Esercizio condensatore con dielettrico

[BRN1]

Ciao a tutti, sto incominciando ad esercitarmi per l'esame di elettromagnetismo dopo aver reperito qualche vecchio testo d'esame, ma senza avere soluzioni e tantomeno lo svolgimento. Vi posto l'esercizio con la mia soluzione e gradirei che qualche anima pia mi dicesse se è corretto o mano quanto ho fatto.

Esercizio:
Il condensatore C1 ha capacità C1 = 6 pF, le armature sono a distanza d = 1 mm ed e’ vuoto. Nel condensatore C2 (in serie a C1) , le cui armature hanno le stesse dimensioni di quelle di C1 e distanza d= 2 mm, e’ inizialmente inserito un dielettrico di costante dielettrica relativa $epsilon_r = 4$. I due condensatori sono collegati in serie ad un generatore che fornisce una f.e.m costante f = 12 V. Mantenendo il generatore collegato, viene in seguito estratto completamente il dielettrico dal condensatore C2. Calcolare:
1. la carica libera e la carica di polarizzazione in C2 e la d.d.p. ai capi di ciascun condensatore nello stato iniziale
2. la d.d.p. e i valori del campo elettrico E nei due condensatori nello stato finale
3. la variazione di energia elettrostatica del sistema e il lavoro fatto dal generatore.

Il mio svolgimento:
1)
$ C1=epsilon_0S/d_1 rArr S=C1d_1/epsilon_0 $

le armature di C2 hanno le stesse dimension i di quelle di C1, quindi
$ C2=epsilon_r epsilon_0S/d_2 = epsilon_r (C1)/2 $

inoltre $ C_(eq)=(C1C2)/(C1+C2) $

considerando che la carica su ogni condensatore è la medesima, cerco le cariche libere:
$ Q=Delta VC_(eq)=(C1epsilon_r)/(2+epsilon_r) rArr sigma=Q/S=(C1epsilon_r)/(S(2+epsilon_r)) $

le cariche di polarizzazione sono date da:
$ sigma_p=-(epsilon_r-1)/epsilon_r sigma $

cerco le ddp ai capi dei condensatori:
$ DeltaV_1=Q/(C1); DeltaV_2=Q/(C2); DeltaV=Q/C_(eq) $

$ Q/Q=(DeltaVC_(eq))/(DeltaV_1C1) rArr DeltaV_1=DeltaVC_(eq)/(C1) $

allo stesso modo per C2:
$ DeltaV_2=DeltaVC_(eq)/(C2) $

2)
dopo l'estrazione del dielettrico, C1 e le cariche sulle armature rimangono invariati. Varia solo C2 e di conseguenza $C_(eq)$
$ C2=epsilon_0S/(2d) $

e come per il punto 1) ottengo:
$ DeltaV_1=DeltaVC_(eq)/(C1) $
$ DeltaV_2=DeltaVC_(eq)/(C2) $

per il campo elettrico in C1:
$ E_0=sigma/epsilon_0hat(n) = Q/(epsilon_0S) hat(n) =(DeltaV_1)/d $

per il campo elettrico in C2:
$ E_0=sigma/epsilon_0hat(n) = Q/(epsilon_0S) hat(n) =((DeltaV_2)C2)/(C1d) $

3)
con il dielettrico inserito in C2, l'energia del sistema è pari a:
$ U_i=1/2Q^2/C_(eq)=(Q^2d(2+epsilon_r))/(epsilon_r epsilon_0 S) $

avendo
$ C_(eq)=(epsilon_r epsilon_0 S)/(2d(2+epsilon_r)) $

dopo l'estrazione del dielettrico:
$ U_f=1/2Q^2/C_(eq)=(3Q^2d)/( epsilon_0 S) $

con $ C_(eq)=(epsilon_0 S)/(6d) $

segue che:
$ DeltaU=U_f-U_i=(Q^2d(2epsilon_r-2))/(epsilon_r epsilon_0S) $

infine il lavoro svolto dal generatore lo si ricava semplicemente da:
$ W_f=DeltaVDeltaQ $

Scusate la lunghezza del post e se non ho svolto i conti, però a me interessa di più lo svolgimento.

Ringrazio chiunque esprime un suo commento!

.BRN