Esercizio: Conservazione dell'energia

[tyusa]

Salve,
è da un pò che sono bloccato su questo esercizio... qualcuno sa dove sbaglio?

Un corpo di massa \(m=1.2 kg \) scivola lungo un piano inclinato alto \(1m \) e lungo \( 8m\). Trovare:
a) L'energia cinetica del corpo alla base del piano.
b) La velocità alla base del piano
c) Il cammino percorso in direzione orizzontale dal corpo prima di fermarsi.
Il coefficiente di attrito dinamico è 0.05.
\([a) 7J, b)3.4 m/s, c)11.9m ]\)

a) Considero il punto Q alla base del piano e il punto K in cima. Imposto:
\(-1/2mV_Q+mgZ_k=W_kq\)
\(-1/2mV_Q+mgZ_k=-F_a*ds\)
\(-1/2mV_Q+mgZ_k=-\mu_dmg*ds\) con \(ds= \) spostamento lungo il piano inclinato \(=(8^2+1^2)^{1/2} =8.06\) che è anche uguale a\(Z_k \).

\(-1/2V_Q+gZ_k=-\mu_dg*8.06\)
\(1/2V_Q=+\mu_dg*8.06+gZ_k \)
\(1/2V_Q=0.05*9.81*8.06+9.81*8.06=3.95+79.06\) e qua mi blocco.....

Che sbaglio? Grazie...

[Sk_Anonymous]

Diciamo $\theta$ l'angolo formato dal piano, $h$ la sua altezza, $d$ la sua base e $l$ la sua lunghezza.
Dalla conservazione dell'energia (ti sei scordato un quadrato), hai
\[mgh-\frac{1}{2}mv^2=W\]
dove \(W=F_{attrito} l\) (e non $ds$, che è una notazione da infinitesimi!).
E fin qui ci eri arrivato. Ora prova ad andare avanti senza sbagliare i conti, mettendoci il quadrato e con le corrette definizioni trigonometriche. In spoiler la soluzione del punto a.

\[W_{attrito}=\mu m g \cos{\theta} l\]
\[l=\sqrt{d^2+h^2}\]
\[\cos{\theta}=\frac{d}{l}=\frac{d}{\sqrt{d^2+h^2}}\]
\[W=\mu m g \frac{d}{\sqrt{d^2+h^2}} \sqrt{d^2+h^2}\]
\[\frac{1}{2}mv^2-mgh=-\mu m g d\]
\[\frac{1}{2}mv^2=mg(h-\mu d)=1.2kg\cdot 9.81\frac{m}{s^2}\cdot (1m-0.05\cdot 8m)=7.06J\]

Ti ricordo anche di non scrivere mai dei risultati, anche se parziali, senza le opportune unità di misura. Molti professori considerano esercizi scritti in questo modo sbagliati anche se concettualmente giusti!

[tyusa]

Grazie,
fino a qui; tutto chiaro. Per il punto b) non c'è problema, mentre il punto c) non l'ho capito...

[Sk_Anonymous]

Tu conosci l'energia cinetica alla base del piano (già calcolata) e l'energia cinetica alla fine della corsa (si ferma, dunque $0J$), e puoi calcolarti il lavoro compiuto dall'attrito durante il tratto orizzontale. Avrai un'equazione di primo grado in $s$ (dove con $s$ intendo lo spazio percorso prima di fermarsi).

[tyusa]

cosi intendi?
\(E_{k{base}}+[-0]-F_{att}=0 \)

\(E_{k{base}}=F_{att} \)

\(7.06J=\mu_{d}mgs \)

\(s=\frac{7.06J}{\mu_dmg}=\frac{7.06J}{0.05*1.2Kg*9.81\frac{m}{s^2}}=11.9m\)
Il risultato torna, sperando non sia un caso...

[Sk_Anonymous]

"tyusa":cosi intendi?
\(E_{k{base}}+[-0]-F_{att}=0 \)

L'idea, credo, c'è... Ma qui tu è come se stessi scrivendo che un'energia è uguale ad una forza... Insomma, anche la correttezza formale e la coerenza logica dei passaggi algebrici sono importanti.

\(s=\frac{7.06J}{\mu_dmg}=\frac{7.06J}{0.05*1.2Kg*9.81\frac{m}{s^2}}=11.9m\)

È giusto, ma non è coerente con la formula (sbagliata) sopra.
Un'altra cosa. Inserisci i numeri come quel $7.06J$ solo alla fine, e non durante l'esercizio. Insomma, io avrei preferito un \(s=\frac{E_{kbase}}{\mu_dmg}=\frac{7.06J}{0.05*1.2Kg*9.81\frac{m}{s^2}}=11.9m\).

[chiaraotta1]

"giuliofis":......
\[F_{attrito}=\mu m g \cos{\theta} l\]
....

Mi pare che ci sia un errore ...

[Sk_Anonymous]

"chiaraotta":[quote="giuliofis"]......
\[F_{attrito}=\mu m g \cos{\theta} l\]
....

Mi pare che ci sia un errore ...[/quote]
Hai ragione, ho scritto $F$ al posto di $W$.
Forse si spiega da qui l'errore commesso da tyusa successivamente.

[tyusa]

Ok, grazie per la soluzione e per i consigli....