Esercizio conclusivo meccanica del punto materiale (tutto)
Testo
Un corpo approssimabile ad un punto materiale di massa m=6g viene lasciato scivolare lungo un piano inclinato, inizialmente la sua velocità è zero. L'angolo fra il piano e la base è di 45°, la base e l'altezza sono di 16 cm.
Alla fine del piano inclinato, il corpo percorre in piano di 18,5cm in 25s e alla fine si ferma.
Sia il piano inclinato, sia la parte in piano successiva non sono lisce quindi è presente una forza di attrito dinamico.
Entrambe le superfici hanno stesso coefficente di attrito, verificarlo e determinarlo numericamente
------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------
Risoluzione
Comincio dalla parte in piano.
La forza di attrito dinamico è una forza costante quindi anche la decelerazione che causa sul corpo è costante.
Quindi posso determinare la velocità iniziale e la decelerazione attraverso il sistema:
$x-x_0=v_0*t+(a*t^2)/2
$v=v_0+a*t$
Il sistema è formato da due equazioni ed è in due incognite, quindi lo risolvo
Ottengo:
$v_0=14,8*10^-3 m/s$
$a=-5,92*10^-4 m/s^2$
Ora metto in relazione l'accelerazione con la forza che l'ha causata: la forza di attrito attraverso la II legge di Newton.
$\vec P + \vec N + \vec F_a = m*a$
Scompongo nelle componenti x e y.
x: $-F_a = m*a$
y: $N-P = 0$
x: $-\mu_d * N = m*a$
y: $ N = P = m*g$
da cui ottengo $\mu_d = 6,04 * 10^-5$
-----------------------------------------
Passo alla discesa lungo il piano inclinato:
Quando il corpo scende, l'energia cinetica aumenta, l'energia potenziale gravitazionale diminuisce, però bisogna tenere conto che agisce la forza di attrito che è una forza non conservativa. Il sistema è isolato.
Quindi posso usare il principio di conservazione dell'energia esteso.
0 = differenza di energia meccanica + forza di attrito per spostamento
$0 = \Delta E_(mecc) + F_a*d$
$0 = (K + U) - (K_0 + U_0) + F_a*d$
$K=(m*v^2)/2$ , con v uguale alla velocità ottenuta precedentemente, $v=14,8*10^-3 m/s$
$K_0 = 0$ poichè il corpo parte da fermo
$U=0$
$U_0=m*g* h$ , altezza=h=16 cm
Poichè la base e l'altezza sono uguali, lo spostamento d = altezza per radice di 2
Sostituisco e ottengo:
$0 = (m*v^2)/2 - m*g*h + F_a*h*sqrt(2)$
$F_a*h*sqrt(2) = -(m*v^2)/2 + m*g*h$
$\mu_d * N * h * sqrt(2) = -(m*v^2)/2 + m*g*h$
Siccome il corpo scende lungo il piano inclinato, la normale N non è m per g, ma m per g per il seno o il coseno di pigreco quarti.
$\mu_d * m * g * h = -(m*v^2)/2 + m*g*h$
Da cui ottengo il coefficiente di attrito che è $0,99$
----------------------------
EDIT:
Ci sono state 25 consultazioni e nessuna risposta.
Ditemi se almeno è giusto concettualmente.
Anche senza guardare i singoli calcoli.
Grazie!
Un corpo approssimabile ad un punto materiale di massa m=6g viene lasciato scivolare lungo un piano inclinato, inizialmente la sua velocità è zero. L'angolo fra il piano e la base è di 45°, la base e l'altezza sono di 16 cm.
Alla fine del piano inclinato, il corpo percorre in piano di 18,5cm in 25s e alla fine si ferma.
Sia il piano inclinato, sia la parte in piano successiva non sono lisce quindi è presente una forza di attrito dinamico.
Entrambe le superfici hanno stesso coefficente di attrito, verificarlo e determinarlo numericamente
------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------
Risoluzione
Comincio dalla parte in piano.
La forza di attrito dinamico è una forza costante quindi anche la decelerazione che causa sul corpo è costante.
