Esercizio con carrucola
Scusate se posto una seconda domanda ma dopo lo studio teorico mi sono cimentato in alcuni esercizi e questo non capisco bene come impostarlo.
Si considerino due masse m= 100g ed M= 200g connesse tra loro tramite una fune inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza L sufficientemente grande. La massa m , a forma di anello, è infilata in un filo verticale lungo il quale può scorrere liberamente mentre la massa M pende dalla fune che poggia su di una carrucola di dimensioni trascurabili e posta a distanza a dal filo. Calcolare la posizione di equilibrio e la quota minima raggiunta dall’anello se questo viene rilasciato da fermo alla quota della carruola. Trascurare gli attriti
Io ho svolto così:
ho preso un sistema di riferimento dove il verso positivo va da m ad M
fatto questo ho impostato il sistema
-mg+T*cosϑ=m*a dove T è la tensione del filo
Mg-t=m*a
ho poi imposto m*a=0 (sono all'equilibrio)
e sono giunto ad eguagliare le due, ma ovviamente ho troppe incognite
Ho anche provato a scomporre la lunghezza del filo (obliquo) istantanea sul filo verticale e ho pensato che sarebbe:
a/(sinϑ*cosϑ)=a/tgϑ
ma oltre a questo non riesco ad andare
Si considerino due masse m= 100g ed M= 200g connesse tra loro tramite una fune inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza L sufficientemente grande. La massa m , a forma di anello, è infilata in un filo verticale lungo il quale può scorrere liberamente mentre la massa M pende dalla fune che poggia su di una carrucola di dimensioni trascurabili e posta a distanza a dal filo. Calcolare la posizione di equilibrio e la quota minima raggiunta dall’anello se questo viene rilasciato da fermo alla quota della carruola. Trascurare gli attriti
Io ho svolto così:
ho preso un sistema di riferimento dove il verso positivo va da m ad M
fatto questo ho impostato il sistema
-mg+T*cosϑ=m*a dove T è la tensione del filo
Mg-t=m*a
ho poi imposto m*a=0 (sono all'equilibrio)
e sono giunto ad eguagliare le due, ma ovviamente ho troppe incognite
Ho anche provato a scomporre la lunghezza del filo (obliquo) istantanea sul filo verticale e ho pensato che sarebbe:
a/(sinϑ*cosϑ)=a/tgϑ
ma oltre a questo non riesco ad andare
Risposte
Ciao,
purtroppo non è ben comprensibile il sistema fisico in oggetto. Potresti mettere un disegno o specificare la posizione relativa delle masse? E anche dove sta messa la carrucola.
Perché altrimenti senza disegno si può intendere qualsiasi cosa.
purtroppo non è ben comprensibile il sistema fisico in oggetto. Potresti mettere un disegno o specificare la posizione relativa delle masse? E anche dove sta messa la carrucola.
Perché altrimenti senza disegno si può intendere qualsiasi cosa.
Ciao, grazie per l'aiuto.
Allora ecco il disegno come dovrebbe essere
Allora ecco il disegno come dovrebbe essere
Stando a quanto riporti, l'anello quindi parte dalla cima, alla stessa quota della carrucola. Poi scivola verso il basso finché si ha una posizione di quiete. Sia $\theta$ l'angolo formato dal filo verticale e dalla corda che lega l'anello quando questo si trova nella posizione di equilibrio (vertice nell'anello).
Si deve avere:
$$T_1\cos(\theta)-mg=0$$
$$Mg-T_2=0$$
$$T_1=T_2$$
Mettendo a sistema queste tre equazioni ricaviamo che:
$$\cos(\theta)=\frac{m}{M}$$
A questo punto dobbiamo fare un po' di trigonometria. Si consideri il triangolo rettangolo nei vertici corrispondenti alla posizione della carrucola, del vertice superiore del filo e della posizione dell'anello.
Sappiamo che un cateto misura $a$ e abbiamo due angoli. A questo punto si tratta di fare un po' di conti ...
Si ha infatti:
$\frac{\sin(\theta)}{a}=\frac{\sin(90-\theta)}{x}$ dove $x$ è la quota minima¹ che vogliamo trovare.
Dunque:
$$x=a\cdot\frac{cos(\theta)}{\sin(\theta)}$$.
PS
¹Beh, se impostiamo un asse z parallelo al filo verticale con origine nella posizione della carrucola orientato verso il basso, sì.
