Esercizio dell'Halliday
Un esercizio del classico "Halliday, Resnick, Walker":
Un punto materiale è posto sulla sommità di una calotta semisferica di raggio $R$. Comincia a scivolare con velocità iniziale trascurabile. Se non c'è attrito, a quale altezza dal suolo il punto materiale si stacca dal ghiaccio?
Ricordo che risolsi questo problema in terza liceo. Qualche giorno fa l'ho risolto un'altra volta, ma con tecniche che non credo di aver posseduto in terza liceo.
Voi come lo risolvereste?
Un punto materiale è posto sulla sommità di una calotta semisferica di raggio $R$. Comincia a scivolare con velocità iniziale trascurabile. Se non c'è attrito, a quale altezza dal suolo il punto materiale si stacca dal ghiaccio?
Ricordo che risolsi questo problema in terza liceo. Qualche giorno fa l'ho risolto un'altra volta, ma con tecniche che non credo di aver posseduto in terza liceo.
Voi come lo risolvereste?
Risposte
Si stacca quando tra punto e calotta sferica non c'è interazione, ovvero viene meno la reazione vincolare dell'appoggio
Secondo me si stacca quando la velocità diventa maggiore di quella che dovrebbe essere per un moto circolare uniforme, di cui è responsabile la componente della gravità normale alla sfera.
Mi pare che abbiate detto la stessa cosa in modi dversi. 
Grazie lo stesso. Ma volevo una soluzione che fosse comprensibile per un liceale, solo che quella che mi è venuta in mente in questi giorni va un po' oltre le competenze che si acquisiscono al liceo.
Pongo un sistema di riferimento con origine nella calotta sferica. Sia $theta$ l'angolo compreso tra il vettore $OP$ e l'asse y.
Allora $x=R sin theta, y=R cos theta$
$dot x = R dot theta cos theta , dot y = -R dot theta sin theta$
$ddot x = R[ - dot theta^2 sin theta + ddot theta cos theta] , ddot y = R[ - dot theta^2 cos theta - ddot theta sin theta]$
Le forze sono il peso $\vec P=-mg \hat j$ e la reazione vincolare $\vec N= N(sin theta \hat i + cos theta \hat j)$.
La velocità è $v=R dot theta$, ma per la conservazione dell'energia meccanica $mgR = mgR cos theta + 1/2 m v^2$.
Quindi all'istante di distacco devono valere le seguenti equazioni:
$N=0$
$\vec P + \vec N = m( ddot x \hat i + ddot y \hat j)$
$mgR = mgR cos theta + 1/2 m (R dot theta)^2$
(annullamento della reazione vincolare, seconda legge di Newton, conservazione dell'energia meccanica) che risolte rispetto a $theta$ danno $cos theta = 2/3$.
Ecco, vi sarei grato se mi diceste una soluzione in cui non si debbano saper usare le derivate.
Pongo un sistema di riferimento con origine nella calotta sferica. Sia $theta$ l'angolo compreso tra il vettore $OP$ e l'asse y.
Allora $x=R sin theta, y=R cos theta$
$dot x = R dot theta cos theta , dot y = -R dot theta sin theta$
$ddot x = R[ - dot theta^2 sin theta + ddot theta cos theta] , ddot y = R[ - dot theta^2 cos theta - ddot theta sin theta]$
Le forze sono il peso $\vec P=-mg \hat j$ e la reazione vincolare $\vec N= N(sin theta \hat i + cos theta \hat j)$.
La velocità è $v=R dot theta$, ma per la conservazione dell'energia meccanica $mgR = mgR cos theta + 1/2 m v^2$.
Quindi all'istante di distacco devono valere le seguenti equazioni:
$N=0$
$\vec P + \vec N = m( ddot x \hat i + ddot y \hat j)$
$mgR = mgR cos theta + 1/2 m (R dot theta)^2$
(annullamento della reazione vincolare, seconda legge di Newton, conservazione dell'energia meccanica) che risolte rispetto a $theta$ danno $cos theta = 2/3$.
Ecco, vi sarei grato se mi diceste una soluzione in cui non si debbano saper usare le derivate.
Non devi derivare con la soluzione che ti hanno proposto prima!
(ho considerato theta come l'angolo compreso tra OP e l'asse x)
La componente del peso normale al piano è
$ N=mgsentheta $
Dalla conservazione dell'energia meccanica hai
$ v^2=2gR(1-sentheta) $
Il momento del distacco è quello in cui la comp normale è uguale in modulo alla forza centripeta
$ mv^2/R=mgsentheta $
che sostituendo il valore di v^2 trovato prima dà
$ sentheta=2/3 $ !
