Esercizio di Dinamica con carrello e carrucola
Ciao e buona domenica a tutti. Domani mi attende la prova scritta di fisica e come sempre il giorno prima dell'esame mi sento assalito dai dubbi. In particolare stavo eseguendo questo esercizio:
Una massa $M_A = 2kg$ è posta su un carrello di massa $M_B = 8kg$ ed è legata con una fune inestensibile e senza massa alla massa $M_C = 4kg$ come in figura. La carrucola è anch'essa senza massa, il coefficiente d'attrito tra $A$ e $B$ è $\mu = 0,6$ mentre è nullo quello tra $B$ e il tavolo. Determinare le accelerazioni di $A$ e $B$ relative al tavolo e la tensione della fune.
Le equazioni che ho impostato sono le seguenti, scegliendo un sistema di riferimento con asse $X$
parallelo alla superficie del piano e asse $Y$ positivo verso l'alto:
Massa $C$:
$y: T-M_Cg = -M_Ca$
Massa $B$:
$x: -\muN_A = M_Ba$
$y: N_B-N_A-M_Bg=0$
Massa $A$:
$x: T+\muN_A=M_Aa$
$y: N_A-M_Ag=0$
Indicando con $T$ la tensione della fune, $N$ la reazione vincolare, $\muN_a$ la forza d'attrito statico.
E' corretta l'impostazione delle equazioni? E' giusto considerare l'attrito tra $A$ e $B$ statico siccome non è specificato nella traccia? Inoltre mi sono sorti dubbi quando chiede le accelerazioni di $A$ e $B$ relative al tavolo: l'accelerazione in questo tipo di sistemi non è unica? Ringrazio tutti anticipatamente per l'aiuto.
Una massa $M_A = 2kg$ è posta su un carrello di massa $M_B = 8kg$ ed è legata con una fune inestensibile e senza massa alla massa $M_C = 4kg$ come in figura. La carrucola è anch'essa senza massa, il coefficiente d'attrito tra $A$ e $B$ è $\mu = 0,6$ mentre è nullo quello tra $B$ e il tavolo. Determinare le accelerazioni di $A$ e $B$ relative al tavolo e la tensione della fune.
Le equazioni che ho impostato sono le seguenti, scegliendo un sistema di riferimento con asse $X$
parallelo alla superficie del piano e asse $Y$ positivo verso l'alto:
Massa $C$:
$y: T-M_Cg = -M_Ca$
Massa $B$:
$x: -\muN_A = M_Ba$
$y: N_B-N_A-M_Bg=0$
Massa $A$:
$x: T+\muN_A=M_Aa$
$y: N_A-M_Ag=0$
Indicando con $T$ la tensione della fune, $N$ la reazione vincolare, $\muN_a$ la forza d'attrito statico.
E' corretta l'impostazione delle equazioni? E' giusto considerare l'attrito tra $A$ e $B$ statico siccome non è specificato nella traccia? Inoltre mi sono sorti dubbi quando chiede le accelerazioni di $A$ e $B$ relative al tavolo: l'accelerazione in questo tipo di sistemi non è unica? Ringrazio tutti anticipatamente per l'aiuto.
Risposte
A e B possono muoversi insieme oppure no, non si sa a priori. Tu fai i tuoi conti come se fossero collegati rigidamente, e trovi l'accelerazione di AB. Se poi scopri che questa accelerazione su B richiede una forza superiore a quella dell'attrito statico, allora c'è scorrimento, (ma a questo punto ci manca il coefficiente di attrito dinamico), altrimenti no, e hai finito
Franco, non va bene.
Il tuo esercizio dà per scontato che tra A e B ci sia moto relativo [nota]il che sarebbe da discutere, ma non qui, prendiamo per buono questo assunto[/nota] , quindi una forza di attrito , e $mu$ è proprio il coefficiente di attrito radente dinamico: questo è il mio parere.
Hai orientato $y$ verso l'alto, e $x$ verso destra : d'accordo.
A parte l'equazione per $C$ , che va bene , esaminiamo quelle per A e per B , cominciando dalla direzione $x$ . Ti pare che la forza di attrito che B esercita su A sia a favore del moto, cioè sia diretta come $T$ ? Da qui deriva poi il resto. Qual è la forza che accelera $B$ ? E ti pare che A e B possano avere la stessa accelerazione?
Si tratta di accelerazioni relative al piano fisso. Rivedi il tutto. Il sistema migliore per risolvere questi problemi è tracciare il diagramma di "corpo libero" per ciascuno di essi .
@mgrau : non sono d'accordo con te . Il coefficiente dato è quello dell'attrito radente dinamico, non quello statico. Il testo, secondo me, dà per scontato che ci sia moto relativo tra le parti . Il testo è comunque deficitario , sotto questo aspetto.
Il tuo esercizio dà per scontato che tra A e B ci sia moto relativo [nota]il che sarebbe da discutere, ma non qui, prendiamo per buono questo assunto[/nota] , quindi una forza di attrito , e $mu$ è proprio il coefficiente di attrito radente dinamico: questo è il mio parere.
Hai orientato $y$ verso l'alto, e $x$ verso destra : d'accordo.
A parte l'equazione per $C$ , che va bene , esaminiamo quelle per A e per B , cominciando dalla direzione $x$ . Ti pare che la forza di attrito che B esercita su A sia a favore del moto, cioè sia diretta come $T$ ? Da qui deriva poi il resto. Qual è la forza che accelera $B$ ? E ti pare che A e B possano avere la stessa accelerazione?
Si tratta di accelerazioni relative al piano fisso. Rivedi il tutto. Il sistema migliore per risolvere questi problemi è tracciare il diagramma di "corpo libero" per ciascuno di essi .
@mgrau : non sono d'accordo con te . Il coefficiente dato è quello dell'attrito radente dinamico, non quello statico. Il testo, secondo me, dà per scontato che ci sia moto relativo tra le parti . Il testo è comunque deficitario , sotto questo aspetto.
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta.
Per quanto riguarda la forza di attrito che *B* esercita su $A$: io avevo pensato che A esercitasse su B la forza d'attrito(che però credevo statico) e per il terzo principio che B rispondesse con una forza uguale e contraria su A.
La forza che accelera B a questo punto credo sia quella di attrito dinamico che A esercita su B per il terzo principio?
Per quanto riguarda la forza di attrito che *B* esercita su $A$: io avevo pensato che A esercitasse su B la forza d'attrito(che però credevo statico) e per il terzo principio che B rispondesse con una forza uguale e contraria su A.
La forza che accelera B a questo punto credo sia quella di attrito dinamico che A esercita su B per il terzo principio?
Ripeto : il testo è deficitario perché non dà il coefficiente di attrito statico, quindi non permette di valutare se l'attrito statico tra le superfici dei corpi A e B a contatto è sufficiente o meno a tenere incollati i due corpi, come se fossero un unico corpo. Cioè , detto $mu_s$ il coefficiente di attrito statico , se la forza di attrito che si sviluppa nel contatto è inferiore a $mu_sN$ allora non c'è moto relativo tra A e B, quindi A+B si comporta come un unico corpo .
Io sono partito dall'ipotesi che ci sia scorrimento relativo tra A e B , quindi si sviluppa la forza di attrito dinamico tra i due corpi. Solo in questa ipotesi valgono le osservazioni che ho fatto .
Quello che dici è corretto. Ma si tratta di assumere l'ipotesi giusta dall'inizio.
Io sono partito dall'ipotesi che ci sia scorrimento relativo tra A e B , quindi si sviluppa la forza di attrito dinamico tra i due corpi. Solo in questa ipotesi valgono le osservazioni che ho fatto .
Quello che dici è corretto. Ma si tratta di assumere l'ipotesi giusta dall'inizio.
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