Quindi posso determinare la velocità iniziale e la decelerazione attraverso il sistema:
$x-x_0=v_0*t+(a*t^2)/2
$v=v_0+a*t$
Il sistema è formato da due equazioni ed è in due incognite, quindi lo risolvo
Ottengo:
$v_0=14,8*10^-3 m/s$
$a=-5,92*10^-4 m/s^2$
Ora metto in relazione l'accelerazione con la forza che l'ha causata: la forza di attrito attraverso la II legge di Newton.
$\vec P + \vec N + \vec F_a = m*a$
Scompongo nelle componenti x e y.
x: $-F_a = m*a$
y: $N-P = 0$
x: $-\mu_d * N = m*a$
y: $ N = P = m*g$
da cui ottengo $\mu_d = 6,04 * 10^-5$
-----------------------------------------
Passo alla discesa lungo il piano inclinato:
Quando il corpo scende, l'energia cinetica aumenta, l'energia potenziale gravitazionale diminuisce, però bisogna tenere conto che agisce la forza di attrito che è una forza non conservativa. Il sistema è isolato.
Quindi posso usare il principio di conservazione dell'energia esteso.
0 = differenza di energia meccanica + forza di attrito per spostamento
$0 = \Delta E_(mecc) + F_a*d$
$0 = (K + U) - (K_0 + U_0) + F_a*d$
$K=(m*v^2)/2$ , con v uguale alla velocità ottenuta precedentemente, $v=14,8*10^-3 m/s$
$K_0 = 0$ poichè il corpo parte da fermo
$U=0$
$U_0=m*g* h$ , altezza=h=16 cm
Poichè la base e l'altezza sono uguali, lo spostamento d = altezza per radice di 2
Sostituisco e ottengo:
$0 = (m*v^2)/2 - m*g*h + F_a*h*sqrt(2)$
$F_a*h*sqrt(2) = -(m*v^2)/2 + m*g*h$
$\mu_d * N * h * sqrt(2) = -(m*v^2)/2 + m*g*h$
Siccome il corpo scende lungo il piano inclinato, la normale N non è m per g, ma m per g per il seno o il coseno di pigreco quarti.
$\mu_d * m * g * h = -(m*v^2)/2 + m*g*h$
Da cui ottengo il coefficiente di attrito che è $0,99$
----------------------------
EDIT:
Ci sono state 25 consultazioni e nessuna risposta.
Ditemi se almeno è giusto concettualmente.
Anche senza guardare i singoli calcoli.
Grazie!
Risposte
Non vorrei dire una sciocchezza, ma io conosco un teorema, chiamato "teorema lavoro-energia", secondo il quale il lavoro compiuto da forze esterne (in questo caso l'attrito) è uguale alla somma delle variazioni di Ec e U (in formula si ha L=deltaEc+deltaU)
Tu hai scritto 0=(K+U)-(K0+U0)+L dove L è il lavoro della forza di attrito (cioè Fa*d)
Svolgendo i calcoli, però, si ha:
0=K+U-K0-U0+L
L=K0-K+U0-U
L=-deltaEc-deltaU
cioè il teorema lavoro-energia non è corretto, in quanto il secondo membro è cambiato di segno. Non ho controllato i calcoli: vedi un pò se applicando la formula che ti ho proposto ti trovi.
La prima parte, invece, mi sembra concettualmente corretta.
Tu hai scritto 0=(K+U)-(K0+U0)+L dove L è il lavoro della forza di attrito (cioè Fa*d)
Svolgendo i calcoli, però, si ha:
0=K+U-K0-U0+L
L=K0-K+U0-U
L=-deltaEc-deltaU
cioè il teorema lavoro-energia non è corretto, in quanto il secondo membro è cambiato di segno. Non ho controllato i calcoli: vedi un pò se applicando la formula che ti ho proposto ti trovi.
La prima parte, invece, mi sembra concettualmente corretta.
Semplificando il discorso che ho fatto, in breve posso dire che (secondo me) è giusto scrivere Fa*d=deltaEmec, e non Fa*d+deltaEmec=0
"VINX89":
Non vorrei dire una sciocchezza, ma io conosco un teorema, chiamato "teorema lavoro-energia", secondo il quale il lavoro compiuto da forze esterne (in questo caso l'attrito) è uguale alla somma delle variazioni di Ec e U (in formula si ha L=deltaEc+deltaU)
Tu hai scritto 0=(K+U)-(K0+U0)+L dove L è il lavoro della forza di attrito (cioè Fa*d)
Svolgendo i calcoli, però, si ha:
0=K+U-K0-U0+L
L=K0-K+U0-U
L=-deltaEc-deltaU
cioè il teorema lavoro-energia non è corretto, in quanto il secondo membro è cambiato di segno. Non ho controllato i calcoli: vedi un pò se applicando la formula che ti ho proposto ti trovi.