(ho considerato theta come l'angolo compreso tra OP e l'asse x)
La componente del peso normale al piano è
$ N=mgsentheta $
Dalla conservazione dell'energia meccanica hai
$ v^2=2gR(1-sentheta) $
Il momento del distacco è quello in cui la comp normale è uguale in modulo alla forza centripeta
$ mv^2/R=mgsentheta $
che sostituendo il valore di v^2 trovato prima dà
$ sentheta=2/3 $ !
ho fatto proprio oggi un ex sulla calotta sferica e mi pare chiedesse tipo l angolo al quale il corpo abbandona il vincolo.
Comunque sia, l ho risolto piuttosto facilmente considerando che N = 0 è la condizione di distacco.
Posto $ mgcosalpha - N = m v^2/r $ Ti ricavi N e imponi che faccia zero.
La velocità al quadrato te la ricavi dalla cons dell energia :
$mgR=mgRcosalpha+1/2 mv^2$
dopodichè sostituisci nella condizione di distacco
$ mgcosalpha=mv^2/r $ e ti ricavi l angolo di distacco. Conoscendo l angolo, ti ricavi facilmente l altezza
Comunque sia, l ho risolto piuttosto facilmente considerando che N = 0 è la condizione di distacco.
Posto $ mgcosalpha - N = m v^2/r $ Ti ricavi N e imponi che faccia zero.
La velocità al quadrato te la ricavi dalla cons dell energia :
$mgR=mgRcosalpha+1/2 mv^2$
dopodichè sostituisci nella condizione di distacco
$ mgcosalpha=mv^2/r $ e ti ricavi l angolo di distacco. Conoscendo l angolo, ti ricavi facilmente l altezza
"IngFis":
Il momento del distacco è quello in cui la comp normale è uguale in modulo alla forza centripeta
$ mv^2/R=mgsentheta $
Questo passaggio non mi convince: non siamo in presenza di un moto circolare uniforme, quindi a essere precisi non si può parlare di forza centripeta. Secondo me l'unico modo è applicare la seconda legge della dinamica, e quindi serve calcolare l'accelerazione.
"Justine90":
Posto $ mgcosalpha - N = m v^2/r $
Stessa obiezione.
"NightKnight":
Questo passaggio non mi convince: non siamo in presenza di un moto circolare uniforme, quindi a essere precisi non si può parlare di forza centripeta. Secondo me l'unico modo è applicare la seconda legge della dinamica, e quindi serve calcolare l'accelerazione.
E chi l'ha detto? L'espressione $mv^2/R$ per la forza centripeta di un punto di massa $m$ non vale solo per moto circolare uniforme! Vale per qualunque traiettoria addirittura non solo con velocità non uniforme ma persino con traiettoria non circolare (a patto di sostituire il raggio col raggio di curvatura nel punto considerato).
Quoto...
E poichè al distacco sono coinvolte solo le componenti normali al piano ti basta considerare questa...
Ovviamente sottintendi che al momento del distacco il moto sia ancora a curvatura R, ma questa è un'ipotesi che fai anche tu quando derivi, considerando R una costante.
E poichè al distacco sono coinvolte solo le componenti normali al piano ti basta considerare questa...
Ovviamente sottintendi che al momento del distacco il moto sia ancora a curvatura R, ma questa è un'ipotesi che fai anche tu quando derivi, considerando R una costante.
"Faussone":
[quote="NightKnight"]
Questo passaggio non mi convince: non siamo in presenza di un moto circolare uniforme, quindi a essere precisi non si può parlare di forza centripeta. Secondo me l'unico modo è applicare la seconda legge della dinamica, e quindi serve calcolare l'accelerazione.
E chi l'ha detto? L'espressione $mv^2/R$ per la forza centripeta di un punto di massa $m$ non vale solo per moto circolare uniforme! Vale per qualunque traiettoria addirittura non solo con velocità non uniforme ma persino con traiettoria non circolare (a patto di sostituire il raggio col raggio di curvatura nel punto considerato).[/quote]Quoto
finchè la massa scivola lungo la calotta sferica, si muove di moto circolare ... non ci sono scusanti
su questo punto sono piuttosto sicuro perchè avevo gli appunti del mio prof di fisica davanti xD
su questo punto sono piuttosto sicuro perchè avevo gli appunti del mio prof di fisica davanti xD
Ok. Ho capito 
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