Esercizio di elettromagnetismo

[Qfwfq1]

Avrei bisogno di aiuto per questo esercizio:
Due anelli paralleli aventi lo stesso asse sono separati da una piccola distanza $ epsilon $ .
Essi hanno lo stesso raggio $R$ e su di essi circola la stessa corrente $I$, ma in direzioni
opposte. Si consideri il campo magnetico lungo l'asse degli anelli e si calcoli il punto in
cui raggiunge il suo valore massimo, nell'approssimazione \(\varepsilon \ll R\).

Ho derivato l'espressione del modulo del campo sull'asse e dopo aver trascurato dei termini e consideratoe uno sviluppo di taylor al primo ordine arrivo a \(z={R\over\sqrt5}\), quando invece da un'analisi grafica pare proprio che il risultato giusto al limite sia \(z={R\over2}\)

[RenzoDF]

"Qfwfq":... Ho derivato l'espressione del modulo del campo sull'asse e dopo aver trascurato dei termini e consideratoe uno sviluppo di taylor ... quando invece da un'analisi grafica pare proprio che il risultato giusto al limite sia \(z={R\over2}\)

Una domanda davvero interessante quella che poni; la configurazione delle due bobine coassiali è ben nota in fisica nel caso di correnti equiverse (bobine di Helmholtz) per ottenere un campo uniforme nello spazio fra le stesse e in quel caso si va proprio ad usare Taylor per analizzarne l'andamento; si potrebbe quindi pensare che anche nel caso di correnti opposte si possa seguire la medesima strada metodologica ma, come mi ricordava sempre il mio professore di Misure Elettriche delle superiori a proposito della propagazione dell'errore (così si chiamava allora), "occhio alle differenze !" , perché qui siamo proprio in presenza di una differenza fra due campi che, con quella condizione su $\epsilon$, risultano prossimi fra loro e se quindi, come suppongo, sei andato a svilupparle entrambe per poi fare la differenza degli sviluppi, specialmente in questo caso, visto che in quel modo ricavi un valore non prossimo allo zero, devi seriamente dubitare sul risultato ottenuto, e quindi di certo non basta arrestare lo sviluppo al primo ordine (BTW potresti postare i calcoli che ti hanno condotto a quel risultato?).
Detto questo ho provato a fare un paio di calcoli sulla differenza $B(x+\epsilon)-B(x-\epsilon)$, sviluppando il quadrato considerando epsilon un infinitesimo e semplificando gli infinitesimi di ordine superiore. Ho quindi derivato per cercarmi massimi e minimi e in un paio di passaggi mi sono ricavato che

$(\frac{x+\epsilon }{x-\epsilon})^2\approx (\frac{x^2+2x\epsilon+R^2 }{ x^2-2x\epsilon+R^2} )^5$

e quindi dal solito "trucco" per semplificare le razionali fratte

$(1+\frac{2\epsilon }{x})^2\approx (1+\frac{4x\epsilon }{x^2+R^2})^5$

e di conseguenza

$1+\frac{4\epsilon }{x}\approx 1+\frac{20x\epsilon }{x^2+R^2}$

che porta infine, passando al limite per $\epsilon \to 0$ all'uguaglianza

$ x = \pm \frac{R}{2} $

Lascio a te verificare il segno della derivata intorno ai due punti.