Esercizio con urti e forza elastica
Ciao, ho questo esercizio preso dal libro di teoria del Rosati:
"Una molla di costante elastica $k=490N/m$ è disposta verticalmente e ha un'estremità appoggiata su un piano orizzontale: la molla sostiene un piatto di massa $M=1kg$. Una sferetta di massa $m=0.1kg$, lasciata cadere da un'altezza $h=20m$ rispetto alla posizione di equilibrio del piatto, urta il piatto stesso. Si calcoli l'abbassamento massimo $deltah$ subito dal piatto nei due casi seguenti:
a) l'urto è perfettamente anelastico
b) l'urto è elastico"
Nel caso a) la quantità di moto si conserva quindi $mv_0=(M+m)V$, dove $V$ è la velocità del piatto + sferetta dopo l'urto.
Considerando la posizione di equilibrio della molla e del piatto come l'origine del sistema di riferimento prima dell'urto abbiamo che $v_0=sqrt(2gh)$, quindi $V=(mv_0)/(M+m)=(msqrt(2gh))/(M+m)$.
Dopo l'urto le uniche forze che agiscono sul sistema sono la forza peso e la forza elastica esercitata dalla molla e, dato che sono forze conservative, ho impostato la conservazione dell'energia meccanica.
$deltaK=-1/2(M+m)V^2$ dato che alla fine, quando la molla è completamente compressa, la velocità del piatto e della sferetta è 0.
$deltaU=(M+m)gdeltah + 1/2kdeltah^2$ dato che l'energia potenziale iniziale è pari 0 perché l'origine è stata scelta nel punto di equilibrio molla+piatto prima dell'urto.
$deltaK=-deltaU$
$-1/2(M+m)V^2=-(M+m)gdeltah - 1/2kdeltah^2$
Concettualmente è giusto il procedimento? Premetto che ho svolto tutti i calcoli ma il risultato non è corretto. Deve tornare $8.7cm$.
"Una molla di costante elastica $k=490N/m$ è disposta verticalmente e ha un'estremità appoggiata su un piano orizzontale: la molla sostiene un piatto di massa $M=1kg$. Una sferetta di massa $m=0.1kg$, lasciata cadere da un'altezza $h=20m$ rispetto alla posizione di equilibrio del piatto, urta il piatto stesso. Si calcoli l'abbassamento massimo $deltah$ subito dal piatto nei due casi seguenti:
a) l'urto è perfettamente anelastico
b) l'urto è elastico"
Nel caso a) la quantità di moto si conserva quindi $mv_0=(M+m)V$, dove $V$ è la velocità del piatto + sferetta dopo l'urto.
Considerando la posizione di equilibrio della molla e del piatto come l'origine del sistema di riferimento prima dell'urto abbiamo che $v_0=sqrt(2gh)$, quindi $V=(mv_0)/(M+m)=(msqrt(2gh))/(M+m)$.
Dopo l'urto le uniche forze che agiscono sul sistema sono la forza peso e la forza elastica esercitata dalla molla e, dato che sono forze conservative, ho impostato la conservazione dell'energia meccanica.
$deltaK=-1/2(M+m)V^2$ dato che alla fine, quando la molla è completamente compressa, la velocità del piatto e della sferetta è 0.
$deltaU=(M+m)gdeltah + 1/2kdeltah^2$ dato che l'energia potenziale iniziale è pari 0 perché l'origine è stata scelta nel punto di equilibrio molla+piatto prima dell'urto.
$deltaK=-deltaU$
$-1/2(M+m)V^2=-(M+m)gdeltah - 1/2kdeltah^2$
Concettualmente è giusto il procedimento? Premetto che ho svolto tutti i calcoli ma il risultato non è corretto. Deve tornare $8.7cm$.
Risposte
La molla era già compressa prima dell'urto (diciamo di H) per cui l'espressione dell'energia potenziale elastica (anzi, della sua variazione)
$1/2kdeltah^2$
non va bene, invece è
$1/2k ((H+deltah)^2 - H^2)$
$1/2kdeltah^2$
non va bene, invece è
$1/2k ((H+deltah)^2 - H^2)$
Io però avevo considerato l'origine nel punto di equilibrio apposta per non aggiungere $H$ e inoltre il problema mi da l'altezza da cui viene lasciata cadere la pallina proprio dal punto di equilibrio.
Comunque anche così non viene il risultato corretto.
Comunque anche così non viene il risultato corretto.
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