Esercizio con urto anelastico
Salve,
ieri ho avuto l'esame scritto di Fisica I è nel primo esercizio non ho saputo metterci mano.
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Un'asta sottile di massa $m_1=5.0 Kg$ e lunghezza $L=1.0 m$, fissa nel suo estremo $A$ viene abbandonata da una posizione formante con la verticale un angolo $θ_0=pi/3 rad$. Essa urta anelasticamente una pallina puntiforme di massa $m_2=2.0 Kg$, inizialmente ferma e tenuta in posizione verticale da un filo inestensibile e di massa trascurabile, della stessa lunghezza dell'asta fissato anch'esso in $A$.
Sapendo che dopo l'urto la massima elongazione del filo e della pallina è $θ_2=1.0 rad$, determinare:
a) La variazione di energia durante l'urto;
b) La massima elongazione dell'asta.
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Qualcuno gentilmente potrebbe darmi una mano e un piccolo spunto su come iniziare? Vi ringrazio in anticipo..
ieri ho avuto l'esame scritto di Fisica I è nel primo esercizio non ho saputo metterci mano.
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Un'asta sottile di massa $m_1=5.0 Kg$ e lunghezza $L=1.0 m$, fissa nel suo estremo $A$ viene abbandonata da una posizione formante con la verticale un angolo $θ_0=pi/3 rad$. Essa urta anelasticamente una pallina puntiforme di massa $m_2=2.0 Kg$, inizialmente ferma e tenuta in posizione verticale da un filo inestensibile e di massa trascurabile, della stessa lunghezza dell'asta fissato anch'esso in $A$.
Sapendo che dopo l'urto la massima elongazione del filo e della pallina è $θ_2=1.0 rad$, determinare:
a) La variazione di energia durante l'urto;
b) La massima elongazione dell'asta.
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Qualcuno gentilmente potrebbe darmi una mano e un piccolo spunto su come iniziare? Vi ringrazio in anticipo..
Risposte
Se conosci l'angolo iniziale dell'asta conosci anche la sua energia potenziale e quindi l'energia cinetica al momento dell'urto (e quindi la sua velocità angolare).
Per lo stesso motivo se conosci l'angolo massimo della pallina conosci anche la sua energia cinetica iniziale dopo l'urto, e quindi la sua velocità iniziale. Dunque conosci anche l'impulso che l'asta comunica alla pallina (che è uguale a quello che la pallina comunica all'asta). Questo impulso comunicato all'asta produce un momento impulsivo rispetto al suo punto di cerniera che rallenta istantaneamente la velocità angolare dell'asta. Dunque puoi calcolare la velocità angolare dell'asta dopo l'urto, e da questa trovare tutto il resto.
O almeno così mi sembra si possa fare (non ho provato a fare i calcoli però!).
Per lo stesso motivo se conosci l'angolo massimo della pallina conosci anche la sua energia cinetica iniziale dopo l'urto, e quindi la sua velocità iniziale. Dunque conosci anche l'impulso che l'asta comunica alla pallina (che è uguale a quello che la pallina comunica all'asta). Questo impulso comunicato all'asta produce un momento impulsivo rispetto al suo punto di cerniera che rallenta istantaneamente la velocità angolare dell'asta. Dunque puoi calcolare la velocità angolare dell'asta dopo l'urto, e da questa trovare tutto il resto.
O almeno così mi sembra si possa fare (non ho provato a fare i calcoli però!).
Ad essere sincero non ho capito molto 
L'energia potenziale iniziale è $E_i=m_1g(L/2-L/2cos\theta_0)$ mentre l'energia cinetica finale è $E_f=1/2I\omega^2=1/2I(v_1/(L/2))^2$. Uguaglia e ottieni $\omega$ ovvero $v_1$.Attenzione a considerare il giusto momento di inerzia (asse di rotazione non passante per il centro di massa). Dopo sfrutti la conservazione della quantità di moto:
$m_1v_1=(m_1+m_2)v_2$
Ottieni $v_2$ e la variazione di energia cinetica sarà $\DeltaE_k=1/2m_1v_1^2-1/2(m_1+m_2)v_2^2$
$m_1v_1=(m_1+m_2)v_2$
Ottieni $v_2$ e la variazione di energia cinetica sarà $\DeltaE_k=1/2m_1v_1^2-1/2(m_1+m_2)v_2^2$
Ah.. scusate nell'esercizio c'era anche il momento di inerzia di un asta sottile rispetto all'asse ortogonale passante per il centro $I_(CM)=(1/12)*m*L^2$ . Questo se non va nella formula dell'energia cinetica finale scritta sopra giusto?
Ma hai letto quello che ho scritto??
"K.Lomax":Ah.. hai ragione scusa..
Ma hai letto quello che ho scritto??
ma allora I a cosa è uguale?
Leggi il teorema di Huygens-Steiner e prova a vedere se riesci a calcolare il giusto momento d'inerzia.
"K.Lomax":Se non erro dovrebbe essere: $I=I_(CM)+m_1*(L/2-L/2*costheta_0)^2$ ... Spero di aver fatto giusto...
Leggi il teorema di Huygens-Steiner e prova a vedere se riesci a calcolare il giusto momento d'inerzia.
