Esercizio di dinamica del moto circolare

[marioz87]

Una pallina di massa m = 0.2 kg si muove su un piano orizzontale liscio, restando a
distanza R = 0.5 m da un punto O del piano al quale è vincolata da un filo in estensibile avente massa
trascurabile e carico di rottura T0 = 10 N. Sulla pallina agisce una forza, costantemente perpendicolare
al filo, che sviluppa una potenza costante P = 0.1 W. Sapendo che all’istante t = 0 le velocità della
pallina è nulla, si calcoli:
a) l’istante t1 in corrispondenza al quale il filo si rompe;
b) lo spazio percorso dalla pallina nell’intervallo di tempo (0, t1);
c) il lavoro complessivo fatto dal sistema di forze agenti sulla pallina per tale spazio percorso.

qui trovate il disegno: scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid644457.pdf

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SOLUZIONE

intanto considero un sistema di riferimento fisso aventi gli assi paralleli alle direzione normale e tangenziale delle forze agenti sulla massa.

$u_N$ $m*a_N=T$
$u_T$ $m*a_T=F$

non considero le forze perpendicolari al piano (gravità e reazione vincolare) sul punto m.

considerato il carico di rottura $T_0$ allora l'accelerazione normale della massa al momento della rottura del filo deve essere:

$a_N=T_0/m=(10 N)/(0.2 kg)=50 m/s^2$

e date le relazioni conosciute sull'accelerazione normale:
$a_N=v^2/R= \omega^2*R rArr v=sqrt(R*a_N)=5 m/s rArr \omega=sqrt(a_N/R)=10 (rad)/s$

dato che $P$ è costante anche in questo istante nel quale il filo si rompe sarà sempre $P=0.1 Watt$, e vale:
$P=F*v rArr F=P/v=0.02 N$

Posso quindi calcolare $a_T=F/m=0.1 m/s$

dato che $a_N=50 m/s$ e $a_T=0.1m/s$ $rArr a=50 m/s$

e quindi l'accelerazione angolare $\alpha=a_T /R=0,2 (rad)/s^2$.

quindi dato $\omega=\alpha*t$ ricavo il tempo per la rottura del filo.

$t=\omega/\alpha=50 s$

lo spazio percorso dalla pallina sarà $s=v*t+1/2 a*t^2=62750 m$.

Mi sembrano un pò troppi 62 KM! cosa ho sbagliato?

Un'altra cosa che non capisco molto. il problema dice che la potenza è costante. se $P=F*v$ allora anche F e v devono essere costanti? cioè boh...non sono sicuro del ragionamento che ho fatto..

[Cmax1]

La potenza è costante, ma questo non significa che lo sia la forza applicata, e quindi l'accelerazione tangenziale. Usando il teorema dell'energia cinetica, poichè la massa è inizialmente ferma, $\frac{1}{2}mv^2(t)=L=int_0^{t}Pd\tau=Pt$. Dalla condizione $\frac{mv^2(t)}{R}=T_0$ ottieni il tempo di rottura $t_1$, che puoi usare per calcolare la velocità finale e quindi il lavoro compiuto. Dalla stessa equazione ricavi $v(t)$ ed integrandola su $(0,t_1)$ calcoli lo spazio percorso.

[adaBTTLS1]

ti dico solo due cose:
- la forza che hai calcolato penso che valga solo finché il filo non si spezza; è quindi probabile che tu debba considerare il moto successivo come moto uniforme
- P costante significa il prodotto tra F e v costante, cioè F e v inversamente proporzionali.
spero ti sia stato utile. ciao.

[marioz87]

"Cmax":La potenza è costante, ma questo non significa che lo sia la forza applicata, e quindi l'accelerazione tangenziale. Usando il teorema dell'energia cinetica, poichè la massa è inizialmente ferma, $\frac{1}{2}mv^2(t)=L=int_0^{t}Pd\tau=Pt$. Dalla condizione $\frac{mv^2(t)}{R}=T_0$ ottieni il tempo di rottura $t_1$, che puoi usare per calcolare la velocità finale e quindi il lavoro compiuto. Dalla stessa equazione ricavi $v(t)$ ed integrandola su $(0,t_1)$ calcoli lo spazio percorso.

giusto. dunque si ha:

$1/2 m v^2=P*t$ (dato che P è costante lo porto fuori dall'integrale)

ed essendo $m v^2/R=T_0$ trovo l'equazione da cui trovare $t_1$:
$1/2 T_0 * R = P*T rArr t_1= (T_0*R)/2P= 25 s$

quindi avevo cannato il tempo. ma non la velocità che è $v=sqrt((2*P*t)/m)=sqrt((T_0*R)/m)=5 m/s.

da cui calcolo $\omega=v/R=10 (rad)/s$. che torna.

Ho sbagliato il calcolo di $a_T$ e il conseguente di $\alpha$ che avevo ricavato da $P=F*v$
dicendo che $F=P/v$....che allora non vale...il valore di F con quali valori lo trovo? (lo chiedo, anche se non è richiesto..)

integrando la velocità viene $s=\int_0^(t_1) sqrt((T_0*R)/m)dt=125 m$
che integrando anche l'altra relazione della velocità che ho trovato corrisponde. quindi è corretta.

[Cmax1]

Suppongo ci sia un errore di battitura nel calcolo del tempo, che è $t_1=\frac{T_0R}{2P}$. La velocità in funzione del tempo è $v(t)=\sqrt{\frac{2Pt}{m}}$, ed integrando si ha $\int_{0}^{t_1}v(\tau)d\tau=2/3\sqrt{\frac{2P}{m}}(t_1)^{3/2}$.

EDIT. Aggiunto fattore $2/3$ che avevo dimenticato.

[marioz87]

si non ho messo la parentesi al denominatore...il conto comunque viene uguale

[Steven11]

"marioz87":si non ho messo la parentesi al denominatore...il conto comunque viene uguale

Ieri non avevi l'esame tu?
Come è andata?

[marioz87]

non benissimo..ahimè.