La prima parte, invece, mi sembra concettualmente corretta.
Il teorema lavoro-energia dice che il lavoro compiuto da una forza su un corpo è uguale alla variazione di energia cinetica del corpo.
$L= \DeltaK$
"VINX89":
Semplificando il discorso che ho fatto, in breve posso dire che (secondo me) è giusto scrivere Fa*d=deltaEmec, e non Fa*d+deltaEmec=0
Il principio di conservazione dell'energia vale solo se le forze che agiscono nel sistema sono conservative e se sul sistema non agisce alcuna forza esterna.
$ \DeltaK = -\DeltaU$
Questo non si può applicare perchè nel sistema dell'esercizio agisce anche la forza di attrito che non è conservativa.
----------------
Quindi bisogna usare il principio di conservazione dell'energia nel caso in cui agiscano forze esterne sul sistema e le forze del sistema non siano tutte conservative.
lavoro forza esterna = delta K + delta U + forza di attrito per spostamento
$ L = \DeltaK + \DeltaU + F_a*d$
Poichè nell'esercizio non agiscono forze esterne sul sistema corpo m - Terra, L=0. Da cui si ottiene:
$ \DeltaK + \DeltaU + F_a*d = 0$
Ciao.
Il procedimento mi sembra corretto (non mi sono messo a fare i conti, però).
Una cosa: tu trovi due diversi coefficienti d'attrito.
Ma allora perché il testo dice che
?
Ciao.
Il procedimento mi sembra corretto (non mi sono messo a fare i conti, però).
Una cosa: tu trovi due diversi coefficienti d'attrito.
Ma allora perché il testo dice che
Entrambe le superfici hanno stesso coefficiente di attrito,
?
Ciao.
"Steven":
Ciao.
Il procedimento mi sembra corretto (non mi sono messo a fare i conti, però).
Una cosa: tu trovi due diversi coefficienti d'attrito.
Ma allora perché il testo dice che
Entrambe le superfici hanno stesso coefficiente di attrito,
?
Ciao.
Anche a me il procedimente pare corretto.
Probabilmente avrò sbagliato qualcosa con i calcoli.
Grazie!
Ma la forza di attrito non si può considerare "esterna"?
Ragazzi non fate casino con la conservazione dell'energia...
La più generale forma che esprime questo fatto è indubbiamente il primo principio della termodinamica generalizzato, ma solitamente per la meccanica è un po' troppo... (passatemela su...
)
Ma che dice il th. delle forze vive? che il lavoro fatto da TUTTE le forze (interne ed esterne attive e reattive, ecc) è uguale alla variazione di energia cinetica del sistema; visto poi che alcune delle forze presenti potrebbero esser conservative e che si sa che il lavore fatto da queste è uguale a meno la differenza di potenziale, allora si può scrivere...:
$L_{nc}=\DeltaK+\DeltaU$, (nc sta per non conservative) da cui anche il principio di conservazione dell'energia meccanica: in quel caso il lavoro delle forze non conservative è 0, da cui...
L'importante, anzi importantissimo è che ci vanno contate anche le forze interne mi raccomando...
Ad esempio se si prendono due masse uguali su un piano orizzontale senza attrito, collegate da una molla allungata di un certo valore $\Deltax$ e poi si lascia il sistema libero, cosa succede? Le forze esterne come sono? che lavoro fanno??
La più generale forma che esprime questo fatto è indubbiamente il primo principio della termodinamica generalizzato, ma solitamente per la meccanica è un po' troppo... (passatemela su...
