Esercizio con autovettori.

[Elyon_90]

Buongiorno sto preparando l' esame di metodi e trovo un pò di difficoltà in questi esercizi, seppur semplici.

mi viene chiesto di trovare gli autovettori e autovalori del seguente operatore :
$T=sin(x)\int_{0}^{pi} f(y) dy$

ho riscritto l' integrale come prodotto scalare, quindi l' operatore è diventato
$T=sin(x)(1,f(y))$

e a questo punto ho iniziato la ricerca degli autovalori, con il seguente procedimento :

$T=sin(x)(1,f(y)) = \lambdaf(y)$ (1)

se $\lambda = 0$ allore il prodotto scalare $(1,f(y))=0$ sono autovettori relativi all' autovalore $\lambda = 0$ tutte le funzioni ortogonali a uno. ( che poi sarebbe il nucleo dell' operatore ? )
di questa prima osservazione sono abbastanza sicura.
adesso ho continuato prendendo come esempio un esercizio gia svolto ma che evidentemente non ho capito molto bene =)

se $\lambda != 0$ ho posto $f=\alphasin(x)$ e ho sostituito nell' equazione (1)
ottenendo
$\alphasin(x)(1,sinx) = \lambda\alphasinx$
semplificando $(1,sinx) = \lambda$

sostanzialmente vi chiedo due cose, ovviamente se è sbagliato questo procedimento di fornirmene un altro =)
e se fosse corretto di spiegarmelo, perchè dal momento in cui pongo $\lambda != 0$ non ho capito che conclusioni dovrei trarci.

grazie mille !

[yoshiharu]

"Elyon_90":
ho iniziato la ricerca degli autovalori, con il seguente procedimento :

$sin(x)(1,f(y)) = \lambda f(y)$ (1)

(snip)

dal momento in cui pongo $\lambda != 0$ non ho capito che conclusioni dovrei trarci.

Si tratta in realta' di una osservazione abbastanza semplice, e cioe' che la funzione a sinistra e quella a destra devono essere le stesse, quindi $f(x)$ e' un autovettore sse e' $f(x)=\sin x$ (la costante $\alpha$ e' inessenziale per la linearita'), a quel punto resta solo da eguagliare gli scalari che stanno a fattore. In maniera piu' rigorosa (con un po' di overkilling) si potrebbe scrivere sia il $\sin x$ che $f(x)$ in serie di Fourier su [tex][0,\pi][/tex] e poi eguagliare i coefficienti dei termini corrispondenti.