Esercizio d'esame MECCANICA RAZIONALE. AIUTO!
Un'asta omogenea AB, di lunghezza L e massa m, e vincolata a rimanere su
un piano verticale mentre il suo baricentro e vincolato a muoversi lungo una
circonferenza di raggio R > L e centro O. Oltre alla forza peso dell'asta,
all'estremo A dell'asta e applicata la forza -k(A-O), dove k e una costante
positiva. Si assuma che i vincoli siano lisci.
a) Calcolare le coordinate del baricentro dell'asta rispetto al sistema
di riferimento in gura ed il momento d'inerzia del sistema rispetto
all'asse y.
b) Determinare le con gurazioni di equilibrio e le corrispondenti reazioni
vincolari.
un piano verticale mentre il suo baricentro e vincolato a muoversi lungo una
circonferenza di raggio R > L e centro O. Oltre alla forza peso dell'asta,
all'estremo A dell'asta e applicata la forza -k(A-O), dove k e una costante
positiva. Si assuma che i vincoli siano lisci.
a) Calcolare le coordinate del baricentro dell'asta rispetto al sistema
di riferimento in gura ed il momento d'inerzia del sistema rispetto
all'asse y.
b) Determinare le con gurazioni di equilibrio e le corrispondenti reazioni
vincolari.
Risposte
non ci sono indicazioni rispetto alla posizione iniziale dell'asta? e sul tipo di forza?
E, soprattutto, uno non dovrebbe postare la propria soluzione?
Perdonatemi, sono proprio le specifiche che mi chiedete che non mi permettono di impostare il problema.
Spero che potete darmi qualche dritta per partire.
Vi ringrazio
Spero che potete darmi qualche dritta per partire.
Vi ringrazio
Comincia definendo i gradi di libertà e le relative coordinate generalizzate ...
Secondo me il sistema ha due gradi di libertà, quindi posso scegliere come coordinate lagrangiane il raggio R e una volta che agisce la forza elastica l'asta si allinea con la forza poichè può ruotare attorno al baricentro, posso scegliere l'angolo che l'asta forma con l'asse delle ascisse.
Come procedo?
Come procedo?
Ok due gradi di libertà, però $R$ è costante, non può essere una coordinata ... Ok per la seconda coordinata ...
La distanza OA può variare in base alla rotazione dell'asta, ma non capisco come sfruttarla come coordinata.
Per la determinazione del baricentro ho sfruttato l'angolo, quindi G ( R cos(x) , R sin(x) ).
Per il momento d'inerzia ho calcolato il momento baricentrale I = m (l^2) /12 e sfruttando la distanza dalle ordinate con il
teorema di huygens ho trovato il momento I = m ( l^2/12 + R^2 sen^2(x).
Per la determinazione del baricentro ho sfruttato l'angolo, quindi G ( R cos(x) , R sin(x) ).
Per il momento d'inerzia ho calcolato il momento baricentrale I = m (l^2) /12 e sfruttando la distanza dalle ordinate con il
teorema di huygens ho trovato il momento I = m ( l^2/12 + R^2 sen^2(x).
Usa mathml ! è facile !
http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Poi facci capire che variabili usi (la lettera $x$ è già impegnata!).
Come fa il momento d'inerzia a dipendere da un solo angolo?
Per definire le coordinate di $A$ usa il calcolo vettoriale.
Le coordinate di $G$ (a parte l'uso improprio della $x$) è ok.
http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Poi facci capire che variabili usi (la lettera $x$ è già impegnata!).
Come fa il momento d'inerzia a dipendere da un solo angolo?
Per definire le coordinate di $A$ usa il calcolo vettoriale.
Le coordinate di $G$ (a parte l'uso improprio della $x$) è ok.
La ringrazio per il suggerimento.
$ G = ( R costheta,R sintheta) $
Le coordinate di A dovrebbero essere $ A=((R-L/2) costheta,(R-L/2)sintheta) $ , giusto?
Altrimenti, ho pensato di usare come altra coordinata l'angolo $ alpha $ tra la molla e l'asta , ma non saprei come operare..
Per quanto riguarda il momento, il mio errore sta nell'applicazione del teorema di huygens?
$ G = ( R costheta,R sintheta) $
Le coordinate di A dovrebbero essere $ A=((R-L/2) costheta,(R-L/2)sintheta) $ , giusto?
Altrimenti, ho pensato di usare come altra coordinata l'angolo $ alpha $ tra la molla e l'asta , ma non saprei come operare..
Per quanto riguarda il momento, il mio errore sta nell'applicazione del teorema di huygens?
Giusto $G$, ma per $A$ vedo solo una coordinata ... Il problema è a due gradi di libertà!
Quel teorema non lo ricordo, ho dato l'esame di MR più di quarant'anni fa (ma dammi del tu) ... il momento d'inerzia io l'ho calcolato partendo dalla definizione e facendo l'integrale ...
L'angolo fra la molla e l'asta non mi sembra una scelta naturale ...
Quel teorema non lo ricordo, ho dato l'esame di MR più di quarant'anni fa (ma dammi del tu) ... il momento d'inerzia io l'ho calcolato partendo dalla definizione e facendo l'integrale ...
L'angolo fra la molla e l'asta non mi sembra una scelta naturale ...
"gio23g":
La distanza OA può variare in base alla rotazione dell'asta, ma non capisco come sfruttarla come coordinata.
Per la determinazione del baricentro ho sfruttato l'angolo, quindi G ( R cos(x) , R sin(x) ).
Per il momento d'inerzia ho calcolato il momento baricentrale I = m (l^2) /12 e sfruttando la distanza dalle ordinate con il
teorema di huygens ho trovato il momento I = m ( l^2/12 + R^2 sen^2(x).
Scusate, mi permetto di correggere questo perchè secondo Huygens Steiner il momento d'inerzia è $I=m((l^2)/(12)+R^2)$.
Il $sen^2$ non c'entra.
Quella formula, secondo me, vale solo se l'asta è perpendicolare all'asse $y$ e $G$ si trova il più lontano possibile. Nel caso generale, $I$ dipende dagli angoli ...
Ciao Arrigo,
faccio il calcolo esplicito.
A me serve come esercizio
e anche per chiarire i dubbi.
$\rho$ è la densità lineare
$\alpha$ è l'angolo tra la sbarra "centrale" e l'asta che ruota su un suo estremo.
$ \int_(-l/2)^(l/2) [(R+x\cos\alpha)^2+x^2\sin^2\alpha] \rho\ dx$
$ = \int_(-l/2)^(l/2) [R^2+x^2\cos^2\alpha+2Rx\cos\alpha+x^2\sin^2\alpha] \rho\ dx $
$=xR^2+x^3/3+Rx^2\cos\alpha]_(-l/2)^(l/2)\ \rho$
$=mR^2+ml^2/12$
faccio il calcolo esplicito.
A me serve come esercizio
e anche per chiarire i dubbi.$\rho$ è la densità lineare
$\alpha$ è l'angolo tra la sbarra "centrale" e l'asta che ruota su un suo estremo.
$ \int_(-l/2)^(l/2) [(R+x\cos\alpha)^2+x^2\sin^2\alpha] \rho\ dx$
$ = \int_(-l/2)^(l/2) [R^2+x^2\cos^2\alpha+2Rx\cos\alpha+x^2\sin^2\alpha] \rho\ dx $
$=xR^2+x^3/3+Rx^2\cos\alpha]_(-l/2)^(l/2)\ \rho$
$=mR^2+ml^2/12$
Caro Quinzio, io avevo capito che il momento d'inerzia dell'asta $L$ andasse fatto rispetto all'asse $y$. In questo caso, fissati gli angoli che posizionano l'asta, ci si deve aspettare che $I$ dipenda da essi. Giusto?
Ma, ancora, non vedo indicati tutti e due i gradi di libertà ...
Ma, ancora, non vedo indicati tutti e due i gradi di libertà ...
Si hai ragione. Ero partito a legge la discussione e non il teso originale...
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