Esercizio di Cinematica

[Mirkog2000]

Buonasera,

Sono incerto su come risolvere l'esercizio di cinematica del punto allegato in immagine, specialmente non capisco come impostare le leggi orarie per procedere.

Grazie in anticipo,
Mirko

[Berationalgetreal]

Puoi vedere il problema in questo modo: c'è un treno fermo e ce ne è un altro in movimento (questo equivale a prendere uno dei due treni come origine del sistema di riferimento). Quello in movimento va a $ V = v_1 + v_2$ e decelera con accelerazione di modulo $2a$. La distanza percorsa dal treno in movimento si trova imponendo che:

\[ V^2(\ell) = V^2 - 4 a \ell = 0 \implies \ell = \frac{V^2}{4a} \]

Se [tex]\ell \leq d[/tex], i treni non si scontrano. A te il resto.

[professorkappa]

"Berationalgetreal":Puoi vedere il problema in questo modo: c'è un treno fermo e ce ne è un altro in movimento (questo equivale a prendere uno dei due treni come origine del sistema di riferimento). Quello in movimento va a $ V = v_1 + v_2$ e decelera con accelerazione di modulo $a$. La distanza percorsa dal treno in movimento si trova imponendo che:

\[ V(\ell) = V - 2 a \ell = 0 \implies \ell = \frac{V}{2a} \]

Se [tex]\ell \leq d[/tex], i treni non si scontrano. A te il resto.

Sei sicuro? Perche a me viene che i treni si scontrano se $d<[V^2]/[4a]$ ovvero se $d<410.1m$.

Stai conforntando una distanda (d) con un tempo (V/2a).

[Berationalgetreal]

"professorkappa":[quote="Berationalgetreal"]Puoi vedere il problema in questo modo: c'è un treno fermo e ce ne è un altro in movimento (questo equivale a prendere uno dei due treni come origine del sistema di riferimento). Quello in movimento va a $ V = v_1 + v_2$ e decelera con accelerazione di modulo $a$. La distanza percorsa dal treno in movimento si trova imponendo che:

\[ V(\ell) = V - 2 a \ell = 0 \implies \ell = \frac{V}{2a} \]

Se [tex]\ell \leq d[/tex], i treni non si scontrano. A te il resto.

Sei sicuro? Perche a me viene che i treni si scontrano se $d<[V^2]/[4a]$ ovvero se $d<410.1m$.

Stai conforntando una distanda (d) con un tempo (V/2a).[/quote]

Hai assolutamente ragione. Ho dimenticato di scrivere i quadrati nella fretta. Modifico subito!

[professorkappa]

Anche l'accelerazione e' sbagliata, il treno decelera in ragione di $2a$. Vale in modulo $2a$. Quindi $V^2/[4a]$, non $V^2/[2a]$

[orsoulx]

"professorkappa": Perche a me viene che i treni si scontrano se $ d

Ottengo un risultato diverso $ d<430.5625 m $, ma non è questo il punto.
L'approccio presuppone che il treno più lento, che si arresta per primo, continui a muoversi con la stessa accelerazione almeno fino all'istante in cui le velocità dei due treni diventano uguali in modulo e verso.
Anche se l'astuto macchinista ha inserito la marcia indietro, mi pare poco credibile che i motori del treno siano in grado di produrre un'accelerazione uguale in modulo a quella di frenata.
Se si considerano solo gli spazi d'arresto, questi sono $ 180.5 m $ per il treno più lento e $ 253.125 m $ per il più veloce, per un totale di $ 433.625 m $.
Cosa succeda per una distanza compresa fra le due credo dipenda dalla fantasia del solutore.
Ciao

[professorkappa]

"orsoulx":[quote="professorkappa"] Perche a me viene che i treni si scontrano se $ d ovvero se $ d<410.1m $.

Ottengo un risultato diverso $ d<430.5625 m $, ma non è questo il punto.
L'approccio presuppone che il treno più lento, che si arresta per primo, continui a muoversi con la stessa accelerazione almeno fino all'istante in cui le velocità dei due treni diventano uguali in modulo e verso.
Anche se l'astuto macchinista ha inserito la marcia indietro, mi pare poco credibile che i motori del treno siano in grado di produrre un'accelerazione uguale in modulo a quella di frenata.
Se si considerano solo gli spazi d'arresto, questi sono $ 180.5 m $ per il treno più lento e $ 253.125 m $ per il più veloce, per un totale di $ 433.625 m $.
Cosa succeda per una distanza compresa fra le due credo dipenda dalla fantasia del solutore.
Ciao[/quote]

Non so da dove ti vengano fuori i numeri. Se supponi che, una volta fermati, i treni stiano fermi, allora ti basta farli partire da una distanza pari alla somma degli spazi di frenata. $(v_1^2+v_2^2)/[2a] = 253.13+162=415.13$. Meno di questa distanza e lo scontro e' frontale, le velocita' diverse in modulo e opposte.

Se invece supponi che il primo treno che si ferma riparte all'indietro con la stessa accelerazione allora ti bastano $(v_1+v_2)^2/[4a]=410$ m sono sufficienti. I treni non scontrano frontalmente, ma, come dicono a Roma, "si intruppano": le velocita' sono diverse in modulo, ma questa volta concordi nel verso.

I tuoi valori probabilmente saltano fuori dall'assunto (non corretto) che le velocita' siano uguali in modulo all'impatto??

