Esercizio corrente indotta su una spira
Salve, nuova festività nuovo esercizio! Spero possa essere d'aiuto per altri che stanno preparando fisica 2 :] Bando alle ciance, riporto il testo qua sotto:
Nel vuoto due spire circolari metalliche, complanari e concentriche, hanno raggio $r_i = 0,0185 m$ e $r_e =
0,422 m$. Nella spira di raggio $r_i$ scorre una corrente variabile nel tempo con la legge $I(t) = Acos(\omegat)$, con $A = 48,4 Ampere $ e $\omega = 107 s^{-1}$. Determinare la resistenza, in milli-ohm, della spira di raggio $r_e$ se il valore massimo della corrente in essa indotta vale $I_{max} = 0,0446 A$ (si trascuri il coefficiente di autoinduzione della spira di raggio $r_e$.
Ho proceduto scrivendo la legge di Ohm per la spira esterna $R \cdot I_e(t)=fem$. Calcolo la fem indotta con la Faraday, usando il campo magnetico al centro di una spira $B=\frac{\mu_0 I(t)}{2 r_i}$:
\[ fem=-\frac{d\Phi(B_{int})}{dt}=-\frac{d}{dt}[\frac{\mu_0Acos(\omega t)\pi(r_e)^2}{2r_i}]=\frac{\mu_0 A (r_e)^2\pi \omega sin(\omega t)}{2r_i} \]
\[ \Rightarrow I_e(t)=\frac{\mu_0 A (r_e)^2\pi \omega sin(\omega t)}{2r_i} \cdot \frac{1}{R} \]
Trovo il tempo al quale circola la massima corrente sulla spira esterna ponendo la sua derivata uguale a zero:
\[ I_e'(t^*)=Kcos(\omega t^*)=0 \Leftrightarrow t^*=\frac{\pi}{2\omega}+k\pi \]
Quindi si ha \[ I_e(t^*)=I_{max}=\frac{\mu_0 A (r_e)^2\pi \omega sin(\omega t^*)}{2r_i} \cdot \frac{1}{R} \]
Dato che \[ sin(\omega t^*)=1 \]
\[ \Rightarrow R=\frac{\mu_0 A (r_e)^2\pi \omega sin(\omega t^*)}{2r_i}\frac{1}{I_{max}}=2,20\cdot 10^{-3} milliohm \]
I risultati possibili sono: A)0 | B) 0,186 | C) 0,366 | D) 0,546 | E) 0,726 | F) 0,906
Qualcuno ha scovato il mio errore? Grazie per aver letto! ^^
Nel vuoto due spire circolari metalliche, complanari e concentriche, hanno raggio $r_i = 0,0185 m$ e $r_e =
0,422 m$. Nella spira di raggio $r_i$ scorre una corrente variabile nel tempo con la legge $I(t) = Acos(\omegat)$, con $A = 48,4 Ampere $ e $\omega = 107 s^{-1}$. Determinare la resistenza, in milli-ohm, della spira di raggio $r_e$ se il valore massimo della corrente in essa indotta vale $I_{max} = 0,0446 A$ (si trascuri il coefficiente di autoinduzione della spira di raggio $r_e$.
Ho proceduto scrivendo la legge di Ohm per la spira esterna $R \cdot I_e(t)=fem$. Calcolo la fem indotta con la Faraday, usando il campo magnetico al centro di una spira $B=\frac{\mu_0 I(t)}{2 r_i}$:
\[ fem=-\frac{d\Phi(B_{int})}{dt}=-\frac{d}{dt}[\frac{\mu_0Acos(\omega t)\pi(r_e)^2}{2r_i}]=\frac{\mu_0 A (r_e)^2\pi \omega sin(\omega t)}{2r_i} \]
\[ \Rightarrow I_e(t)=\frac{\mu_0 A (r_e)^2\pi \omega sin(\omega t)}{2r_i} \cdot \frac{1}{R} \]
Trovo il tempo al quale circola la massima corrente sulla spira esterna ponendo la sua derivata uguale a zero:
\[ I_e'(t^*)=Kcos(\omega t^*)=0 \Leftrightarrow t^*=\frac{\pi}{2\omega}+k\pi \]
Quindi si ha \[ I_e(t^*)=I_{max}=\frac{\mu_0 A (r_e)^2\pi \omega sin(\omega t^*)}{2r_i} \cdot \frac{1}{R} \]
Dato che \[ sin(\omega t^*)=1 \]
\[ \Rightarrow R=\frac{\mu_0 A (r_e)^2\pi \omega sin(\omega t^*)}{2r_i}\frac{1}{I_{max}}=2,20\cdot 10^{-3} milliohm \]
I risultati possibili sono: A)0 | B) 0,186 | C) 0,366 | D) 0,546 | E) 0,726 | F) 0,906
Qualcuno ha scovato il mio errore? Grazie per aver letto! ^^
Risposte
"fede_1_1":
... Qualcuno ha scovato il mio errore?
Certo che sì.
Il tuo errore è già presente nella determinazione iniziale del flusso.
