Esercizio di dinamica: piano inclinato e molla
Ciao a tutti!
Ero intento a risolvere questo problema:
ma non riesco a giungere alla soluzione proposta dal libro.
Io ho proceduto prima di tutto scrivendo l'equazione della risultante delle forze sul corpo A. Dunque:
$ - k \delta + m_A g sin\alpha = m_A a $
Da qui ho ricavato:
$ a = (k \delta + m_A g sin\alpha )/m_A$
e ne ho fatto la componente lungo l'asse x:
$ a_x = (k \delta + m_A g sin\alpha )/(m_A) cos\alpha$
Questa dovrebbe essere l'accelerazione di cui risente il blocco B. Quindi, ho scritto l'equazione risultante delle forze del corpo B:
$\mu_s (m_A + m_B)g = (m_B + m_A) a_x$
$ \mu_s = a_x / g $
Cosa ho sbagliato secondo voi? Grazie a tutti!
Ero intento a risolvere questo problema:
ma non riesco a giungere alla soluzione proposta dal libro.
Io ho proceduto prima di tutto scrivendo l'equazione della risultante delle forze sul corpo A. Dunque:
$ - k \delta + m_A g sin\alpha = m_A a $
Da qui ho ricavato:
$ a = (k \delta + m_A g sin\alpha )/m_A$
e ne ho fatto la componente lungo l'asse x:
$ a_x = (k \delta + m_A g sin\alpha )/(m_A) cos\alpha$
Questa dovrebbe essere l'accelerazione di cui risente il blocco B. Quindi, ho scritto l'equazione risultante delle forze del corpo B:
$\mu_s (m_A + m_B)g = (m_B + m_A) a_x$
$ \mu_s = a_x / g $
Cosa ho sbagliato secondo voi? Grazie a tutti!
Risposte
Ciao 
Credo che l'errore sia sostanzialmente nella prima equazione: nell'istante in cui il vincolo viene eliminato la molla non si è ancora deformata (\(\displaystyle \delta=0 \)), perciò la tua equazione della risultante su A diventa:
\(\displaystyle F_A = m_A g \sin{\alpha} \)
Scomponendo questa forza nella direzione orizzontale (quella che tende a far slittare B) otteniamo:
\(\displaystyle F_{A//} = F_A\cos{\alpha} = m_A g \sin{\alpha}\cos{\alpha} \)
Eguagliandola con l'attrito statico otteniamo il coefficiente d'attrito necessario all'equilibrio:
\(\displaystyle m_A g \sin{\alpha}\cos{\alpha} =\mu_s(m_A+m_B)g \rightarrow \boxed{\mu_s = \frac{m_A}{m_A+m_B}\sin{\alpha}\cos{\alpha}}\)
Risulta \(\displaystyle \mu_s\approx 0.1 \), un valore ragionevole. Fammi sapere se torna, spero di non aver fatto errori
Credo che l'errore sia sostanzialmente nella prima equazione: nell'istante in cui il vincolo viene eliminato la molla non si è ancora deformata (\(\displaystyle \delta=0 \)), perciò la tua equazione della risultante su A diventa:
\(\displaystyle F_A = m_A g \sin{\alpha} \)
Scomponendo questa forza nella direzione orizzontale (quella che tende a far slittare B) otteniamo:
\(\displaystyle F_{A//} = F_A\cos{\alpha} = m_A g \sin{\alpha}\cos{\alpha} \)
Eguagliandola con l'attrito statico otteniamo il coefficiente d'attrito necessario all'equilibrio:
\(\displaystyle m_A g \sin{\alpha}\cos{\alpha} =\mu_s(m_A+m_B)g \rightarrow \boxed{\mu_s = \frac{m_A}{m_A+m_B}\sin{\alpha}\cos{\alpha}}\)
Risulta \(\displaystyle \mu_s\approx 0.1 \), un valore ragionevole. Fammi sapere se torna, spero di non aver fatto errori
Il risultato proposto dal libro è il seguente:
$\mu_s = ((k\delta -m_A gsin\alpha) cos\alpha)/((m_B + m_A cos^2 \alpha)g + k\delta sin\alpha)$
$\mu_s = ((k\delta -m_A gsin\alpha) cos\alpha)/((m_B + m_A cos^2 \alpha)g + k\delta sin\alpha)$
Qualcun'alro può darmi una mano? Grazie.
Per valutare il minimo coefficiente di attrito fra il blocco e il piano orizzontale occorre valutare le forze che agiscono sul blocco.
Le forze che agiscono sul blocco sono il suo peso (verso il basso), la reazione normale che è uguale ed opposta a quella che il blocco esercita sul corpo A (quindi ha una componente verso il basso e una verso sinistra), e la forza di reazione della molla in quanto fissata al blocco e che è uguale e opposta alla forza elastica esercitata dalla molla sul corpo A (e quindi ha una componente verso il basso e una verso destra).
Il minimo valore del coefficiente di attrito deve essere tale da far restare fermo il blocco quando è soggetto alla forza massima sviluppata dalla molla. Quindi, la forza di attrito, che è orizzontale, deve essere pari alla risultante delle componenti orizzontali delle forze che agiscono sul blocco, ovvero:
$ F_a=k\delta \cos \alpha -m_Ag\cos \alpha \sen \alpha $
Ricordando che $F_a\leq \mu N$ dove $N$ è la risultante delle forze normali agenti sul blocco pari a:
$N=m_Bg+m_Ag\cos ^2 \alpha +k\delta \sen \alpha$
si ottiene:
$ F_a\leq \mu N\Rightarrow k\delta \cos \alpha -m_Ag\cos \alpha \sen \alpha \leq \mu (m_Bg+m_Ag\cos ^2\alpha +k\delta \sen \alpha ) $
da cui si ottiene il valore minimo di $ \mu $quando si verifica l'uguaglianza:
$ \mu =\frac {(k\delta-m_Ag\sen \alpha)\cos \alpha }{(m_B+m_A\cos ^2 \alpha )g +k\delta \sen \alpha} $
Le forze che agiscono sul blocco sono il suo peso (verso il basso), la reazione normale che è uguale ed opposta a quella che il blocco esercita sul corpo A (quindi ha una componente verso il basso e una verso sinistra), e la forza di reazione della molla in quanto fissata al blocco e che è uguale e opposta alla forza elastica esercitata dalla molla sul corpo A (e quindi ha una componente verso il basso e una verso destra).
Il minimo valore del coefficiente di attrito deve essere tale da far restare fermo il blocco quando è soggetto alla forza massima sviluppata dalla molla. Quindi, la forza di attrito, che è orizzontale, deve essere pari alla risultante delle componenti orizzontali delle forze che agiscono sul blocco, ovvero:
$ F_a=k\delta \cos \alpha -m_Ag\cos \alpha \sen \alpha $
Ricordando che $F_a\leq \mu N$ dove $N$ è la risultante delle forze normali agenti sul blocco pari a:
$N=m_Bg+m_Ag\cos ^2 \alpha +k\delta \sen \alpha$
si ottiene:
$ F_a\leq \mu N\Rightarrow k\delta \cos \alpha -m_Ag\cos \alpha \sen \alpha \leq \mu (m_Bg+m_Ag\cos ^2\alpha +k\delta \sen \alpha ) $
da cui si ottiene il valore minimo di $ \mu $quando si verifica l'uguaglianza:
$ \mu =\frac {(k\delta-m_Ag\sen \alpha)\cos \alpha }{(m_B+m_A\cos ^2 \alpha )g +k\delta \sen \alpha} $
Ok, sono daccordo con il tuo procedimento. Ho notato però che c'è un piccolo errore: quando dici che bisogna considerare la reazione del blocco B alla forza elastica, quest'ultima ha una componente diretta verso l'alto e una verso sinistra.
Infatti, quando la molla esprime la massima forza elastica, il corpo A si trova nel punto di massima quota, e la forza elastica di cui risente (il corpo A) è diretta verso il basso (e vale $ -kx$); di conseguenza, la reazione di B alla forza elastica è diretta verso l'alto e vale $kx$. Spero di essermi spiegato.
L'esercizio è comunque uscito perchè nelle formule hai utilizzato i segni corretti. Grazie mille per l'aiuto!
Infatti, quando la molla esprime la massima forza elastica, il corpo A si trova nel punto di massima quota, e la forza elastica di cui risente (il corpo A) è diretta verso il basso (e vale $ -kx$); di conseguenza, la reazione di B alla forza elastica è diretta verso l'alto e vale $kx$. Spero di essermi spiegato.
L'esercizio è comunque uscito perchè nelle formule hai utilizzato i segni corretti. Grazie mille per l'aiuto!
Non è un errore, la reazione dovuta alla forza elastica della molla ha proprio una componente verso il basso e una verso destra. La molla esprime la massima forza elastica quando il corpo A è alla sua minima distanza dal piano orizzontale. La molla in tale situazione si è compressa, e pertanto la forza sviluppata dalla molla sul corpo A è diretta lungo il piano inclinato verso la sommità del blocco (ovvero ha una componente verso l'alto e una verso sinistra). Conseguentemente sul blocco agisce una forza di reazione uguale ed opposta, cioè è diretta sempre nella direzione del piano inclinato ma in verso opposto, ovvero con una componente verso il basso e una verso destra.
Io avevo interpretato l'esercizio praticamente all'opposto di te. Sinceramente ho ancora qualche dubbio perché non riesco ad immaginare bene la situazione...Anche perché, considerando il problema dal mio punto di vista, giungo al tuo stesso risultato.
Salve, sono nuovo del forum (questo è il mio primo messaggio). Cercando una mano con alcuni esercizi di Fisica mi sono imbattuto in questo, fino alla prima parte tutto bene. E' il secondo punto che non capisco: con compressione massima della molla si intende quella massima che il corpo A può esercitare su B prima che questo inizi a muoversi (quindi si utilizza la massa ridotta per considerare la mutua interazione tra i corpi)?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo