Esercizio densità di carica volumetrica in una sfera
Buongiorno a tutti,
avrei bisogno di aiuto per capire come poter risolvere questo esercizio che ad una prima lettura mi sembrava semplice, ma invece non so risolvere.
"Una sfera di raggio 200 mm contiene carica con densità volumetrica di carica $\rho = 2 / ( r * \sin \theta )$ $C / m^3$ . Calcolare la carica totale della sfera. "
Io so che $ \rho = (dq) / (dV) $ e che quindi $ dq = \rho * dV $ .
Io ho calcolato dV in funziine di r : $ dV = 4 * \pi * r^2 * dr $
E quindi $ dq = ( 8 * \pi * r / \sin \theta ) * dr $
Infine vorrei integrare dq in dr, ma $ \theta $ chi è? dipende da r?
Comunque il professore mi ha dato solo delle indicazioni che non capisco, ovvero che avrei dovuto integrare rispetto a dV e che sbaglio a calcolare dV.
Qualcuno può aiutarmi? grazie in anticipo!
avrei bisogno di aiuto per capire come poter risolvere questo esercizio che ad una prima lettura mi sembrava semplice, ma invece non so risolvere.
"Una sfera di raggio 200 mm contiene carica con densità volumetrica di carica $\rho = 2 / ( r * \sin \theta )$ $C / m^3$ . Calcolare la carica totale della sfera. "
Io so che $ \rho = (dq) / (dV) $ e che quindi $ dq = \rho * dV $ .
Io ho calcolato dV in funziine di r : $ dV = 4 * \pi * r^2 * dr $
E quindi $ dq = ( 8 * \pi * r / \sin \theta ) * dr $
Infine vorrei integrare dq in dr, ma $ \theta $ chi è? dipende da r?
Comunque il professore mi ha dato solo delle indicazioni che non capisco, ovvero che avrei dovuto integrare rispetto a dV e che sbaglio a calcolare dV.
Qualcuno può aiutarmi? grazie in anticipo!
Risposte
Si tratta di un densità riferita ad un sistema di coordinate sferiche $(r, phi, theta)$. In questo caso
$dV = r^2*sin(theta)*dr*d phi * d theta$
Per dettagli puoi ad es. vedere qui (fig. 7.12)
http://www.dm.unibo.it/~barozzi/SCAM/SCAM-tr.07B.pdf
Quando la $rho$ è solo dipendente da "r", allora si può integrare separamente in $theta$ e $phi$ e ottenere $dV = 4*pi*r^2 dr$
$dV = r^2*sin(theta)*dr*d phi * d theta$
Per dettagli puoi ad es. vedere qui (fig. 7.12)
http://www.dm.unibo.it/~barozzi/SCAM/SCAM-tr.07B.pdf
Quando la $rho$ è solo dipendente da "r", allora si può integrare separamente in $theta$ e $phi$ e ottenere $dV = 4*pi*r^2 dr$
Grazie mille,
avevo pensato di dover utilizzare le coordinate sferiche, ma non sapevo come.
Ho calcolato quindi ( con lo Jacobiano ) l'elemento infinitesimo di dV.
Ho calcolato $ dq = \rho * dV $ .
Per trovare poi q ho fatto l'integrale triplo di dq in $ d\rho $ , in $ d\theta $ e in $ d \phi $
credo così vada bene!
Grazie ancora!!!!
avevo pensato di dover utilizzare le coordinate sferiche, ma non sapevo come.
Ho calcolato quindi ( con lo Jacobiano ) l'elemento infinitesimo di dV.
Ho calcolato $ dq = \rho * dV $ .
Per trovare poi q ho fatto l'integrale triplo di dq in $ d\rho $ , in $ d\theta $ e in $ d \phi $
credo così vada bene!
Grazie ancora!!!!
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