Esercizio con un sistema non inerziale
Una piattaforma circolare di raggio $R=1,5 m$ è messa in rotazione in senso antiorario intorno ad un asse centrale con una accelerazione angolare costante $\alpha = 1,5 s^(-2)$. Quando raggiunge la velocità angolare di regime pari a $\omega_f = 1,8 s^(-1)$ la velocità angolare diventa costante. Un blocchetto di massa $m= 500g$ si trova inizialmente all'estremità della piattaforma, in una scanalatura radiale le cui pareti laterali sono lisce, ed è collegato all'asse centrale attraverso un cavo inestensibile che si arrotola intorno all'asse. Siano $\mu_s = 0,3$ e $\mu_d = 0,25$ i coefficienti di attrito statico e dinamico tra blocco e base della piattaforma. Il corpo ha una velocità iniziale (radiale) rispetto al disco pari a $v_0 = 0,5 m/s$ e diretta verso il centro della piattaforma. Nell'ipotesi in cui il moto relativo del blocchetto consista in un moto uniforme lungo la direzione radiale, si determini
a) la posizione del blocco in un sistema di riferimento fisso con asse z coincidente con l'asse della piattaforma e asse x nella direzione iniziale della scanalatura, nell'istante in cui il sistema raggiunge la velocità di regime;
b) il modulo della tensione nell'istante di raggiungimento della velocità di regime;
c) il valore della reazione vincolare esercitata dalle pareti laterali della scanalatura al variare del tempo, dall'istante iniziale fino al raggiungimento della velocità di regime.
Vi riepilogo la mia risoluzione del problema.
Ho innanzitutto ricavato l'istante di tempo $t^*$ in cui la piattaforma raggiunge la velocità di regime ponendo $\alphat^*=\omega_f$. Scrivendo l'equazione del moto della pallina (secondo il moto uniforme), ho ricavato $x^*=-R+v_0t^*$. Dopodiché ho scritto il diagramma delle forze e proiettato l'equazione lungo gli assi, determinando $\tau=mv_0^2/x^*+m\omega_f^2+mg\mu_d$ e $R=2mv_0t$.
Vi sembra tutto lecito?
a) la posizione del blocco in un sistema di riferimento fisso con asse z coincidente con l'asse della piattaforma e asse x nella direzione iniziale della scanalatura, nell'istante in cui il sistema raggiunge la velocità di regime;
b) il modulo della tensione nell'istante di raggiungimento della velocità di regime;
c) il valore della reazione vincolare esercitata dalle pareti laterali della scanalatura al variare del tempo, dall'istante iniziale fino al raggiungimento della velocità di regime.
Vi riepilogo la mia risoluzione del problema.
Ho innanzitutto ricavato l'istante di tempo $t^*$ in cui la piattaforma raggiunge la velocità di regime ponendo $\alphat^*=\omega_f$. Scrivendo l'equazione del moto della pallina (secondo il moto uniforme), ho ricavato $x^*=-R+v_0t^*$. Dopodiché ho scritto il diagramma delle forze e proiettato l'equazione lungo gli assi, determinando $\tau=mv_0^2/x^*+m\omega_f^2+mg\mu_d$ e $R=2mv_0t$.
Vi sembra tutto lecito?
Risposte
Non è molto chiara come impostazione, ma a naso no.
Intanto, usi un sistema diverso da quallo indicato dalla consegna dell'esercizio.
Poi non si capisce cosa sia $tau$.
Intanto, usi un sistema diverso da quallo indicato dalla consegna dell'esercizio.
Poi non si capisce cosa sia $tau$.
@m.e
Va abbastanza bene in generale, solo che credo ti chiede la posizione di quel corpo rispetto a un sistema fisso "esterno".
Per calcolare la tensione va bene ragionare, come mi pare hai fatto, nel sistema rotante.
Per la parte delle forze agenti $m\omega_f^2$ cosa è? Non ha neanche le dimensioni di una forza...
Neanche $R=2mv_0t$ capisco cosa vuole dire.
Prova a rivedere l'espressione.
