $ dp = dq * 2rhosinphi$ diretto dalla carica negativa a quella positiva. Integrando per $phi$ che va da $0$ a $pi$ e per $rho$ che va da $0$ a $R$ si ottiene
$ vec(p) = q*[int_(0)^(pi)dphi int_(0)^(R)2sinphirho drho ]hat(u)_p = q*2R^2 hat(u)_p $
Per il potenziale considererei quello prodotto dal semicerchio di cariche positive su uno dei due possibili punti della circonferenza "di confine". Una volta scritto quello infinitesimo però, su che variabili integro?
Utilizzo coordinate polari centrate al centro del cerchio, in $O$. Sia $phi$ l'angolo azimutale e $rho$ la distanza da $O$.
Considerando coppie di cariche di segno opposto disposte simmetricamente rispetto al diametro che separa le due distribuzioni superficiali di carica, si ottiene un momento di dipolo infinitesimo di intensità $ dp = dq * 2rhosinphi$ diretto dalla carica negativa a quella positiva. Integrando per $phi$ che va da $0$ a $pi$ e per $rho$ che va da $0$ a $R$ si ottiene
$ vec(p) = q*[int_(0)^(pi)dphi int_(0)^(R)2sinphirho drho ]hat(u)_p = q*2R^2 hat(u)_p $
Per il potenziale considererei quello prodotto dal semicerchio di cariche positive su uno dei due possibili punti della circonferenza "di confine". Una volta scritto quello infinitesimo però, su che variabili integro?
Risposte
Non capisco cos'è il punto della circonferenza comune alle cariche?
A quanto ho capito si intende uno qualunque dei due punti rossi in figura
$ V(R,0)=sigma/(4pi epsilon_0) int_0^pi d theta int_0^R (rdr)/sqrt(r^2+R^2-2rRcostheta) $
Io per il potenziale di quei due punti, visto che assumiamo nullo quello all'infinito, proverei a muovermi, dall'infinito verso quei punti, sulla retta passante per gli stessi.
Sì non c'entra il dipolo, ma il potenziale che richiede è quello dovuto a metà del cerchio giusto?
Si, avevo inteso male io, credevo si parlasse di quello totale, ad ogni modo per rispondere a Fab527, l'integrazione del potenziale infinitesimo sarà fatta sempre sulle stesse variabili: $ phi $ che va da $ 0 $ a $ pi $ e $ rho $ che va da $ 0 $ a $ R $, usando Viète per la distanza fra elemento infinitesimo e punto P:(R,0), come indicato da luc.mm .
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