[axpgn]

No, i suoi dati saltano fuori dal calcolo come l'ho fatto io, semplicemente calcolando gli spazi di arresto dei due treni; ipotizzare che dopo l'arresto del treno più lento, questi riparta all'indietro, è un'ipotesi non prevista (esplicitata) nel testo quindi non è da prendere in considerazione (e secondo me neanche l'autore ci ha pensato), tra l'altro in tal caso si dovrebbe supporre che anche l'accelerazione sia dello stesso valore della decelerazione (come giustamente detto da orsoulx) e quindi aggiungere ipotesi a ipotesi ... francamente, per un problema del genere mi sembra un po' troppo ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@professorkappa:
dai valori che riporti deduco che hai usato come velocità iniziale per il treno più lento $ v_1=129.6 {km}/h $, mentre il testo (poco leggibile) riporta $ v_1=136.8 {km}/h $.
Comunque, come ho già detto, i valori numerici sono del tutto secondari rispetto all'impostazione, secondo me, non condivisibile.

"professorkappa":I tuoi valori probabilmente saltano fuori dall'assunto (non corretto) che le velocita' siano uguali in modulo all'impatto??

Con l'approccio che avete discusso il confine fra si intruppano e non si intruppano (non conoscevo il simpatico uso romano di questo termine) è la distanza che produce $ \Delta v=0 $, cioè con i due treni che si accarezzano quando hanno velocità esattamente uguali.
Ciao

[professorkappa]

Ah, ecco l'errore, contavo la velocita a 36m/s, non 38 m/s.

[professorkappa]

"orsoulx":@professorkappa:
dai valori che riporti deduco che hai usato come velocità iniziale per il treno più lento $ v_1=129.6 {km}/h $, mentre il testo (poco leggibile) riporta $ v_1=136.8 {km}/h $.
Comunque, come ho già detto, i valori numerici sono del tutto secondari rispetto all'impostazione, secondo me, non condivisibile.
[quote="professorkappa"]I tuoi valori probabilmente saltano fuori dall'assunto (non corretto) che le velocita' siano uguali in modulo all'impatto??

Con l'approccio che avete discusso il confine fra si intruppano e non si intruppano (non conoscevo il simpatico uso romano di questo termine) è la distanza che produce $ \Delta v=0 $, cioè con i due treni che si accarezzano quando hanno velocità esattamente uguali.
Ciao[/quote]

Non ti seguo proprio, non capisco che intendi.
Con l'approccio pratico, quello di sommare le distanze di arresto (a meno dell'errore che avevo fatto), una volta che il primo treno si ferma, resta fermo li. Il secondo treno arrivera' a sfiorargli il muso a velocita' nulla. Quindi in quel caso le velocita' sono nulle.

Nell'approccio "teorico", invece, una volta che il primo treno si ferma e riparte all indietro mantenendo la stessa a di frenata, il sistema si presenta cosi:

Leggi orarioe del moto:

Primo treno: $x_1=-1/2at^2+v_1t$
Secondo treno: $x_2=1/2at^2-v_2t+d$

I due treni si scontrano dunque all'istante tale che $x_1=x_2$, cioe' per

$-1/2at^2+V_1t=1/2at^2-v_2t+d$

da cui si trova $at^2-(v_1+v_2)t+d=0$. Chiamando $V=v_1+v_2$ riscriviamo questa come

$at^2-Vt+d=0$.

La soluzione di questa e' equazione e' banalmente $t=(V+-sqrt(V^2-4ad))/(2a)$

Si distinguono tre casi:

$V^2-4ad<0$ - I treni non si toccano mai
$V^2-4ad=0$ - I treni entrano in contatto una sola volta a $t=V/(2a)$. Questo e' il caso intruppamento: uno dei 2 treni si e' fermato (l'altro treno e' ancora lontano e se ne potrebbe calcolare la distanza), ha messo la marcia indietro e cerca di sfuggire, il secondo treno gli sta correndo appresso e lo raggiunge e si scontrano.
$V^2-4ad>0$ - I treni si toccano, in teoria, 2 volte: la prima a $t=(V-sqrt(V^2-4ad))/(2a)$. Il secondo tempo non ha significato reale. Si potrebbe usare questa formula se i due treni fossero su 2 binari paralleli e il problema chiedesse quando e dove i musi dei due treni sono alla stessa "altezza".

Nel secondo caso, i treni si scontrano con velocita' diverse:
$dotx_1=-aV/[2a]+v_1=-v_1/2-v_2/2+v_1=v_1/2+v_2/2$
$dotx_2=aV/[2a]-v_2=v_1/2+v_2/2-v_2=v_1/2-v_2/2$

Nel terzo caso le velocita sono opposte e non necessariamente uguali in modulo dato che valgono rispettivamente

$(v_1/2-v_2/2)+-sqrt(V^2-4ad)$.

Ho frainteso qualcosa per caso?

[orsoulx]

"professorkappa":Nel secondo caso, i treni si scontrano con velocita' diverse:
$ x_1=−aV/{2a}+v_1=−v_1/2−v_2/2+v_1=v_1/2+v_2/2 $
$ x_2=aV/{2a}−v_2=v_1/2+v_2/2−v_2=v_1/2−v_2/2 $...
...Ho frainteso qualcosa per caso?

Non hai frainteso alcunché, purtroppo hai inavvertitamente invertito un segno:
$ x_1=−aV/{2a}+v_1=−v_1/2−v_2/2+v_1=v_1/2-v_2/2 $ risultato identico a quello del secondo treno.

Ciao

[professorkappa]

Che svarione stupido! Hai ragione. Quella t è il punto di contatto delle 2 parabole della legge oraria. Non possono che avere la stessa derivata e quindi la stessa velocità
Mi cosparso il capo di cenere.