Esercizio con pendolo semplice
Un chiodo viene piantato esattamente al di sotto del punto di sospensione O di un pendolo semplice, di lunghezza l = 1 m, ad una distanza x da O. La massa del pendolo viene quindi rilasciata dalla posizione in cui il filo forma un angolo di 60 ̊ con la verticale. Calcolare il minimo valore di x per cui il filo si avvolge attorno al chiodo percorrendo una traiettoria circolare.
faccio una conservazione dell'energia dal punto in cui il pendolo viene rilasciato, al punto in cui si trova sopra al punto di sospensione O, fissando lo 0 del potenziale " a terra " cioè quando il pendolo passa per la sua verticale di equilibrio:
energia iniziale: $ mg(l-lcosθ) $
energia nel punto in alto: $ 1/2mv^2+mg(2l-x) $
ho pensato che l'energia potenziale finale sia $ mg(2l-x) $ perchè all'altezza di $ 2l $ devo sottrarre il tratto $ x $ che si avvolge al filo, che fa cioè diminuire l'altezza a cui si trova il pendolo di un tratto $ x $
quindi $ mg(2l-x)+1/2mv^2-mg(l-lcosθ)=0 $ da cui ricavo l'espressione di $ v $ in modo tale da porne la derivata =0 per trovare la minima velocità che il pendolo deve avere nel punto più alto della sua traiettoria per compiere un giro completo; poi sostituendo questa espressione nella conservazione dell'energia, posso trovare la $ x $ richiesta.
(la derivata mi viene però nulla...)
cosa sto sbagliando? il risultato corretto è $ 0.8m $
faccio una conservazione dell'energia dal punto in cui il pendolo viene rilasciato, al punto in cui si trova sopra al punto di sospensione O, fissando lo 0 del potenziale " a terra " cioè quando il pendolo passa per la sua verticale di equilibrio:
energia iniziale: $ mg(l-lcosθ) $
energia nel punto in alto: $ 1/2mv^2+mg(2l-x) $
ho pensato che l'energia potenziale finale sia $ mg(2l-x) $ perchè all'altezza di $ 2l $ devo sottrarre il tratto $ x $ che si avvolge al filo, che fa cioè diminuire l'altezza a cui si trova il pendolo di un tratto $ x $
quindi $ mg(2l-x)+1/2mv^2-mg(l-lcosθ)=0 $ da cui ricavo l'espressione di $ v $ in modo tale da porne la derivata =0 per trovare la minima velocità che il pendolo deve avere nel punto più alto della sua traiettoria per compiere un giro completo; poi sostituendo questa espressione nella conservazione dell'energia, posso trovare la $ x $ richiesta.
(la derivata mi viene però nulla...)
cosa sto sbagliando? il risultato corretto è $ 0.8m $
Risposte
"tgrammer":
[...] in modo tale da porne la derivata =0 [...]
(la derivata mi viene però nulla...)
Che vuol dire?
"tgrammer":
[...] il risultato corretto è $ 5m $
Cioè, il filo è lungo 1m, il chiodo è a 5m sotto il punto di sospensione, e il filo si avvolge intorno al chiodo??!!
hai ragione, mi correggo... il risultato è 0.8m
comunque intendevo dire che chiedendomi la velocità minima, l'idea era quella di ricavare l'espressione della velocità, calcolarne la derivata e porla uguale a 0 secondo il modo usale di analisi di trovare il minimo di una funzione
comunque intendevo dire che chiedendomi la velocità minima, l'idea era quella di ricavare l'espressione della velocità, calcolarne la derivata e porla uguale a 0 secondo il modo usale di analisi di trovare il minimo di una funzione
Ho qualche dubbio sull'energia potenziale finale. Di fatto, avresti un pendolo di lunghezza $l - x$ - dato che il chiodo fungerebbe da "fulcro". Avresti quindi un'energia potenziale nel punto più alto della traiettoria pari a
$$
U = 2 m g (l - x)
$$
ti torna?
$$
U = 2 m g (l - x)
$$
ti torna?
umh non penso di aver capito... senza il problema del chiodo, il pendolo si troverebbe a un'altezza di $ 2l $ , a cui devo sottrarre la parte di pendolo avvolta al chiodo quindi $ mg(2l-x) $
Facciamo un esempio, se il chiodo si trovasse a una distanza x = 0.99m da O a che altezza massima (supponendo che faccia un giro completo) si troverà la massa rispetto alla quota zero?
Guarda però che se il pendolo deve fare un giro completo intorno al chiodo, non basta che raggiunga l'altezza del punto del cerchio sopra il chiodo, ma deve raggiungerlo con una certa velocità, cioè non può arrivarci fermo, altrimenti il filo si affloscia. Deve arrivarci col filo in tensione, ossia la tensione del filo, che è la forza centripeta meno il peso, deve essere maggiore di zero.
Quindi ragionamenti basati solo sul bilancio energetico non sono sufficienti, se non tieni conto di questa velocità limite.
Quindi ragionamenti basati solo sul bilancio energetico non sono sufficienti, se non tieni conto di questa velocità limite.
hai ragione! rifacendolo, ottengo il risultato cercato, ma chiedo comunque conferma del procedimento:
quando il pendolo raggiunge l'altezza massima sopra al chiodo: $ T+mg=mv^2/(l-x) $
da cui $ T=mv^2/(l-x)-mg>0 $
$ v^2>g(l-x) $ che sostituisco nella conservazione dell'energia: $ mg(l-lcosθ)=mg(2l-x)+1/2mv^2 $
quando il pendolo raggiunge l'altezza massima sopra al chiodo: $ T+mg=mv^2/(l-x) $
da cui $ T=mv^2/(l-x)-mg>0 $
$ v^2>g(l-x) $ che sostituisco nella conservazione dell'energia: $ mg(l-lcosθ)=mg(2l-x)+1/2mv^2 $
"tgrammer":
sostituisco nella conservazione dell'energia: $ mg(l-lcosθ)=mg(2l-x)+1/2mv^2 $
Non capisco $(2l-x)$. Se misuri l'altezza dal fondo del filo, l'altezza massima non dovrebbe essere $2(l-x)$ ?
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