Va abbastanza bene in generale, solo che credo ti chiede la posizione di quel corpo rispetto a un sistema fisso "esterno".
Per calcolare la tensione va bene ragionare, come mi pare hai fatto, nel sistema rotante.
Per la parte delle forze agenti $m\omega_f^2$ cosa è? Non ha neanche le dimensioni di una forza...
Neanche $R=2mv_0t$ capisco cosa vuole dire.
Prova a rivedere l'espressione.
"Faussone":
Va abbastanza bene in generale, solo che credo ti chiede la posizione di quel corpo rispetto a un sistema fisso "esterno".
Quindi, come andrebbe ricavata?
"Faussone":
Per la parte delle forze agenti $m\omega_f^2$ cosa è? Non ha neanche le dimensioni di una forza...
Ho sbagliato a scrivere, ho mancato il termine $x^*$. Intendevo scrivere il modulo della forza centrifuga
"Faussone":
Neanche $R=2mv_0t$ capisco cosa vuole dire.
Sull'asse z ho posto $R-f_(co)=R-2mv'=0 \Rightarrow R=2mv_0$. Ti trovi?
Riorganizza le impostazioni.
R è un raggio o la reazione della scanalatura? Mi pare che le usi tutte e due
Sull'asse z la risultante dell forze è nulla, non esiste coriolis.
x è l'asse del sistema fisso.
Il problema è semplice: rispetto al sistema rotante il corpo non ha accelerazione.
Se l'asse $r$ individua la scanalatura (origine nel centro della piattaforma) allora deve essere
$r(t)=R-v_0*t$
Quindi la posizione del corpo nel sistema fisso è
$x=r(t)*cos(theta)$ e
$y=r(t)*sin(theta)$.
Ovviamente $theta=1/2 alphat^2$
Nel sistema mobile la risultante di forze attive e inerziali deve essere nulla: infatti, lungo la scanalatura ti dice che il corpo non ha accelerazione e nella direzione ortogonale ad essa e giacente sulla piattaforma, la scanalatura impedisce il movimento.
Scomponendo lungo queste due direzioni (scanalatura e direzione ortogonale) e chiamando T la tensione del filo e N la reazione normale della scanaltura, ottieni 2 equazioni
$-T+mdot theta^2r+mgmu_d=0$
$N-mrddot theta+2mdot thetav_0=0$
Sostituendo le grandezze di cui sopra in funzione del tempo ottieni la soluzione per t>0.
All'istante iniziale t=0, in condizioni cosiddette " di moto incipiente", non c'è forza centrifuga e la prima equazione diventa più precisamente
$-T+mgmu_s=0$
R è un raggio o la reazione della scanalatura? Mi pare che le usi tutte e due
Sull'asse z la risultante dell forze è nulla, non esiste coriolis.
x è l'asse del sistema fisso.
Il problema è semplice: rispetto al sistema rotante il corpo non ha accelerazione.
Se l'asse $r$ individua la scanalatura (origine nel centro della piattaforma) allora deve essere
$r(t)=R-v_0*t$
Quindi la posizione del corpo nel sistema fisso è
$x=r(t)*cos(theta)$ e
$y=r(t)*sin(theta)$.
Ovviamente $theta=1/2 alphat^2$
Nel sistema mobile la risultante di forze attive e inerziali deve essere nulla: infatti, lungo la scanalatura ti dice che il corpo non ha accelerazione e nella direzione ortogonale ad essa e giacente sulla piattaforma, la scanalatura impedisce il movimento.
Scomponendo lungo queste due direzioni (scanalatura e direzione ortogonale) e chiamando T la tensione del filo e N la reazione normale della scanaltura, ottieni 2 equazioni
$-T+mdot theta^2r+mgmu_d=0$
$N-mrddot theta+2mdot thetav_0=0$
Sostituendo le grandezze di cui sopra in funzione del tempo ottieni la soluzione per t>0.
All'istante iniziale t=0, in condizioni cosiddette " di moto incipiente", non c'è forza centrifuga e la prima equazione diventa più precisamente
$-T+mgmu_s=0$
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