Esercizio di dinamica: moto rototraslatorio
Ciao a tutti! Mi chiedevo se qualcuno può aiutarmi a risolvere questo esercizio:
Un filo inestensibile, di massa trascurabile, è avvolto attorno ad un cilindro di raggio r e lunghezza trascurabile. Si tiene ferma l'estremità libera del filo e si lascia il cilindro libero di cadere sotto l'azione della forza peso. Si determini l'accelerazione dell'asse del cilindro.
Ho cercato d impostare il problema ma non ci sonjo proprio riuscito e non so affatto da dove iniziare. Spero possiate aiutarmi. Grazie a tutti!
Un filo inestensibile, di massa trascurabile, è avvolto attorno ad un cilindro di raggio r e lunghezza trascurabile. Si tiene ferma l'estremità libera del filo e si lascia il cilindro libero di cadere sotto l'azione della forza peso. Si determini l'accelerazione dell'asse del cilindro.
Ho cercato d impostare il problema ma non ci sonjo proprio riuscito e non so affatto da dove iniziare. Spero possiate aiutarmi. Grazie a tutti!
Risposte
Qualcuno può aiutarmi?
Mi verrebbe da considerare il moto del cilindro come un moto di rotazione attorno all'asse istantaneo di rotazione, rappresentato dall'asse parallelo a quello del cilindro e passante per il punto in cui il filo si srotola.
Da $\tau=I\alpha$, si ha $mg*r=(1/2*m*r^2+m*r^2)*\alpha$, da cui puoi ricavare $\alpha$.
Per ottenere l'accelerazione dell'asse del cilindro, sai che $a=\alpha*r$.
Da $\tau=I\alpha$, si ha $mg*r=(1/2*m*r^2+m*r^2)*\alpha$, da cui puoi ricavare $\alpha$.
Per ottenere l'accelerazione dell'asse del cilindro, sai che $a=\alpha*r$.
Ho capito il tuo ragionamento tranne una cosa: per quale motivo la tensione del filo si esprime in quel modo? Siccome è la prima volta che mi cimento in questo genere di esercizi mi sevirebbe un'ulteriore spiegazione. Sembra che tu abbia moltiplicato la forza peso per il raggio del cilindro ma...perchè?
La tensione del filo non mi interessa. L'unica forza che (rispetto al punto di rotazione istantanea) ha momento, $\tau$, non nullo è la forza peso ($mg$), applicata al centro di massa del cilindro, il cui braccio è, appunto, $r$. Questo momento produce l'accelerazione angolare $\alpha$. Per quanto riguarda il momento di inerzia $I$, ho usato quello del cilindro ($1/2mr^2$ riferito al suo asse) modificato col teorema dell'asse parallelo.
Scusa pensavo che con τ intendessi la tensione del filo invece che il momento. Ok adesso è tutto chiaro: hai calcolato il momento rispetto all'asse istantaneo facendo il prodotto dell'inerzia (calcolata mediante il teorema di Huygens-Steiner) per la derivata della velocità angolare (ovvero l'accelerazione angolare). Infine, non ho capito bene per quale motivo posso avvalermi dell'ultima relazione che hai scritto.
Si tratta dell'accelerazione tangenziale, ottenuta derivando $v=\omegar$:
$a_t=(dv)/(dt)=(d(\omegar))/(dt)=r(d\omega)/(dt)=r\alpha$.
$a_t=(dv)/(dt)=(d(\omegar))/(dt)=r(d\omega)/(dt)=r\alpha$.
Adesso l'esercizio esce però perché l'accelerazione dell'asse del cilindro sarebbe un'accelerazione tangenziale? Scusa per le mille domande...
"daniele91":
Scusa per le mille domande...
No problem, finchè ho tempo...
E' tangenziale in quanto perpendicolare al raggio vettore che ruota; raggio che dal centro di rotazione (punto in cui si srotola il filo) va al centro di massa del cilindro. L'accelerazione tangenziale riguarda qualunque punto di un corpo che ruota, non solo quelli sul contorno.
Ah ok! Grazie per la spiegazione e la disponibilità 
Proprio adesso stavo svolgendo un altro esercizio di dinamica dei sistemi nel caso di moto rototraslatorio e mi chiedevo se si potesse applicare un procedimento simile a quello che hai adottato nell'esercizio appena svolto. La traccia dell'esercizio dice così:
Un cilindro omogeneo di massa m rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo $\_alpha$ rispetto all'orizzontale; il piano inclinato è costituito da un blocco di massa m1 che può scorrere sopra un piano orizzontale liscio. Si determini il modulo dell'accelerazione del blocco considerando trascurabile l'attrito volvente.
Avevo cercato di calcolare il momento del cilindro considerando, oltre alla componente della foza peso che lo fa rotolare lungo il piano inclinato, anche quella dell'accelerazione A del blocco che si muove in senso opposto rispetto a quello del cilindro. Qui però mi sono bloccato in quanto non so se posso considerare in qualche modo anche l'accelrazione del punto di contatto del cilindro con la superficie del piano inclinato: in realtà, mi sembra assurdo parlare di accelerazione del punto di contatto del cilindro con il piano inclinato visto che in quel punto la velocità è nulla. E' pure vero però che quel punto può esser sempre considerato come un'asse di rotazione istantaneo del cilindro... Incontro una certa difficoltà a proseguire oltre...
Proprio adesso stavo svolgendo un altro esercizio di dinamica dei sistemi nel caso di moto rototraslatorio e mi chiedevo se si potesse applicare un procedimento simile a quello che hai adottato nell'esercizio appena svolto. La traccia dell'esercizio dice così:
Un cilindro omogeneo di massa m rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo $\_alpha$ rispetto all'orizzontale; il piano inclinato è costituito da un blocco di massa m1 che può scorrere sopra un piano orizzontale liscio. Si determini il modulo dell'accelerazione del blocco considerando trascurabile l'attrito volvente.
Avevo cercato di calcolare il momento del cilindro considerando, oltre alla componente della foza peso che lo fa rotolare lungo il piano inclinato, anche quella dell'accelerazione A del blocco che si muove in senso opposto rispetto a quello del cilindro. Qui però mi sono bloccato in quanto non so se posso considerare in qualche modo anche l'accelrazione del punto di contatto del cilindro con la superficie del piano inclinato: in realtà, mi sembra assurdo parlare di accelerazione del punto di contatto del cilindro con il piano inclinato visto che in quel punto la velocità è nulla. E' pure vero però che quel punto può esser sempre considerato come un'asse di rotazione istantaneo del cilindro... Incontro una certa difficoltà a proseguire oltre...
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