Esercizio di cinematica

[maltos]

Mi piacerebbe rompervi le scatole con un esercizio su cui mi sono bloccato

Ad una certa ora del mattino
t0 inizia a nevicare,
a mezzogiorno uno spazzaneve esce per pulire le
strade. La neve continua a cadere con intensità
costante. Assumendo che la velocità dello spaz-
zaneve e' inversamente proporzionale all’altezza
della neve, nelle prime due ore questo riesce a
pulire 4 km di strada mentre nelle due ore suc-
cessive soltanto 2 km. Calcolare a che ora ha
iniziato a nevicare.

Spero in qualche dritta

[mgrau]

Non vedo cosa c'entra la cinematica, comunque...




La figura rappresenta l'altezza della neve nel tempo.
La condizione sulla velocità dice che il volume di neve spazzato nell'unità di tempo è costante.
Dai dati sappiamo che la neve spazzata fra le 12 e le 14 occupa 4Km, e fra le 14 e le 16, 2 Km.
Però il volume è uguale, quindi l'altezza media fra le 12 e le 14 è metà che fra le 14 e le 16
Visto l'andamento lineare, ciò significa che guardando i due trapezi a destra, quello fra le 14 e le 16 ha altezza media doppia di quello fra le 12 e le 14.
Un po' di conti, e trovi che l'altezza alle 16 (c) è 5 volte l'altezza alle 12 (a), e poi che l'ora in cui l'altezza è 0 (inizio della nevicata) sono le 11

[maltos]

Rieccoci
In realtà l'ho scritto come cinematica perché l'ho trovato sotto gli esercizi della facolta di Torino di fisica.

Purtroppo non ho le soluzioni qundi non saprò mai se è corretto o meno quanto ho fatto, io pensavo a una cosa del genere. Nel frattempo ho visto che hai già risposto però (mi sa che mi sono incasinato la vita per nulla).
(a chi interessasse il pdf: )
Se hai voglia di dare un'occhiata per capire se almeno come impostazione è corretta ti ringrazio moltissimo.

Ho pensato che h fosse direttamente proporzionale a $h α (t-t_0)$ α simbolo di proporzinalità
così ho riscritto $v=l/(t-t_0)$
quindi a un certo tempo T lo spazio $L_T = int v(t) dt$ da 0 a T (purtroppo non so scrivere gli integrali definiti qui sul forum
e sostituendo $int l/(t-t_0) dt=log((t_0-T)/(t_0))$ ho anche usato la proprietà dei logaritmi (riassunto un po' di passaggi)
Stessa cosa integrando stavolta tra T e 2T $L_2T= int l/(t-t_0) dt$ da cui $l log ((t_0-2T)/(t_0-T))$
Mi sono accorto che rapportando $L_T/L_2T=2$ numero puro perché rapporto di 4km su 2km ma è anche uguale al rapporto di quei due logaritmi di cui sopra, e così (non eseguo tutti i passaggi) dovrebbe venire $t_0=(1+- sqrt(5))/2T$
Però ho due soluzioni:una positiv e una negativa

[mgrau]

"maltos":
Se hai voglia di dare un'occhiata per capire se almeno come impostazione è corretta ti ringrazio moltissimo.

Purtroppo non capisco niente se vedo solo formule, ho bisogno di qualche spiegazione di tipo discorsivo...

[professorkappa]

"maltos":Rieccoci
In realtà l'ho scritto come cinematica perché l'ho trovato sotto gli esercizi della facolta di Torino di fisica.

Purtroppo non ho le soluzioni qundi non saprò mai se è corretto o meno quanto ho fatto, io pensavo a una cosa del genere. Nel frattempo ho visto che hai già risposto però (mi sa che mi sono incasinato la vita per nulla).
(a chi interessasse il pdf: )
Se hai voglia di dare un'occhiata per capire se almeno come impostazione è corretta ti ringrazio moltissimo.

Ho pensato che h fosse direttamente proporzionale a $h α (t-t_0)$ α simbolo di proporzinalità
così ho riscritto $v=l/(t-t_0)$
quindi a un certo tempo T lo spazio $L_T = int v(t) dt$ da 0 a T (purtroppo non so scrivere gli integrali definiti qui sul forum
e sostituendo $int l/(t-t_0) dt=log((t_0-T)/(t_0))$ ho anche usato la proprietà dei logaritmi (riassunto un po' di passaggi)
Stessa cosa integrando stavolta tra T e 2T $L_2T= int l/(t-t_0) dt$ da cui $l log ((t_0-2T)/(t_0-T))$
Mi sono accorto che rapportando $L_T/L_2T=2$ numero puro perché rapporto di 4km su 2km ma è anche uguale al rapporto di quei due logaritmi di cui sopra, e così (non eseguo tutti i passaggi) dovrebbe venire $t_0=(1+- sqrt(5))/2T$
Però ho due soluzioni:una positiv e una negativa

Direi che la tua soluzione e' corretta, ma non sono sicuro che tu abbia fatto i calcoli giusti.

A me i calcoli vengono cosi (per esteso, cosi' se c'e' qualche errore qualcuno se ne accorge).

Prendendo come origine dei tempi il momento in cui comincia a nevicare, l'altezza h varia come $h=alpha*t$.
La velocita' dello spazzaneve e' semplicemente $v=beta/(alphat)$

Lo spazzaneve entra in funzione al tempo T e in T+2 ore si fa il primo tratto $L_1$, Quindi

$L_1= int_(T)^(T+2) beta/(alphat) dt = beta/alpha*ln((T+2)/T)$

Tra il tempo $T+2$ e il temp $T+4$ lo spazzaneve percorre $L_2$ di modo che:

$L_2= int_(T+2)^(T+4) beta/(alphat) dt = beta/alpha*ln((T+4)/(T+2))$

Ora, come giustamente noti tu, $L_1=2L_2$ e quindi puoi scrivere:

$beta/alpha*ln((T+2)/T)=2beta/alpha*ln((T+4)/(T+2))$

Da cui

$(T+2)/T=((T+4)/(T+2))^2$

$(T+2)^3=T(T+4)^2$

$T^3+8+3T^2*2+3T*4=T^3+16T+8T^2$

$T^2+2T-4$

E quindi quando lo spazzaneve comincia a lavorare, stava gia' nevicando da $T=-1+sqrt(5)$ ore.