Il teorema di Huygens-Steiner afferma che:
$I=I_(CM)+m_1d^2$
dove $d$ indica la distanza del centro di massa dal nuovo asse di rotazione che, nel tuo caso, è un estremo dell'asta. Quindi $d=L/2$. Quella che hai scritto tu sarebbe la quota di partenza del centro di massa.
$I=I_(CM)+m_1d^2$
dove $d$ indica la distanza del centro di massa dal nuovo asse di rotazione che, nel tuo caso, è un estremo dell'asta. Quindi $d=L/2$. Quella che hai scritto tu sarebbe la quota di partenza del centro di massa.
Sperando di non aver fatto errori nei calcoli la variazione di energia cinetica mi risulta pari a $2,65 J$
Adessp c'è il problema del secondo punto dell'esercizio che chiede di trovare la massima elongazione dell'asta
Adessp c'è il problema del secondo punto dell'esercizio che chiede di trovare la massima elongazione dell'asta
Mah, questo secondo punto è strano, in quanto o è troppo stupido o sono io a non aver capito qualcosa. Se dopo l'urto l'asta e la pallina rimangono attaccati (urto anelastico) allora a partire dal punto di contatto la massima elongazione dell'asta è uguale a quella della pallina ovvero pari a $1 rad$. Questa, sommata a quella di partenza $\pi/3$ fornisce l'elongazione totale massima dell'asta.
"K.Lomax":Un attimo.. ma l'urto non è completamente anelastico, ma anelastico quindi i due corpi non rimangono attaccati.. solo la quantità di moto si conserva..
Mah, questo secondo punto è strano, in quanto o è troppo stupido o sono io a non aver capito qualcosa. Se dopo l'urto l'asta e la pallina rimangono attaccati (urto anelastico) allora a partire dal punto di contatto la massima elongazione dell'asta è uguale a quella della pallina ovvero pari a $1 rad$. Questa, sommata a quella di partenza $\pi/3$ fornisce l'elongazione totale massima dell'asta.
Nella traccia che tu ci hai fornito dici che l'urto è anelastico il che vuol dire che i due corpi, dopo il contatto, rimangono attaccati e possono essere assimilati come un sol corpo. Per urti anelastici si conserva la quantità di moto ma non l'energia meccanica. Fai un po' di chiarezza.
"K.Lomax":Ma non c'è bisogno di fare chiarezza. Già è chiarissimo.
Nella traccia che tu ci hai fornito dici che l'urto è anelastico il che vuol dire che i due corpi, dopo il contatto, rimangono attaccati e possono essere assimilati come un sol corpo. Per urti anelastici si conserva la quantità di moto ma non l'energia meccanica. Fai un po' di chiarezza.
I tipi di urti sono tre: elastico, anelastico e completamente anelastico. Il testo parla di urto anelastico e non di completamente anelastico. Anche una mia collega aveva capito in questo modo ma la prof durante l'esame ha fatto notare che l'urto non è completamente anelastico (dove i corpi rimangono attaccati) ma anelastico.
Io direi di risolverlo così.
Per prima cosa troviamo la velocità angolare $\omega_i$ dell'asta subito prima di urtare la pallina:
$m_1 g L/2(1-cos (pi/3))=1/2 I \omega_i$
($I$ momento inerzia dell'asta rispetto all'asse di rotazione.)
Quindi scriviamo la conservazione del momento angolare rispetto all'asse di rotazione
$I \omega_i=m_2 v_p L + I \omega_f$
dove $v_p$ la velocità della pallina subito dopo l'urto e $\omega_f$ la velocità angolare dell'asta subito dopo l'urto.
Inoltre sappiamo che la pallina risale fino a un radiante di angolo quindi:
$1/2 m_2 v_p^2=m_pLg(1-cos 1 )$
Dall'ultima equazione ricaviamo $v_p$ che sostituita nella penultima permette di ricavare $\omega_f$
A questo punto abbiamo le velocità dopo l'urto di tutti e due i corpi e possiamo valutare la variazione di energia cinetica.
Per il secondo punto nota la velocità dell'asta dopo l'urto basta applicare la conservazione dell'energia....
Per prima cosa troviamo la velocità angolare $\omega_i$ dell'asta subito prima di urtare la pallina:
$m_1 g L/2(1-cos (pi/3))=1/2 I \omega_i$
($I$ momento inerzia dell'asta rispetto all'asse di rotazione.)
Quindi scriviamo la conservazione del momento angolare rispetto all'asse di rotazione
$I \omega_i=m_2 v_p L + I \omega_f$
dove $v_p$ la velocità della pallina subito dopo l'urto e $\omega_f$ la velocità angolare dell'asta subito dopo l'urto.
Inoltre sappiamo che la pallina risale fino a un radiante di angolo quindi:
$1/2 m_2 v_p^2=m_pLg(1-cos 1 )$
Dall'ultima equazione ricaviamo $v_p$ che sostituita nella penultima permette di ricavare $\omega_f$
A questo punto abbiamo le velocità dopo l'urto di tutti e due i corpi e possiamo valutare la variazione di energia cinetica.
Per il secondo punto nota la velocità dell'asta dopo l'urto basta applicare la conservazione dell'energia....
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