Innanzitutto ti ringrazio ancora! ^^ Credo di aver capito cosa intendi, vediamo quanto ci vado vicino 
Procedo con il calcolo del coefficiente di mutuainduzione:
\[ \Phi_{int}(B_{ext})=\frac{\mu_0I_{ext}\pi r_i^2}{2r_e} \Rightarrow \: \: \: M=\frac{\mu_0 \pi r_i^2}{2r_e} \]
Sfrutto la definizione di tale coefficiente per trovare il flusso:
\[ \Phi_{ext}(B_{int})=MI_{int}=\frac{\mu_0 \pi r_i^2Acos(\omega t)}{2 r_e} \]
Procedo esattamente come ho esposto all'apertura dell'argomento:
\[ R=\frac{\mu_0 \pi r_i^2 A \omega}{2 r_e I_{max}}=0.186 m\Omega \]
Ho mancato qualcosa? Grazie anche per il fatto che non spari subito la risposta ma mi ci hai fatto un po' ragionare
Procedo con il calcolo del coefficiente di mutuainduzione:
\[ \Phi_{int}(B_{ext})=\frac{\mu_0I_{ext}\pi r_i^2}{2r_e} \Rightarrow \: \: \: M=\frac{\mu_0 \pi r_i^2}{2r_e} \]
Sfrutto la definizione di tale coefficiente per trovare il flusso:
\[ \Phi_{ext}(B_{int})=MI_{int}=\frac{\mu_0 \pi r_i^2Acos(\omega t)}{2 r_e} \]
Procedo esattamente come ho esposto all'apertura dell'argomento:
\[ R=\frac{\mu_0 \pi r_i^2 A \omega}{2 r_e I_{max}}=0.186 m\Omega \]
Ho mancato qualcosa? Grazie anche per il fatto che non spari subito la risposta ma mi ci hai fatto un po' ragionare
Centro perfetto! Complimenti. 
Sparare le risposte, a volte anche complete di tutti i passaggi, come vedo spesso fare, ritengo sia dannoso se si vuole veramente aiutare qualcuno nei suoi dubbi risolutivi.
Sparare le risposte, a volte anche complete di tutti i passaggi, come vedo spesso fare, ritengo sia dannoso se si vuole veramente aiutare qualcuno nei suoi dubbi risolutivi.
La soluzione è ovviamente approssimata, ma cos'è che la rende accettabile?
"RenzoDF":
La soluzione è ovviamente approssimata, ma cos'è che la rende accettabile?
Mhh non saprei di preciso, forse il fatto che $M_{12}=M_{21}$? O forse il fatto che la forza elettromotrice autoindotta è molto minore di quella indotta dal campo magnetico, soprattutto per tempi discosti dall'istante iniziale?
"fede_1_1":
... forse il fatto che $M_{12}=M_{21}$? ...
Questa uguaglianza è proprio il "trucco" che ci permette di determinare nel modo più semplice il coefficiente di mutua induzione (via $M_{21}$)[nota]Sarebbe terribilmente più difficile determinare direttamente $M_{12}$
[/nota], ma il calcolo del flusso attraverso la spira interna, dovuto al campo dell'esterna è comunque approssimato, in quanto usiamo il campo al suo centro; è un calcolo accettabile solo perché \(r_i\ll r_e\) e di conseguenza sulla superficie della spira interna il campo magnetico dell'esterna è approssimabile con quello nel suo punto centrale.Ovviamente anche l'ipotesi di poter trascurare il coefficiente di autoinduzione indicata nel testo è importante, perché anche quel coefficiente sarebbe di difficile determinazione, e in questo caso impossibile visti i dati forniti.
Ah giusto! Così per curiosità, ma se non fosse $r_i$<<$r_e$, sarebbe necessario calcolare il campo magnetico fuori dall'asse di una spira (ma sempre sul suo stesso piano)? Sarebbe un casino assurdo oppure potrebbe capitare in qualche esercizio di media difficoltà?
Ciao fede_1_1
In generale per fare questo tipo di conti si usa la formula di Neumann che conduce a dover fare degli integrali doppi alquanto complessi.
Se sei interessato al risultato esatto lo puoi trovare ad esempio qui:
https://www.hindawi.com/journals/apec/2014/951624/
Di sicuro non capita in esercizi normali!
In generale per fare questo tipo di conti si usa la formula di Neumann che conduce a dover fare degli integrali doppi alquanto complessi.
Se sei interessato al risultato esatto lo puoi trovare ad esempio qui:
https://www.hindawi.com/journals/apec/2014/951624/
Di sicuro non capita in esercizi normali!
"ingres":
... Se sei interessato al risultato esatto ...
Quel risultato è in ogni caso approssimato.
"ingres":
... Di sicuro non capita in esercizi normali!
Vista la presenza di integrali ellittici, risolvibili solo numericamente, direi che non capiterà (quasi[nota]Se non per un "errore" dell'estensore del testo.
[/nota]) mai di doverli affrontare in un tema d'esame, di tutte le H-demie del regno.
"ingres":
... Di sicuro non capita in esercizi normali!
Che sollievo
Comunque molto interessante, grazie per la chicca ragazzi!
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