Esercizio con carrucola fissa e moblie

[mary98scc]

Sto cercando di risolvere questo ,ma sto incontrando difficoltà nell'impostare l'equazione delle forze per la massa C



per il corpo A
$ T_(AB) cos\alpha=m_A a $
per il corpo B
$ -T_(AB) cos\alpha+T_(BC)=m_B a $

[Shackle]

Va bene finora ; se sommi membro a membro vedi che non ti devi preoccupare, per ora, della $T_(AB)$ , perchè il filo che da B va alla carrucola fissa deve accelerare la somma delle due masse. Hai due incognite , la prima è $T_(BC)$ , chiamala semplicemente $T$ cosí risparmi la scrittura; l’altra è l’accelerazione $a$ ; e hai finora una sola equazione. Il filo entra nella carrucola mobile C : devi ragionare sul moto della carrucola mobile per capire quanto vale l’accelerazione della massa C. Ti aiuto : considera il punto in cui il filo di destra (che viene dal soffitto) entra in C come centro di istantanea rotazione. Rispetto a questo centro, la massa $C$ che accelerazione ha? E il punto diametralmente opposto, dove entra il filo verticale di sinistra , che accelerazione ha? È quella prima detta evidentemente. Come sono collegate quindi l’accelerazione $a$ e quella di C ?

[mary98scc]

Quindi riassumendo ora mi ritrovo con l'equazione $ T =(m_A +m_B)a$.
Io avevo pensato di dividere la forza peso esercitata dal corpo C per 2 ed associarla come valore di tensione sul filo di destra e di sinistra della carrucola mobile

$ -Fp - 2T = m a_c$

[Shackle]

No, sbaglieresti. Perchè non trovi l’accelerazione che deve avere C, sapendo $a$ , come ti ho suggerito?

[mary98scc]

non ho capito. Come faccio a trovarmi l'accelerazione di C , sapendo $a$?

Io avevo fatto così:
$- m_c g- 2T= -m_c a_c$
sostituendo $T= (m_A +m_B) a $ e trovando la relazione tra $a$ e $a_c$ , ma a questo punto è sbagliato seguendo il tuo ragionamento

[mary98scc]

ragionando sul centro d'istantanea rotazione per ora ho capito che sul filo di sinistra la forza $T$ moltiplicata per il braccio $ 2r$ mi genera un momento

[Shackle]

Non c’è bisogno di considerare quel momento.

Rispetto al CIR assunto, il punto diametralmente opposto ha accelerazione a . Quanto vale l’accelerazione del centro della carrucola?

[mary98scc]

Quella nel centro è il doppio di a

$a_c =2a$

[mary98scc]

Dall'equazione $T=(m_A +m_B)a$ io so che $a = T/(m_A+m_B)$ perciò ottengo
$a_c = 2T/(m_A+m_B) $
Quindi ora la mia incognita è $T$

[Shackle]

Mari, aspetta , stai sbagliando, ragiona!

Rispetto al CIR , il punto diametralmente opposto ,cioe a distanza 2R , ha accelerazione $a$ . Quindi il centro della carrucola, che si trova a distanza R dal CIR , ha accelerazione metà , ti pare ? Più il punto è vicino al CIR, minore è la sua accelerazione.

Allora, la massa $m_c$ ha accelerazione $a/2$ . LA 2º equazione della dinamica applicata ad $m_c$ si scrive :

$m_ca/2 = m_cg - 2T $

questa, insieme con la prima :

$T = (m_a +m_b) a $

forma un sistema di due equazioni in due incognite, $a$ e $T$ , che puoi risolvere . Vai avanti ora.

[mary98scc]

Grazie per avermi aiutato. Ho risolto il sistema e mi sono trovata $a$

$ a = ((m_c g)/2)/((m_A+ m_B)+(m_c/4))=3,92 m/(s^2)$

Con a mi trovo $a_c=a/2= 1,96 m/(s^2)$

Trovata a mi posso ricavare $T_(AB)$
$T_(AB)=(m_A a)/ cos (60°)=0.78N$