)Ma che dice il th. delle forze vive? che il lavoro fatto da TUTTE le forze (interne ed esterne attive e reattive, ecc) è uguale alla variazione di energia cinetica del sistema; visto poi che alcune delle forze presenti potrebbero esser conservative e che si sa che il lavore fatto da queste è uguale a meno la differenza di potenziale, allora si può scrivere...:
$L_{nc}=\DeltaK+\DeltaU$, (nc sta per non conservative) da cui anche il principio di conservazione dell'energia meccanica: in quel caso il lavoro delle forze non conservative è 0, da cui...
L'importante, anzi importantissimo è che ci vanno contate anche le forze interne mi raccomando...
Ad esempio se si prendono due masse uguali su un piano orizzontale senza attrito, collegate da una molla allungata di un certo valore $\Deltax$ e poi si lascia il sistema libero, cosa succede? Le forze esterne come sono? che lavoro fanno??
Giusto! Siccome non ricordavo bene quel teorema ho erroneamente confuso il lavoro delle "forze esterne" con quello delle "forze dissipative"!
Però sull'Halliday-Resnick-Walker viene dimostrato che il lavoro di una forza F esterna al sistema in cui agisce anche una forza di attrito $F_k$ è uguale alla variazione di energia meccanica più la forza di attrito moltiplicata per lo spostamento.
Dimostrazione
Considero il sistema blocco di massa m e una superficie piana.
Tra il blocco e la superficie agisce una forza di attrito $F_k$.
Il blocco viene tirato da una forza F esterna al sistema che causa un'accelerazione a. Il blocco si muove per una lunghezza d.
Applicando la seconda legge di Newton si ottiene che:
$F - F_k = m*a$
$a= (v - v_0)/(2d)$
$F - F_k = m*a = m*(v - v_0)/(2d)$
Da cui si ottiene:
$ F*d - F_k*d = (m*v^2)/2 - (m*v_0^2)/2$
$ F*d = F_k*d + (m*v^2)/2 - (m*v_0^2)/2$
$ L = \DeltaK + F_k*d$
Se il blocco si muovesse lungo un piano inclinato, l'azione della forza causerebbe anche una variazione dell'energia potenziale, quindi si può riscrivere la formula ottenuta sopra in maniera più generale:
$ L = \DeltaK + \DeltaU + F_k*d$
Dimostrazione
Considero il sistema blocco di massa m e una superficie piana.
Tra il blocco e la superficie agisce una forza di attrito $F_k$.
Il blocco viene tirato da una forza F esterna al sistema che causa un'accelerazione a. Il blocco si muove per una lunghezza d.
Applicando la seconda legge di Newton si ottiene che:
$F - F_k = m*a$
$a= (v - v_0)/(2d)$
$F - F_k = m*a = m*(v - v_0)/(2d)$
Da cui si ottiene:
$ F*d - F_k*d = (m*v^2)/2 - (m*v_0^2)/2$
$ F*d = F_k*d + (m*v^2)/2 - (m*v_0^2)/2$
$ L = \DeltaK + F_k*d$
Se il blocco si muovesse lungo un piano inclinato, l'azione della forza causerebbe anche una variazione dell'energia potenziale, quindi si può riscrivere la formula ottenuta sopra in maniera più generale:
$ L = \DeltaK + \DeltaU + F_k*d$
Ovvio è corretto perchè non ci sono forze interne in quel sistema... il lavoro fatto dall'attrito lo puoi vedere in tanti modi... o come lavoro fatto sul sistema da una forza esterna, o anche come calore uscente dal sistema...
In ogni caso quello che hai scritto è lo stesso che ti ho detto nel messaggio precedente, no?
Seguendo il mio ragionamento avresti:
$L-F_k\cdot d=\DeltaK+\DeltaU$, poi è semplice veder che è la stessa cosa...
Ma se per esempio nel blocchetto esterno ci fosse una scanalatura su cui è libera di scorrere senza attrito una seconda massettina, magari collegata a quello esterno tramite una molla nota, allora....
In ogni caso quello che hai scritto è lo stesso che ti ho detto nel messaggio precedente, no?
Seguendo il mio ragionamento avresti:
$L-F_k\cdot d=\DeltaK+\DeltaU$, poi è semplice veder che è la stessa cosa...
Ma se per esempio nel blocchetto esterno ci fosse una scanalatura su cui è libera di scorrere senza attrito una seconda massettina, magari collegata a quello esterno tramite una molla nota, allora....
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo