Esercizio cinematica del punto
All'istante t=0, un treno parte con accelerazione scalare iniziale $a_0=0,4 m/(s^2)$; l'accelerazione diminuisce poi linearmente col tempo e si annulla all'istante $T$ in cui il treno ha raggiunto una velocità di modulo $V=90 (km)/(h)$. Si determini lo spazio $S$ percorso dal treno fino all'istante $T$.
Ho provato più volte a impostarlo e risolverlo ma ottengo un risultato sbagliato (simile però alla soluzione). Per quello che potuto vedere la chiave del problema dovrebbe essere quella di considerare l'accelerazione (decelerazione) con legge $a(t)=a_0-kt$, il k è dedotto dal testo (diminuisce linearmente col tempo).
Impostando $v(t)=at$, naturalmente sostituendo l'accelerazione esplicito la t e la sostituisco nella legge oraria.
Il tutto non funzione e non capisco perché, inoltre ho anche il k...ma quello non penso sia difficile trovarlo.
Ho provato più volte a impostarlo e risolverlo ma ottengo un risultato sbagliato (simile però alla soluzione). Per quello che potuto vedere la chiave del problema dovrebbe essere quella di considerare l'accelerazione (decelerazione) con legge $a(t)=a_0-kt$, il k è dedotto dal testo (diminuisce linearmente col tempo).
Impostando $v(t)=at$, naturalmente sostituendo l'accelerazione esplicito la t e la sostituisco nella legge oraria.
Il tutto non funzione e non capisco perché, inoltre ho anche il k...ma quello non penso sia difficile trovarlo.
Risposte
\(a(t)=a_0-kt\)
integrando troviamo la velocità:
\(v(t) = v_0 + \int_0^t {(a_0 - kt)dt} = a_0 t - \frac{1}{2}kt^2\)
integrando ancora trovi la legge oraria.
integrando troviamo la velocità:
\(v(t) = v_0 + \int_0^t {(a_0 - kt)dt} = a_0 t - \frac{1}{2}kt^2\)
integrando ancora trovi la legge oraria.
$s(t)=(a_0t^2)/2-(kt^3)/6$ questa è il risultato dell'integrazione, ricavo il k dalla relazione $V=a_0T-(kT^2)/2$ cioè
$K=(-2V+2a_0T)/(T^2)$
sostituisco e non torna nulla....il risultato del testo è $S=4/3V^2/a_0$
il metodo tramite integrazione è stato subito il mio tentativo in quanto ho l'accelerazione in funzione del tempo. Non so, o ricavo il tempo T dalla relazione della velocità e sostituisco....ma anche in questo caso ottengo "robaccia".
$K=(-2V+2a_0T)/(T^2)$
sostituisco e non torna nulla....il risultato del testo è $S=4/3V^2/a_0$
il metodo tramite integrazione è stato subito il mio tentativo in quanto ho l'accelerazione in funzione del tempo. Non so, o ricavo il tempo T dalla relazione della velocità e sostituisco....ma anche in questo caso ottengo "robaccia".
L'accelerazione è nulla quando $t=T$ e in questo istante la velocità vale $V$:
\(0=a_0-kT \) da cui \(\displaystyle T= \frac {a_0} {k}\)
per la velocità avremo:
\(\left\{ \begin{array}{l} V = a_0 T - \frac{k}{2}T^2 \\ T = \frac{{a_0 }}{k} \\ \end{array} \right.\)
da cui :
\(\displaystyle V=\frac{a_0^2}{k}\)
per lo spazio:
\(\displaystyle S=\frac{a_0^3}{3k^2}=\frac{{a_0 ^3 }}{{3\frac{{a_0 ^4 }}{{4V^2 }}}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{{V^2 }}{{a_0 }}\)
\(0=a_0-kT \) da cui \(\displaystyle T= \frac {a_0} {k}\)
per la velocità avremo:
\(\left\{ \begin{array}{l} V = a_0 T - \frac{k}{2}T^2 \\ T = \frac{{a_0 }}{k} \\ \end{array} \right.\)
da cui :
\(\displaystyle V=\frac{a_0^2}{k}\)
per lo spazio:
\(\displaystyle S=\frac{a_0^3}{3k^2}=\frac{{a_0 ^3 }}{{3\frac{{a_0 ^4 }}{{4V^2 }}}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{{V^2 }}{{a_0 }}\)
Allora rimetto il procedimento in chiaro per tutti. (grazie piero)
L'andamento delle decelerazione è : $a(t)=a_0-kt$ è una equazione di una retta con coefficiente angolare negativo.
sapendo che $dv=adt$ si svolge l'integrale per ricavare l'andamento della velocità: $\int_0^vdv=\int_0^t(a_0-kt)dt$ il risultato è $v(t)=a_0-k/2t^2$
Dal testo di evince che: quando si arriva al tempo $T$ la velocità è $V$ e l'accelerazione è nulla; quindi si ricava il $k$ dalla relazione della velocità prima trovata e il $T$ dalla relazione dell'accelerazione.
$0=a(T)=a_0-kT$
$T=a_0/K$
$v(T)=a_0T-k/2T^2=a_0^2/(2k)$
$k=a_0^2/(2V)$
sapendo che $ds=vdt$ di integra la velocità: $\int_0^Sds=\int_0^(T=a_0/k)(a_0t-k/2t^2)dt$
risulta: $S=a_0^3/(3k^2)$ sostituendo il k prima trovato si ha: $S=4V^2/(3a_0)$
L'andamento delle decelerazione è : $a(t)=a_0-kt$ è una equazione di una retta con coefficiente angolare negativo.
sapendo che $dv=adt$ si svolge l'integrale per ricavare l'andamento della velocità: $\int_0^vdv=\int_0^t(a_0-kt)dt$ il risultato è $v(t)=a_0-k/2t^2$
Dal testo di evince che: quando si arriva al tempo $T$ la velocità è $V$ e l'accelerazione è nulla; quindi si ricava il $k$ dalla relazione della velocità prima trovata e il $T$ dalla relazione dell'accelerazione.
$0=a(T)=a_0-kT$
$T=a_0/K$
$v(T)=a_0T-k/2T^2=a_0^2/(2k)$
$k=a_0^2/(2V)$
sapendo che $ds=vdt$ di integra la velocità: $\int_0^Sds=\int_0^(T=a_0/k)(a_0t-k/2t^2)dt$
risulta: $S=a_0^3/(3k^2)$ sostituendo il k prima trovato si ha: $S=4V^2/(3a_0)$
"tigris1903":
Allora rimetto il procedimento in chiaro per tutti. (grazie piero)
Grazie anche a te per esserti preso questo disturbo. In questa maniera agevoli molto la consultazione futura.
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