Si deve avere:
$$T_1\cos(\theta)-mg=0$$
$$Mg-T_2=0$$
$$T_1=T_2$$
Mettendo a sistema queste tre equazioni ricaviamo che:
$$\cos(\theta)=\frac{m}{M}$$
A questo punto dobbiamo fare un po' di trigonometria. Si consideri il triangolo rettangolo nei vertici corrispondenti alla posizione della carrucola, del vertice superiore del filo e della posizione dell'anello.
Sappiamo che un cateto misura $a$ e abbiamo due angoli. A questo punto si tratta di fare un po' di conti ...
Si ha infatti:
$\frac{\sin(\theta)}{a}=\frac{\sin(90-\theta)}{x}$ dove $x$ è la quota minima¹ che vogliamo trovare.
Dunque:
$$x=a\cdot\frac{cos(\theta)}{\sin(\theta)}$$.
PS
¹Beh, se impostiamo un asse z parallelo al filo verticale con origine nella posizione della carrucola orientato verso il basso, sì.
"martao":
Calcolare la posizione di equilibrio e la quota minima raggiunta dall’anello se questo viene rilasciato da fermo alla quota della carruola.
Ma le domande sono DUE, o è la stessa domanda ripetuta? Voglio dire, trovare la posizione di equilibrio è un problema di statica, e gmorkk ha già detto come fare.
Ma non c'è anche un problema di dinamica? Quando si lascia cadere l'anello, questo non si ferma alla posizione di equilibrio, ma va oltre e oscilla (indefinitamente, se trascuriamo gli attriti). La quota minima richiederebbe di trovare l'ampiezza dell'oscillazione.
@mgrau
Purtroppo non lo so, anche io ho inteso due domande. E' un esercizio di esame di 3 anni fa e non c'è la soluzione. Inoltre il disegno me lo sono fatto io, non è certo sia corretto al 100%. Insomma, ne so quanto voi
@gmorkk
Grazie per avermi schiarito le idee della prima parte.
Purtroppo non lo so, anche io ho inteso due domande. E' un esercizio di esame di 3 anni fa e non c'è la soluzione. Inoltre il disegno me lo sono fatto io, non è certo sia corretto al 100%. Insomma, ne so quanto voi
@gmorkk
Grazie per avermi schiarito le idee della prima parte.
Sottoscrivo l'intervento di mgrau, infatti ho trovato un po' strana la domanda ...
Mi sembrava strano di averlo impostato minimamente nella maniera corretta.
Posso chiedervi come lo risolvereste perché zero idee
Grazie
Posso chiedervi come lo risolvereste perché zero idee
Grazie
"martao":
Posso chiedervi come lo risolvereste perché zero idee
Proviamo con questa idea:
In A) siamo nella situazione iniziale: tutto è fermo
In B) siamo nella posizione di equilibrio statico. Qui l'energia potenziale ha il valore minimo.
Passando da A a B c'è una diminuzione di energia potenziale, che ora ha la forma di energia cinetica delle due masse.
Questa energia cinetica si riconverte in energia potenziale, e la conversione è completa in C, in cui ancora è tutto fermo.
Si tratta allora di trovare in quale posizione C l'energia potenziale ha lo stesso valore che aveva in A.
Sono calcoli puramente geometrici.
Ho aspettato un po' a rispondere per raggiungere qualcosa ma più di tanto non ho ricavato
Ho provato con l'energia meccanica
$U_b+1/2mv_b^2=U_a+1/2mv_a^2$
ma arriverei ponendo la quota o al livello minimo che ragginge m: $h=1/2gv_b^2$
poi ho provato un'altra strada e ricavato le due potenziali per i due corpi
$U_M=-Mg(-a/sin\theta)$
$U_m=-(mga)/tg\theta$
ma non so come mettere assieme il tutto, caspita.
Ho provato con l'energia meccanica
$U_b+1/2mv_b^2=U_a+1/2mv_a^2$
ma arriverei ponendo la quota o al livello minimo che ragginge m: $h=1/2gv_b^2$
poi ho provato un'altra strada e ricavato le due potenziali per i due corpi
$U_M=-Mg(-a/sin\theta)$
$U_m=-(mga)/tg\theta$
ma non so come mettere assieme il tutto, caspita.
Vorrei fare un up perché ho accantonato l'esercizio ma il tarlo mi è rimasto
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